Bepaling van het verband tussen de hoogte en de
snelheid van een knikker tijdens het laten vallen van de
knikker
Noura Mostert & Senanur Kaya
21/01/2021 5nat5 (2021/2022) dr. ir. Bram Roth
,Inleiding
De wereld om ons heen bestaat uit verbanden. Wat is een verband nou eigenlijk? Een verband is de
manier waarop twee bepaalde aspecten een relatie/verhouding hebben. Kijk eens naar onze huidige
situatie met de pandemie. Er is een verband tussen de afnemende en minder harde maatregelen en de
stijgende COVID-19 besmettingen. Er is ook waargenomen dat toen er afgelopen jaar veel harde
maatregelen kwamen, waaronder de tweede lockdown, de besmettingen omlaag gingen. Hieruit zou
afgeleid kunnen worden dat ‘hoe meer maatregelen, hoe lager het aantal besmettingen’.
Dit betekent dat je genoeg verbanden in de maatschappij kunt vinden, maar in de wiskunde en
natuurkunde worden verbanden ook veel gebruikt en aangetoond. Dit gebeurt meestal in
wetenschappelijke onderzoeken. Door twee grootheden te vergelijken, door één grootheid te variëren
en de ander te meten, kunnen verschillende verbanden worden aangetoond. De andere variabelen, die
invloed kunnen hebben op het onderzoek moeten hierbij constant worden gehouden. Dit om het
onderzoek nauwkeurig en betrouwbaar te houden.
Wanneer een dergelijk verband wordt onderzocht is er uit het diagram, waarin de twee grootheden
tegen elkaar uitgezet zijn, niet altijd een direct specifiek verband te aanschouwen. Wanneer een
kwadratisch, omgekeerd kwadratisch of een wortelverband vermoed wordt kan dat moeilijk gezien
worden aan de vorm van de grafiek. Om dit toch goed te kunnen zien wordt gebruik gemaakt van
coördinatentransformatie. De horizontale as van het diagram moet worden aangepast, zodat er een
rechte lijn door de oorsprong ontstaat.1 Hiervoor moet de grootheid langs één of meer assen aangepast
worden. De grootheid op de x-as wordt aangepast, zodat het verband weergegeven kan worden als y =
a · x.
Met y de grootheid op de y-as, a de richtingscoëfficiënt en x grootheid die aangepast is. Dit is een
recht evenredig verband. Bij deze geldt ‘hoe hoger a, hoe hoger b’. 2
Zoals hierboven al aangegeven is de coördinatentransformatie nuttig om te gebruiken als er een
kwadratisch, omgekeerd kwadratisch of een wortelverband wordt verwacht. Dit ligt aan de eigen
verwachting in het onderzoek. In onderstaande figuur is er te zien dat er een kwadratisch verband is
vastgesteld. De grootheid op de x-as is gekwadrateerd naar verwachting van een kwadratisch verband,
dus van x naar x2 . De grootheid y is evenredig met het kwadraat van de andere grootheid, evenredig
met x2 3.
Fig. 1: Kwadratisch verband door coördinatentransformatie.4
1
natuurkundeuitgelegd.nl. 2021. “Coördinatentransformatie”
2
examen overzicht. 2021. “(Omgekeerd) Evenredige Verbanden.”
3
Flokstra, J., e.a. (2013) Newton: Natuurkunde voor de bovenbouw 4 vwo. hoofdstuk 6 pag. 243 t/m pag. 244
4
Dinkgreve, S.P. (2022) “§6 Coördinatentransformaties (VWO)”
1
, In dit onderzoek zal het verband tussen verschillende hoogtes van een glazen plank en de snelheid van
verschillende balletjes die van een helling afrollen onderzocht worden. Dit wordt gedaan door gebruik
te maken van een energiebalans. In dit onderzoek hebben we te maken met een beweging met twee
punten. Het beginpunt A is het punt aan het begin van de rails op een bepaalde hoogte, wanneer het
balletje wordt losgelaten. Op dit punt heeft het balletje een bepaalde behoud van energie. Het eindpunt
B is het punt aan het einde van de rails. Dit punt heeft ook een bepaalde behoud van energie. Deze
twee punten worden vergeleken.
Energie gaat nooit verloren. Dit betekent dat energie altijd wordt omgezet in een andere energiesoort.
Dit wordt de wet van behoud van energie genoemd. 5 Deze theorie zorgt ervoor dat wij kunnen stellen
dat de energie op punt A hetzelfde blijft als de energie op punt B. Echter, we moeten niet vergeten dat
er ook warmte is ontstaan door wrijving. Dit wordt ook wel wrijvingsenergie genoemd.
Dan komen we tot de situatie waarin geldt: EA = EB + W. Hierbij is EA de energie op het beginpunt
(punt A), EB de energie op het eindpunt (punt B) en W de verloren energie oftewel de warmte die door
wrijving is ontstaan, of ook aan te duiden als arbeid. Zoals we zien blijft de energie gelijk.
Terwijl het balletje van boven naar beneden over de plaat rolt , wordt er een energiesoort omgezet in
een andere energiesoort. Aan het begin van de reis van het balletje is er energie in opgeslagen. In de
hier onderzochte situatie is dat de zwaarte-energie of de potentiële energie. De zwaarte-energie is de
potentiële energie die een voorwerp bezit door zijn positie. Dit heeft te maken met de zwaartekracht.
De zwaarte-energie kan altijd omgezet worden in een andere soort energie. In dit geval is dat
kinetische energie of bewegingsenergie. De kinetische energie heeft een voorwerp verkregen door een
kracht die arbeid op het voorwerp heeft verricht. Deze energie kan ook weer afnemen door arbeid van
tegenwerkende krachten.6
Nu dit bekend is, kan de formule weer een stapje groter worden gemaakt:
Ekin, A + Ez, A = Ekin, B + Ez, B + W
Hierbij is Ekin, A de kinetische energie op punt A, Ez, A de zwaarte-energie op punt A, Ekin, B de
kinetische energie op punt B, Ez, B de zwaarte energie op punt B en W de vrijgekomen warmte of de
verloren energie door de wrijvingskracht.7
De kinetische energie komt alleen voor als er een beweging plaatsvindt en er zwaarte-energie wordt
omgezet in kinetische energie. Dat betekent dus dat de kinetische energie een waarde heeft van 0 J aan
de linkerkant van de vergelijking, Ekin, A = 0 J . De zwaarte-energie komt alleen voor aan het begin
van het rollen van de balletjes. Deze energie wordt namelijk tijdens de beweging omgezet in
kinetische energie en warmte door wrijving. De zwaarte-energie heeft dus aan het rechterkant van de
vergelijking een waarde van 0 J, Ez, B = 0 J.
Daarom kan de vergelijking worden vereenvoudigd door
Ekin, A + Ez, A = Ekin, B + Ez, B + W
te veranderen naar
Ez, A = Ekin, B + W
1 2
De formule van de kinetische energie is: Ekin = 2
· 𝑚 · 𝑣 .
5
Flokstra J., e.a. (2014) Newton: Natuurkunde voor de bovenbouw 5 vwo, hoofdstuk 9 pag. 130 t/m 131
6
Flokstra J., e.a. (2014) Newton: Natuurkunde voor de bovenbouw 5 vwo, hoofdstuk 9 pag. 120 t/m 121
7
Flokstra J., e.a. (2014) Newton: Natuurkunde voor de bovenbouw 5 vwo, hoofdstuk 9 pag. 132 t/m 133
2
snelheid van een knikker tijdens het laten vallen van de
knikker
Noura Mostert & Senanur Kaya
21/01/2021 5nat5 (2021/2022) dr. ir. Bram Roth
,Inleiding
De wereld om ons heen bestaat uit verbanden. Wat is een verband nou eigenlijk? Een verband is de
manier waarop twee bepaalde aspecten een relatie/verhouding hebben. Kijk eens naar onze huidige
situatie met de pandemie. Er is een verband tussen de afnemende en minder harde maatregelen en de
stijgende COVID-19 besmettingen. Er is ook waargenomen dat toen er afgelopen jaar veel harde
maatregelen kwamen, waaronder de tweede lockdown, de besmettingen omlaag gingen. Hieruit zou
afgeleid kunnen worden dat ‘hoe meer maatregelen, hoe lager het aantal besmettingen’.
Dit betekent dat je genoeg verbanden in de maatschappij kunt vinden, maar in de wiskunde en
natuurkunde worden verbanden ook veel gebruikt en aangetoond. Dit gebeurt meestal in
wetenschappelijke onderzoeken. Door twee grootheden te vergelijken, door één grootheid te variëren
en de ander te meten, kunnen verschillende verbanden worden aangetoond. De andere variabelen, die
invloed kunnen hebben op het onderzoek moeten hierbij constant worden gehouden. Dit om het
onderzoek nauwkeurig en betrouwbaar te houden.
Wanneer een dergelijk verband wordt onderzocht is er uit het diagram, waarin de twee grootheden
tegen elkaar uitgezet zijn, niet altijd een direct specifiek verband te aanschouwen. Wanneer een
kwadratisch, omgekeerd kwadratisch of een wortelverband vermoed wordt kan dat moeilijk gezien
worden aan de vorm van de grafiek. Om dit toch goed te kunnen zien wordt gebruik gemaakt van
coördinatentransformatie. De horizontale as van het diagram moet worden aangepast, zodat er een
rechte lijn door de oorsprong ontstaat.1 Hiervoor moet de grootheid langs één of meer assen aangepast
worden. De grootheid op de x-as wordt aangepast, zodat het verband weergegeven kan worden als y =
a · x.
Met y de grootheid op de y-as, a de richtingscoëfficiënt en x grootheid die aangepast is. Dit is een
recht evenredig verband. Bij deze geldt ‘hoe hoger a, hoe hoger b’. 2
Zoals hierboven al aangegeven is de coördinatentransformatie nuttig om te gebruiken als er een
kwadratisch, omgekeerd kwadratisch of een wortelverband wordt verwacht. Dit ligt aan de eigen
verwachting in het onderzoek. In onderstaande figuur is er te zien dat er een kwadratisch verband is
vastgesteld. De grootheid op de x-as is gekwadrateerd naar verwachting van een kwadratisch verband,
dus van x naar x2 . De grootheid y is evenredig met het kwadraat van de andere grootheid, evenredig
met x2 3.
Fig. 1: Kwadratisch verband door coördinatentransformatie.4
1
natuurkundeuitgelegd.nl. 2021. “Coördinatentransformatie”
2
examen overzicht. 2021. “(Omgekeerd) Evenredige Verbanden.”
3
Flokstra, J., e.a. (2013) Newton: Natuurkunde voor de bovenbouw 4 vwo. hoofdstuk 6 pag. 243 t/m pag. 244
4
Dinkgreve, S.P. (2022) “§6 Coördinatentransformaties (VWO)”
1
, In dit onderzoek zal het verband tussen verschillende hoogtes van een glazen plank en de snelheid van
verschillende balletjes die van een helling afrollen onderzocht worden. Dit wordt gedaan door gebruik
te maken van een energiebalans. In dit onderzoek hebben we te maken met een beweging met twee
punten. Het beginpunt A is het punt aan het begin van de rails op een bepaalde hoogte, wanneer het
balletje wordt losgelaten. Op dit punt heeft het balletje een bepaalde behoud van energie. Het eindpunt
B is het punt aan het einde van de rails. Dit punt heeft ook een bepaalde behoud van energie. Deze
twee punten worden vergeleken.
Energie gaat nooit verloren. Dit betekent dat energie altijd wordt omgezet in een andere energiesoort.
Dit wordt de wet van behoud van energie genoemd. 5 Deze theorie zorgt ervoor dat wij kunnen stellen
dat de energie op punt A hetzelfde blijft als de energie op punt B. Echter, we moeten niet vergeten dat
er ook warmte is ontstaan door wrijving. Dit wordt ook wel wrijvingsenergie genoemd.
Dan komen we tot de situatie waarin geldt: EA = EB + W. Hierbij is EA de energie op het beginpunt
(punt A), EB de energie op het eindpunt (punt B) en W de verloren energie oftewel de warmte die door
wrijving is ontstaan, of ook aan te duiden als arbeid. Zoals we zien blijft de energie gelijk.
Terwijl het balletje van boven naar beneden over de plaat rolt , wordt er een energiesoort omgezet in
een andere energiesoort. Aan het begin van de reis van het balletje is er energie in opgeslagen. In de
hier onderzochte situatie is dat de zwaarte-energie of de potentiële energie. De zwaarte-energie is de
potentiële energie die een voorwerp bezit door zijn positie. Dit heeft te maken met de zwaartekracht.
De zwaarte-energie kan altijd omgezet worden in een andere soort energie. In dit geval is dat
kinetische energie of bewegingsenergie. De kinetische energie heeft een voorwerp verkregen door een
kracht die arbeid op het voorwerp heeft verricht. Deze energie kan ook weer afnemen door arbeid van
tegenwerkende krachten.6
Nu dit bekend is, kan de formule weer een stapje groter worden gemaakt:
Ekin, A + Ez, A = Ekin, B + Ez, B + W
Hierbij is Ekin, A de kinetische energie op punt A, Ez, A de zwaarte-energie op punt A, Ekin, B de
kinetische energie op punt B, Ez, B de zwaarte energie op punt B en W de vrijgekomen warmte of de
verloren energie door de wrijvingskracht.7
De kinetische energie komt alleen voor als er een beweging plaatsvindt en er zwaarte-energie wordt
omgezet in kinetische energie. Dat betekent dus dat de kinetische energie een waarde heeft van 0 J aan
de linkerkant van de vergelijking, Ekin, A = 0 J . De zwaarte-energie komt alleen voor aan het begin
van het rollen van de balletjes. Deze energie wordt namelijk tijdens de beweging omgezet in
kinetische energie en warmte door wrijving. De zwaarte-energie heeft dus aan het rechterkant van de
vergelijking een waarde van 0 J, Ez, B = 0 J.
Daarom kan de vergelijking worden vereenvoudigd door
Ekin, A + Ez, A = Ekin, B + Ez, B + W
te veranderen naar
Ez, A = Ekin, B + W
1 2
De formule van de kinetische energie is: Ekin = 2
· 𝑚 · 𝑣 .
5
Flokstra J., e.a. (2014) Newton: Natuurkunde voor de bovenbouw 5 vwo, hoofdstuk 9 pag. 130 t/m 131
6
Flokstra J., e.a. (2014) Newton: Natuurkunde voor de bovenbouw 5 vwo, hoofdstuk 9 pag. 120 t/m 121
7
Flokstra J., e.a. (2014) Newton: Natuurkunde voor de bovenbouw 5 vwo, hoofdstuk 9 pag. 132 t/m 133
2
