Samenvatting Statistiek I (semester 2)

Statistiek
Kansberekening
Basisbegrippen
Belang:

- Probalistische ingestelde wereld begrijpen
➢ Verzekering, vergoedingen, ...
- Uitspraken doen over de populatie over een populatie op basis van een steekproef

Beschrijvende statistiek = beschrijven van gegevens m.b.v. tabellen, grafieken en kengetallen

 Semester 1

Inferentiële statistiek = op basis van gegevens uitspraken doen over populatie

 Semester 2



Symbolen uit verzamelingenleer

- Verzameling = geheel van objecten, voldoen aan bepaalde voorwaarden
➢ A = {1, 2}
- Unie van twee verzamelingen A en B = alle elementen die in A of B zitten
➢ A ꓴ B → A = {1,2} en B = {oneven} → {1, 2, oneven}
- Doorsnede van twee verzamelingen A en B = alle elementen die in A en B zitten
➢ A ꓵ B → A = {1,2} en B = {oneven} → {1}
- A = deelverzameling van B wanneer ze een deel van de elementen van B bevat
➢ A ⊂ B → A = {1,2} en B = {1,2,3,4}
- Disjuncte verzameling = verzamelingen die geen gemeenschappelijke elementen bevatten
➢ A ∩ B = ∅ → A = {1} en B = {2, 4, 6}
- Verschil van twee verzameling A en B = verzameling van alle elementen van A die niet in B
➢ A \ B → A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} en B = {2, 4, 6} → A \ B = {1,3,5}



Stochastisch proces = onzekere uitkomst

- = kansexperiment  deterministische proces
- Vb. dobbelsteen, betrokkenheid bij ongeval, ...
- (groep van) uitkomsten van dit proces = toevalsgebeuren
➢ Elementair = bevat 1 uitkomst (vb. 1 gooien)
➢ Samengesteld = betrekking op meerdere uitkomsten (vb. even gooien)
➢ Uitkomstenruimte (S) = verzameling alle mogelijke elementaire uitkomsten

Toevalsgebeuren A = deelverzameling uit de uitkomstenruimte S

- Elementaire toevalsgebeuren = disjunct (geen overlap)
- Uitkomstenruimte S = exhaustief (alle mogelijke gebeurtenissen)
- Complement van toevalsgebeuren A = alle elementaire toevalsgebeurens in S → niet gelijk aan A
➢ Ac = S \ A → A = {1}, dan 𝐴c = {2, 3, 4, 5, 6}

Machtsverzameling M(S) = verzameling van alle mogelijke deelverzamelingen van S

- S = {1, 2, 3} → deelverzamelingen: ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, {1, 2, 3}
- M(S)={Ø,{1},{2},{3},{1,2}, {2, 3}, {1,3}, {1,2,3}}
- #S = n ➔ #M(S) = 2n

,Kansdefinitie
Een kans P(G) = waarschijnlijkheid dat de gebeurtenis G zal optreden, uitgedrukt in een getal tussen 0 en 1

- P = probability = functie die met elke gebeurtenis G een reëel getal associeert


4 kansdefinities:

1. Subjectieve kansdefinitie = gokkans
➢ Gebaseerd op ervaring, vaag, ...
➢ Vb. kans om lotto te winnen = klein, kans om ongeval te hebben in vliegtuig = groot

2. Empirische kansdefinitie = zweetkans
➢ Waarden bekijken aan de hand van ‘uit proberen’
➢ Vb. dobbelsteen gooien → kans om 2 te gooien vergoot hoe vaker men gooit
➢ 𝑃 (𝐴) = lim 𝑛→∞ (fi / 𝑛) → als je oneidig gooit = limietwaarde = empirische kans
➢ Wet van de grote getallen

3. Theoretische kansdefinitie van Laplace = weetkans
➢ P(A) = #gunstige / #mogelijke = #A / #S
➢ Veronderstelling = alle uitkomsten zijn even plausibel
➢ Oefeningen:
• Vb. kans om 2 te gooien bij EERLIJKE dobbelsteen = 1/6
• Vb. kans om minstens 5 te gooien = 2/6 = 1/3
• Vb. kans om 12 te gooien met 2 dobbelstenen = 1/36 (1/6 * 1/6)


De reële functie P moet voldoen aan 3 axioma’s

1. 0 ≤ P(A) ≤ 1
2. P(S) = 1
3. Als A en B disjuncte gebeurtenissen zijn (A ∩ B = ø): P (A U B) = P(A) + P(B)


Rekenregels kansrekening
Complementregel
Vb. De kans dat je geen 6 gooit

- Lange manier: kans van 1 + kans van 2 + kans van 3 + kans van 4 + kans van 5
- Korte manier: 1 – kans van 6

Complementregel: P(Ac) = 1 – P(A)



Somregel
Vb. (1) de kans dat iemand 5 of 6 zal gooien

1. A en B ≠ disjunct
➢ Individuele kansen optellen
➢ Vertrekken van totale kansen: P(A U B)= P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
2. A en B = disjunct → P (A U B) = P(A) + P(B)


Vb. 6 koks en 8 obers → 4 vrouwelijke obers en 1 vrouwelijke kok ➔ kans dat het een kok is OF een vrouw


- 6/14 + 5/14 – 1/14 = 10/14

,Productregel
Vb. kans dat je 3 gooit EN daarna kop met een muntje

1. Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B)= P(A) * P(B)
2. Afhankelijke gebeurtenissen
➢ Individuele kansen bekijken
➢ Vertrekken van totale kansen: P(A ∩ B) = P(A|B).P(B) OF = P(B|A).P(A)

De voorwaardelijke kans P(A|B) = de kans op A, als B

- Kans voor specifieke subgroep
- Voorwaardelijke kans = a posteriori kans ( a priori = algemene kans)

≠ doorsnede ( A EN B  A ALS B)



Regel voorwaardelijke kans
Herleiding vanuit productregel

- P(A|B) = 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 / 𝑃(𝐵)
- P(B|A) = 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 / 𝑃(𝐴)


Overzicht rekenregels




Vervolg axiomatische kansregels
Overzicht rekenregels:

- Complementregel = P(𝐴) = 1 - P(A) [uitsluiten]
- Somregel = P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) [OF]
➢ Speciaal geval: A en B = disjunct: P(A U B)= P(A) + P(B)
- Productregel = P(A ∩ B) = P(A|B).P(B) = P(B|A).P(A) [EN]
➢ Speciaal geval: A en B = onafhankelijk: P(A ∩ B) = P(A).P(B)
➢ | = als → voorwaardelijk → A als B


Regel voorwaardelijke kans
P(A|B) = (𝑃 𝐴 ∩ 𝐵) / 𝑃(𝐵)

 Afleiding van productregel
 P(B|A) = (𝑃 𝐴 ∩ 𝐵) / 𝑃(𝐴)


Regel totale kans
Regel totale kans bij dichotome variabele B: P(A) = P(A|B) . P(B) + P(A|BC ) . P(BC )

 Oefening: 60% gehuwd (3x man) + 25% alleenstaand (3x man) + 15% samenwonend (3x vrouw)

, Regel van Bayes
Causaliteit omkeren: P(A|B) berekenen op basis van P(B|A)

 voorwaardelijke kans
 productregel
 regel van de totale kans




oefening: P(G|M) = ?

- = P(M|G) * P(G) / P(M)
- = 3/4 * 3/5 / P(M|G).P(G) + P(M|A).P(A) + P(M|Sa).P(Sa)
- = (3/4 * 3/5) / (54/80)
- = 2/3



Overzicht nieuwe rekenregels




Driedeurenprobleem
Verlies verlies Winst

 1e scenario = kiezen voor winst → tonen een verlies → wisselen van keuze = verlies
 2e scenario = kiezen voor verlies 1 → tonen verlies 2 → wisselen van keuze = winst
 3e scenario = kiezen voor verlies 2 → tonen verlies 1 → wisselen van keuze = winst

Wisselen van keuze > blijven bij keuze