Statistiek 1B samenvatting volledig

STATISTIEK l B SAMENVATTING
Kasper Lauwers


1. H8: steekproeven
⇒ steekproeven nemen we uit een populatie
methodes om steekproef te nemen
aselecte of lukrake steekproef onafhankelijke trekking uit dezelfde
verdeling (met toeval dus gekozen)

systematische steekproef aselecte selectie op basis van een
interval
bv: om de 20 in de populatie kiezen
nr 40,nr 60,nr 80, ...

gestratificeerde steekproef werkt via strata (deelgroepen)
bv: stratum mannen en stratum vrouwen
en dan lukraak kiezen uit de 2 groepen

getrapte steekproef werkt via tussenstappen (trappen)
bv: steekproef in gent ⇒ eerst
lukraak een wijk kiezen ⇒ lukraak
mensen uit die wijk nemen

⇒ omdat elke trekking (neming van steekproef uit populatie) kunnen
verschillen zijn het dus ook kansvariabele ⇒ Xi
⇒de kansvariabelen Xi zijn onafhankelijke kopieën van X
8.1 steekproefgemiddelde
⇒omdat de steekproef een kans variabelen is zal ook het
steekproefgemiddelde een kansvariabele zijn (dit wil zeggen dat het
steeds anders is)




⇒ eigenschappen
- verwachtingswaarde:
⇒conclusie: de verwachtingswaarde van het steekproefgemiddelde
= populatiegemiddelde
⇒ want E(X) = μ

- Variantie:
⇒conclusie: de Variantie van het steekproefgemiddelde is n keer
kleiner dan
de populatievariantie
⇒ want Var(X) = σ2


samenvatting Kasper Lauwers 1

, - Standaardafwijking: S =

- bewijzen:
notities
cursus
bijschrijv
en




- verdeling steekproefgemiddelde
via de centrale limietstelling kunnen we stellen dat het
steekproefgemiddelde normaal verdeeld is ,n⇒∞

⇒ in realiteit kan n niet oneindig groot zijn dus zeggen we dat het
steekproefgemiddelde bij benadering normaal verdeeld is voor een grote
steekproef
⇒ de kans dat een element groter is dan een bepaalde waarde is
veel groter
dan de kans dat het steekproefgemiddelde groter is dan deze waarde omdat
de extrema elkaar uitmiddelen
8.2 steekproefproportie
=gemiddelde voor kwalitatieve variabelen d.m.v. proporties in bernoulli
kansverdelingen.
⇒ het aantal succes van de steekproef =
⇒ proportioneel (in verhouding met het totaal aantal
variabelen) =

⇒ Steekproefproportie =
steekproefgemiddelde

⇒ als X~B(1,p) dan is E(X) = μ = p en Var(X) = p(1-p)



samenvatting Kasper Lauwers 2

, ⇒ DUS dan is: en
⇒de steekproefproportie is ook bij benadering normaal verdeeld voor een
grote steekproef




8.3 Steekproefvariantie
⇒omdat de steekproef een kansvariabele is zal ook de steekproefvariantie
een kansvariabele zijn (dit wil zeggen dat het steeds anders is bij een



nieuwe steekproef)
⇒ de noemer (n-1) zorgt ervoor dat de steekproefvariantie van een
aselecte
steekproef precies de populatievariantie (σ2) als verwachtingswaarde heeft.
⇒eigenschappen
- verwachtingswaarde:
⇒bewijs: (notities bijschrijven pg 116)




samenvatting Kasper Lauwers 3

, - de verdeling van de steekproefvariantie hangt af van de onderliggende
populatie
- verdeling van steekproefvariantie bij normaal verdeelde populatie
⇒voor een aselecte steekproef X1,X2,...,Xn uit X〜N(μ,σ2) is



⇒ want (Xi-μ)/σ 〜N(0,1) ⇒
⇒ het aantal steekproef elementen komt dus overeen met het
aantal
vrijheidsgraden en als we dan het steekproefgemiddelde vastleggen dan
zullen er nog maar n-1 steekproefelementen vrij kunnen bewegen
⇒ herschrijven in termen van steekproefvariantie
(1/σ2)* Σ(xi- X —)2 = (1/σ2)* (n-1)*S2

2. H9: Schatters
⇒schatten van onbekende populatieparameters/ bv: μ schatten door
steekproefgemiddelde/ of mediaan
⇒ begrippen
● Populatiekenmerken
⇒μ = E(X) , σ2 = Var(X)
⇒Populatie Momenten μ1 = E(X) , μ2 = E(X2)
⇒verand: Var(X) = E(X2) - E(X)2 = μ2 - μ12
● Steekproefkenmerken (allemaal variabelen)




9.1 Puntschatter
= een formule om een populatiekenmerk of parameter te schatten op basis van een
aselecte steekproef
= een functie van steekproef variabelen, dus ook zelf een variabele
⇒ elke functie Ө = h(X1,...,Xn) is een (punt)schatter voor Ө
⇒ het steekproefkenmerk zelf (de concrete waarde) = een schatting
⇒ voorbeeld




samenvatting Kasper Lauwers 4