Zusammenfassung Baumechanik A/ Technische Mechanik 1 - Starrkörperstatik

Baumechanik A
Lernzeel
Marlene Fait - Wintersemester 2022/ 2023
Leibniz Universität Hannover -Prof. Dr. Nackenhorst
Starrkörperstatik

, 1



Mathesprache
11 "



folgt
·
-




etwas auf etwas
-




E
11

·
Verneinung nicht
. · Beide
Aussagen sind equivalent
Vereinigung
> enthält alle Elemente die , in x und y enthalten sind X
vereinigt
"Xny" :

Schnitt
Die
Schnittmänge von X und Y

&
UY :

Gesamtfläche beider Kreise :


X+Xny + Y
X1Y die Fläche
:


nur zu der sowohl X als auch Y
II II
,
zugehörig ist
·o G : und so weiter bis lim normalfall n
~" gleich
·
ungefähr (gerundete Ergebnissel
" ·
angenähert entspricht
;




II 11
E ·
identisch
Il
.
soll
(Forderung)
·
=
sein
1I "I
~
=
:
zueinander kon nt (in allen Punkten übereinstimmend
Il 17


1I
C
-




1I
: Variable ist Elem von
(Zahlensystem)
E
: Variable ist kein Element von ...




alb"
11
Teil
·
a ist von b
1I

att" ·
a ist kein Teil von b
I
~I proportionale Abhängigkeit lawb ist proportional b)
. :


a zu




"Il parallel
i


zu
,
"I senkrecht auf, rechtwinklig
·
zu


"7 ""es
aEM
gibt existiert ein

2
;



es

"V 1
fu p jedes R
alle für
- ;




1I Il
1x ·der
Betrag immer positiv
x ~
von
II 1I

:
-M 1
Il
E
-
1 Teilmenge von R

konjugiert
Z :

komplex
II Il


Il II
· die Koordinatenachse läuft von mir
weg
/ins Blatt rein)
-
·
die Koordinatenachse läuft auf mich zu laus dem Blatt raus)
" * .
sehr viel kleiner als ...


(dünnwandig)
Il
" sehr viel großer als ...

,'Grundlagen
Trigonometrie Bogen-
maß
O
Ji , π
11 2π
2
3
T
ET ⑤T T
Jo 9
o
Grad 380 450 680 1200 1350 150° 1800
Gegenkathete
sin (2) =




Hypotenuse
E E B V
E
1
Sin < O 1 O
cos(a) =




Ankatheteeine 2 2 2 2 2

B2 1 r
tan(a) =

Gegenkathete
C in
2 2 2
O E V
2
-


2
1

-




r
cot(x)
Ankathete tan &
0 1 E #
- -
1
- O
Gegenkathete
=




r
3 r
3
cot 10
E 1
3
O 3
-
1 B &




Definition Kraftbegriff
Die Kraft wirkt auf
F =
.
m
a


prallen
F einen Körper und verändert so dessen Geschwindigkeit/Gleichgewicht .

Bsp .
Zwei Körper
aufeinander Kraft F auf auf
mit einer
Geschwindigkeit v . Nun wirkt beide Körper ein .




Kräfte werden in Vektoren dargestellt .




Kraft
Kennzeichnung einer :




~ Körper K
F :

kann als
Betrag des Vektors wiedergegeben werden

-


-
F x x ...
x
= =




& Richtungssinn Ill In der Starrkörpermechanik gild.




T Kräfte auf
können ihrer
Wirkungslienie
-
verschoben werden

Angriffspunkt ~Verschiebungsaxiom


Definition Moment
Das moment ist vektorielle große, Drehmo
eine die einen Körper in
drehung versetzt .
Das

ment wird in Um (Newtonmeter) angegeben
Für zweidemensionale Räume gild
:




M(A) = r /Hebelarm) · F


Für mehr als zweidemensionale Räume gild:




~M(A)
Frenzprodukt
=

r X .




Ein Drehmoment kann auch dann existieren, wenn die resultierende Kraft Fn+Fz+Fz . . In =
0 ist


Das Drehmoment Drehsinn verläuft
ist immer dann positiv, wenn der
gegen den
Uhrzeigersinn
Negativ wird
es, wenn es mit dem
Uhrzeigersinn dreht




& wenn man den Daumen an der Drehachse "anlegell
ist der Drehsinn leichter abzulesen

, Kräfte
AXIOME ZUR KRAFTEGEOMETRIE
Zwei
Kräftelgruppen sind statisch äquivalent ,
d . .
h


gleichwertig ,
wenn sie an einem starren Körper die gleiche Wirkung
hervorruft .




Liniarflüchtigkeit einer Kraft

ändert
Die
Wirkung einer Kraft F auf einen Starren Körper sich nicht, wenn der
Angriffspunkt einer Kraft
entlang dessen



Wirkungslinie Verschoben wird
.




Es gild :




Angriffspunkt
- =
D
·




&
:




&
T
-



: Vektorielle Kraft
-




PARALLELOGRAMMAXIOM
Zwei an einem Punkt angreifende Kräfte Fr und Fz lassen sich vektoriell zu einer resultierenden Kraft Fr mit dem




selben Angriffspunkt . Die
wirkungslinien von Fn und Fz werden
gespiegld und zu einem
Parallelognamm zusammengesetzt
.




Es gild


:
(45N;Fz(95)
-
I1
geg
:
-




Fr
ges
:




Y
↑
1

(5)
1N




.
->


5


u -
18
Fi =
E + F =

(5) +




3-


(IFR1 152
0
E
S =


+
=




2



1




1. . .
X
1 2 3 4 5 6 78




ZERLEGUNG von KRAFTEN
in Fx (Kraft in
-Richtung) und Fy /Kraft in
Y-Richtung)
↑
Winkeln
↑ y berechnung von

-
ty
= 3
4F
5

G


-
-
I
=
- x
U ~
.




3- cos (a)
c
O




2 &
3
sin (4)
& · & ... ⑨
G


1




1. . .
X
1 2 3 4 5 6 78




KRAFTEPAAR
Zwei auf
Wirkungslinien Richtung wirkende Kräfte werden als "Kräftepaar"
gleich große, parallelen in
entgegengesetzte
bezeichnet wirkt wird als
Fr eines Kräftepaars ist immer Die
Wirkung die dennoch auf den Körper
=

.
o
,
.




Moment M bezeichnet .




Beispiel Lenkrad




Tr

, Momente - Kreuzprodukt

M' =



r x F oder M(A) =

r
.

F




E
Wobei -




E .




echtwinklig zur
Wirkungslinie wird Hebelarm genannt


r
=
.
r
sin (a)

Momente werden in Nm /"Newton-Meter")
angegeben
Das verschwindet, Kraft (A)
Moment wenn r o
Wirkungslinie verlauft durch
Bezugspunkt
=


die der den




DreHSINN EINES MOMENTS
:




·
Ein Moment wird als Positiv definiert , wenn es
gegen der
Uhrzeigersinn dreht

~Drehsinn erkennen mit der "Rechten Hand -


Regel"

& Momentenpfeils
Daumen
richtung Finger Zeigen
E
in des platzieren .
Die den Drehsinn an .




zeigt der Daumen nach oben : Positiver Drehsinn .

Zeigt der Daumen nach unten :



Negativer Drehsinn .




&
MOMENT EINES KRÄFTEPAARG DAS RESULTIERENDE MOMENT




-
Kn




-
-
A




* *
M & >




r
Tr
- -


Mo
.
o




F
. t rex
oder Mr
=
.
a
F
-
= r F + r
·




In diesem Fall verschwindet die resultierende Kraft Fr, daher ist das Moment dem Kräftepaar

"freier Vektor"
statisch äquivalent . Der
Momentenbezugspunkt "o" verschwindt, weswegen der Momentenvektor ein ist .
Vektoren


ohne
Angriffspunkt dürfen
beliebig verschoben werden lauch paralell




VERSETZUNGSMOMENT
Kräfte ihrer
können
entlang Wirkungslinie verschoben werden . Will man sie jedoch parallel verschieben, so entsteht ein




Die
verses Kraft F soll parallel zu ihrer Wirkungslinie verschoben werden .
Dafür
3 alle "Beispiele"




werden auf
sind




der
statisch




"neuen"
äquivalent .




Wirkungslinie F und -
F


(F-F= 0) Kräftepaar
eingefügt So kann das verschiebende F mit dem verschobenen F zu einem
zusammengefasst
-
. zu




werden .
MV =


F a
.

, VERSETZUNGSMOMENT "RÜCKWÄRTS" ANWENDEN
->
Zusammenfassen eines ebenen Kräftesystems zu einer einzelnen Kraft :




#Fall #
n
=



Mp

M =0 ist keine
Vereinfachung möglich :




Gleichgewicht starrer Körper
DAS GLEICHGEWICHTSAXIOM

Im Zustand der Ruhe sofern
(oder der
gleichförmigen geraden
Bewegung) ist jeder Körper im
Gleichgewicht ,
dieser


durch das Wirken von Kräften nicht ist Zustand
gezwungen jenen zu verlassen .




für Ebere Systeme Gild : Im
Gleichgewicht wenn :




&Fx
=


0




EFy =
0



En =

0


für 3-D Systeme Gild:

Im
Gleichgewicht we n n :




EFx =


0




EFy O
=




&Fz
=


0



EMx =
0




EMy =
0




EMz
0
=




REAKTIONSAXIOM
wird von einem Körper auf einen anderen Körper eine Kraft
ausgeübt lactionl
so führt dies dazu ,
dass der .
2

Körper auf den .
v ebenfalls eine Kraft ausübt . Diese bei -

den sind der gleichen sind
Kräfte
gleich groß, agieren auf Wi und
entgegengesetzt



Of 8
gerichtet
-
D Für a Kurz :


action = reactio



Zentrales KRAFTESYSTEM



EM/




*
0
=




Kränzen Kräfte
sich die
Wirkungslinien mehrerer in

einem Punkt ,
S
so existiert kein resultierendes
Moment




" Die
EFx
EFy
Verbleibenen
=




=
C

0
Gleichgewichtsbedingungen
:




Außerdem gild Kräftesysteme mit
angreifenen
drei


genau
:




Kräfte sind immer ein -ales
Zen Kräfte -




System, wenn die
Bedingung erfüllt ist
,


dass jenes system im
Gleichgewicht ist .