Zusammenfassung, Grundlagen der Mathematik

, "


Konrad Zimmermann Du
"




Einführung und Notation
1-433
101022 1 11
Einführung Zimmermann @ mathuni
-



leipzig .de




AUSSAG OG
1
2.
1.1 Beispiele A- und
✓ oder
Satz der potentiell falsch kann
=


wahre sein nicht
, 7 =




Af /
"" A Was ist Aussage
= =
es folgt
: ¥:"
eine

B f- zz × ,
2- Zahlen "A
c
Bei Vollmond sprießen grüne Hasen im Meer C Dieser Satz ist falsch



1. 3.
Definition : F-
# sind Aussagen
und
^ '
§ ( nicht § )
z $17 § und #
3 EVE ☒ oder #
f- laut
-




4 Er →
folgt #
¥Ä / ☒ genau
_




.
5 dann wenn #



Wahrheitstafel

2
Aussage" [
Negation Konjunktion
t dominant
Disjunktion
w dominant
Implikation Äquivalenz Aussagen 4 mögliche
⊕ ④ 3 Aussagen 9
g-
-
"


$
- - -




w
' °
Aleje
f
w w w w W W
t w
w f f w t f
=
Gegenteil f w t w w f
f f f f W W




1.6
Reihenfolge vor nie vor →



E. ¢ steht für KIKI
f- E)
Ich ☒ y
→ →




# E IÄNI E →
- '



'
En # →
InEIKHvht.lt -
>
IGEIVI)


E t I → ¥ ( E E) >
- ^ / I. →
E) ☒ → EVI E-F- F- HI

W W w w w w
w
w f f f w t
f
t w w f u u
f
t f w w w w
w




Tautologie

logisch äquivalent

, "




Logische Äquivalenzen Rechenregel„
de Morgan Regel :




* →In /✗ →
4) äquu .
$ ↓ ↳ ,
In # ä 7 # -
v


tlovt - "-
¢ →
t i / Evtl ä ' En it
En
-
- -




IHN ) -
" -
tut EE - " -

¥
Er § -
" -

Er F-
E- Für alle J Es gibt -
- -
/ tönt / -0
In Hin -01 -
-
" -




- -
^


lövllüv-0)
- ( Ötv F) v -0 - " -




( Än E) v Hr -0)
-




④ Hiv -0) ^ - " -




Ev (In -0 ) " LIVE ) ^ Hvo )
-
- -




1 z.B .
Die Aussage ¥ × ≥0 >
wahr für natürliche Zahlen
>
falsch für ganze Zahlen

2 z.B .
Die Aussage V7 Ex ltyly sind dieselbe Aussage
>
gebundene Variable


3 Z.B .
H¥
4 Quantoren gleicher Art können vertauscht werden , jedoch nicht t und ] .




N
f- Die Aussagen Kitty ×
>
y und Kitty ×> y sind gleich äquivalent
ttify y > × und f-ytfx y
> × sind verschieden

G
5 z.B.tk Ex und >
3- × 7€ × drücken gleichen Sachverhalt
aus .

, 1. 3 G
Def Eine für beliebige Objekte
"



.
:
Menge ist ein
gedanklicher Behälter
„
mathematische .




> Für eine Menge A interpretieren wir die Aussage
✗ EA als „
× ist ein Element von A oder ✗ E A
^ ^


✗ ist enthalten in A
Objekt Menge
>
Für ✗ EA schreiben wir abkürzend ✗ EA



*
Mengen besitzen keine von Natur aus
vorgegebenen Eigenschaften o .
Strukturen
>
legen Eigenschaften fest
wir

*
Mengen können unendlich viele Objekte en.fi: allen Abkürzung : ✗
¢A für ✗ c- A




Mengenlehre : ◦ alle mathematischen Objekte sind spezielle Mengen
◦
alle Elemente Mengen sind selbst Mengen von

◦
alle Eigenschaften und Beziehungen mathematischen Objekten v.


untereinander werden mittels d E Relation ausgedrückt .
-




12 10 22


Wir spezifizieren Mengen üblicherweise auf folgende Art :




1 ∅ nennen wir leere Menge Menge ,
ohne Elemente
✗ £ ∅ ist falsch für belieb . ✗

2
Endliche Mengen können wir aufzählen !
{ 0,7 2,1 } ,
.
>
ungerade Zahlen
Unendliche Mengen
"

ist problem ±.
"
: isch
{ 0,2 4,6} ,
.
→

gerade Zahlen
3 Auswählen bestimmter Elemente einer Menge A Bsp
.




gerader Zahlen
Aussage ☒ (x) ist wahr
:


>




← B. :
{ ✗ EIN In EIN In } : =
×
>
Notation wird verwendet :
{ ✗ EA § × }


Relationen für Mengen :




^ A ist eine
Teilmenge von B oder Bist eine
Obermenge von A
>
geschrieben : Ac B o .
BIA
,
falls jedes Element von A auch Element
von B ist falls also gilt
,
>
Vx ✗ c- A >
✗ EB


jede leere Menge ist Teilmenge jeder anderen Menge
2 A und B sind identisch
>
geschrieben A B falls A : =

, genau die selben Elemente wie B enthält ,

falls also
gilt " |
Vx ✗ EA
< >
✗ c- B =

„
Extensionalitäts prinzip .