Beweistechniken.
Wir werden in diesem Abschnitt mehrere so traditionelle Beweisstrategien diskutieren.
dass jeder von ihnen einen Namen hat. Die fünf hier besprochenen Strategien erhöhen.
Es kann keine Garantie dafür übernommen werden, dass alle Aussagen und Sätze in
diesem und anderen Vorträgen vollständig sind.
aber (einer davon) kann das beweisen.
Um Beweise durchführen zu können, muss man zumindest die Aussagenlogik kennen.
was in der Diskussion dieses Skripts weggelassen wird. aufgrund bestimmter Inhalte.
, die in diesem Kapitel neben den entsprechenden Abschnitten dieses Abschnitts stehen,
könnten eine Vorwegnahme sein.
äquivalente beschreibende Formulierungen und propositionale Formulierungen. Der
Leser könnte.
Bitte entschuldigen Sie etwaige Wiederholungen. Mögliche Zeitverschwendung.
Durch die ausführliche Darstellung soll dieses Kapitel auch ohne aufwändigere
Aussagenlogik verständlich sein.
Verständnis zu kommen.
Aussagen 1.1
Lemmata, Korollare, Korollare und Theoreme geben alle Schlussfolgerungen über Sätze
an.
Definition 1 Punkt 1 (Proposition).
In einer formalen Sprache ist eine Aussage ein syntaktisch korrekter Satz, dessen Semantik
ist.
weder wahr noch falsch kann bestimmt werden.
Eine Aussage ist also ein sprachlicher Ausdruck (z. B. ein einfacher Satz aus Wörtern).
Formel, ein Ausdruck in der Mathematik), der nur entweder wahr oder falsch (nicht
beides) sein kann.
gleichzeitig) sein kann.
Eine Aussage hat zum Beispiel die Form.
„Justus Jonas ist Detektiv“ oder „7 ist eine Primzahl“ sind Beispiele.
n∑.
i=1.
2i = 2n+1 − 1”.
In manchen Anweisungen (z. B. Variablen) sind Bedingungen enthalten, so dass ein
Anspruch auf bestimmte Umstände besteht.
Wählen Sie bestimmte konkrete Werte für die Variablen in der Aussage aus, die Sie für
wahr halten.
und ist unter anderen Umständen falsch.
Zur Veranschaulichung: Eine wahre Aussage lautet: „Die Zahl x ist durch 2 teilbar.“
enthält in Variable x. Während es für x = 4711 falsch ist, ist es für x = 42 wahr. Geben
Sie solche Behauptungen an.
Wir haben nachgerechnet. Wir schreiben häufig A(x), wenn eine Anweisung A die
Variable x enthält, die (ungebunden) ist.
um zu sagen, dass der Wert von x die Art und Weise beeinflusst (kann beeinflussen), wie
die Aussage ausgewertet wird.
Es gibt viele Sätze (Präpositionen usw.), die auch die Form haben:.
A ⇒ B,.
wobei die Sätze A und B. Die Aussage, die der Ausdruck A B macht, besagt, dass die.
,Es ist richtig zu sagen: „Von A folgt B.“ Als Inferenz bezeichnet man diese Art von
Aussage.
Sie wird hier auch als Voraussetzung (Vorbedingung, Hypothese) bezeichnet, da sie die
Aussage A enthält.
Die Behauptung (Nachbedingung, Sequenz) ist B.
Nur dann, wenn die folgenden Umstände auf alle Umstände zutreffen (z. B. in Bezug auf jeden.
Mögliche Werteauswahlen für die enthaltenen Variablen, für die Hypothese A richtig ist.
Unter diesen Umständen ist auch Behauptung B zutreffend. Nehmen Sie die nächste Behauptung als
Beispiel.
Eine überprüfbare Schlussfolgerung wäre:
Abbildung 1.1.
x ist durch 6 und durch drei teilbar.
In diesem Fall lautet die Behauptung, dass „x durch 3 teilbar ist“, und die Prämisse lautet, dass „x
durch 6 teilbar ist“.
Anmerkung: Beachten Sie, dass ein Korollar auch gilt, wenn va-Zuweisungen vorliegen.
Für einige Variablen ist die Behauptung korrekt, aber die Bedingung ist unwahr. Solch.
Beweise beweisen nicht, dass die Schlussfolgerung falsch ist. Denken Sie so darüber nach.
Man kann mit Recht sagen: „x ist eine Zweierpotenz größer als 2 x ist durch zwei teilbar.“
Auch wenn die Behauptung nur für x = 42 wahr ist. Aber darüber werde ich später noch mehr
sprechen.
Eine Wahrheitstabelle ist der einfachste Weg, die Fälle zu bestimmen, in denen eine Schlussfolgerung
A B wahr ist.
Die Aussage (Schlussfolgerung) der Wahrheitstabelle von A B ist in Tabelle 1 Punkt 1 dargestellt.
Eine Vorbedingung (Hypothese) A muss wahr sein, damit die Nachfolgerung wahr ist.
B ist als Bedingung (Behauptung) nicht wahr. einziger Umstand, in dem a.
Falsche Schlussfolgerungen liegen vor, wenn aus einer wahren Aussage eine falsche Schlussfolgerung
gezogen wird.
Es wird gezeigt, dass, wenn die Konsequenz A B wahr ist, wie durch den Beweis eines Theorems
gezeigt wird.
dass (wie oben angegeben) B unter allen Umständen wahr ist, unter denen A wahr ist.
Daher muss es wahr sein.
Es ist möglich, einen Ausdruck der Form A B in den Ausdruck umzuwandeln und dabei die Bedeutung
der ursprünglichen Phrase beizubehalten.
A B: Beide Formulierungen drücken den gleichen Satz aus und sind wahr, wenn A unwahr ist.
ob B wahr ist oder ob es ausgewertet wird. Dann stimmen beide Formulierungen genau überein.
Wenn A und B beide wahr sind, dann ist C falsch.
, ⇒ vs. (Aussage im Gegensatz zu. Funktion).
Sollte von denjenigen verwendet werden, die bereits mit der grundlegenden Aussagenlogik vertraut
sind.
Eine binäre logische Funktion A B und eine Konsequenz A B stehen in engem Zusammenhang.
darauf hingewiesen: Die Schlussfolgerung A B ist speziell die (die Symbole ähneln sich nicht ohne
Grund).
Der Funktionswert des Ausdrucks A B ist laut Aussage immer für alle zulässigen Zuweisungen wahr.
die A- und B-Gene (Modelle). Eventuell können wir ein Missverständnis aufklären.
Denken Sie noch einmal an Beispiel 1.1: Das gilt für jedes Modell (oder jede x-Option), die existieren
könnte.
Sowohl die Aussagen „x ist durch 6 teilbar“ in Aussage A als auch „x ist durch 3 teilbar“ in Aussage B
sind wahr.
das Falsche. Aber der Funktionswert von A B ist immer wahr, unabhängig von der Wahl von x.
Falsche Annahmen, echte Behauptungen.
Zu den wahren Konsequenzen der Form A B gehört entweder weil, was etwas langweilig ist.
Weil B immer wahr ist weil A immer falsch ist. Tisch 1.1 veranschaulicht dies in beiden Situationen.
A folgt aus B, was immer wahr ist.
Ein typisches Beispiel ist Beispiel 1.2.
1. Lassen Sie uns die Behauptungen untersuchen.
„Person x ist auf dem Saturn gelandet“, sagt A(x). “.
„Person x hat braune Augen“, sagt B(x). ".
Aufgrund der Annahme A(x) für ur ist die Schlussfolgerung C(x) = A(x) B(x) gültig.
alle x (d. h. ) sind für alle unwahr.
Wenn man eine entsprechende Neuformulierung hat, ist es möglicherweise einfacher, dies zu
erkennen.
Die Aussage „Auf dem Planeten lebt niemand“ ist die Folgerung C(x).
Saturn landete, hatte aber keine braunen Augen. ".
2. Für den Fall, dass die Behauptung immer wahr ist, sind auch die Konsequenzen wahr.
die oben genannten Behauptungen bezüglich natürlicher Zahlen:
x ist eine Primzahl, weil A(x)=. “.
„X hat einen Teiler von eins“, sagt B(x). “.
Für alle natürlichen Zahlen ist die Aussage B(x) immer korrekt. Wenn ist irrelevant.
Ob A(x) wahr oder falsch ist, die Aussage A(x) B(x) ist immer wahr.
Wir werden in diesem Abschnitt mehrere so traditionelle Beweisstrategien diskutieren.
dass jeder von ihnen einen Namen hat. Die fünf hier besprochenen Strategien erhöhen.
Es kann keine Garantie dafür übernommen werden, dass alle Aussagen und Sätze in
diesem und anderen Vorträgen vollständig sind.
aber (einer davon) kann das beweisen.
Um Beweise durchführen zu können, muss man zumindest die Aussagenlogik kennen.
was in der Diskussion dieses Skripts weggelassen wird. aufgrund bestimmter Inhalte.
, die in diesem Kapitel neben den entsprechenden Abschnitten dieses Abschnitts stehen,
könnten eine Vorwegnahme sein.
äquivalente beschreibende Formulierungen und propositionale Formulierungen. Der
Leser könnte.
Bitte entschuldigen Sie etwaige Wiederholungen. Mögliche Zeitverschwendung.
Durch die ausführliche Darstellung soll dieses Kapitel auch ohne aufwändigere
Aussagenlogik verständlich sein.
Verständnis zu kommen.
Aussagen 1.1
Lemmata, Korollare, Korollare und Theoreme geben alle Schlussfolgerungen über Sätze
an.
Definition 1 Punkt 1 (Proposition).
In einer formalen Sprache ist eine Aussage ein syntaktisch korrekter Satz, dessen Semantik
ist.
weder wahr noch falsch kann bestimmt werden.
Eine Aussage ist also ein sprachlicher Ausdruck (z. B. ein einfacher Satz aus Wörtern).
Formel, ein Ausdruck in der Mathematik), der nur entweder wahr oder falsch (nicht
beides) sein kann.
gleichzeitig) sein kann.
Eine Aussage hat zum Beispiel die Form.
„Justus Jonas ist Detektiv“ oder „7 ist eine Primzahl“ sind Beispiele.
n∑.
i=1.
2i = 2n+1 − 1”.
In manchen Anweisungen (z. B. Variablen) sind Bedingungen enthalten, so dass ein
Anspruch auf bestimmte Umstände besteht.
Wählen Sie bestimmte konkrete Werte für die Variablen in der Aussage aus, die Sie für
wahr halten.
und ist unter anderen Umständen falsch.
Zur Veranschaulichung: Eine wahre Aussage lautet: „Die Zahl x ist durch 2 teilbar.“
enthält in Variable x. Während es für x = 4711 falsch ist, ist es für x = 42 wahr. Geben
Sie solche Behauptungen an.
Wir haben nachgerechnet. Wir schreiben häufig A(x), wenn eine Anweisung A die
Variable x enthält, die (ungebunden) ist.
um zu sagen, dass der Wert von x die Art und Weise beeinflusst (kann beeinflussen), wie
die Aussage ausgewertet wird.
Es gibt viele Sätze (Präpositionen usw.), die auch die Form haben:.
A ⇒ B,.
wobei die Sätze A und B. Die Aussage, die der Ausdruck A B macht, besagt, dass die.
,Es ist richtig zu sagen: „Von A folgt B.“ Als Inferenz bezeichnet man diese Art von
Aussage.
Sie wird hier auch als Voraussetzung (Vorbedingung, Hypothese) bezeichnet, da sie die
Aussage A enthält.
Die Behauptung (Nachbedingung, Sequenz) ist B.
Nur dann, wenn die folgenden Umstände auf alle Umstände zutreffen (z. B. in Bezug auf jeden.
Mögliche Werteauswahlen für die enthaltenen Variablen, für die Hypothese A richtig ist.
Unter diesen Umständen ist auch Behauptung B zutreffend. Nehmen Sie die nächste Behauptung als
Beispiel.
Eine überprüfbare Schlussfolgerung wäre:
Abbildung 1.1.
x ist durch 6 und durch drei teilbar.
In diesem Fall lautet die Behauptung, dass „x durch 3 teilbar ist“, und die Prämisse lautet, dass „x
durch 6 teilbar ist“.
Anmerkung: Beachten Sie, dass ein Korollar auch gilt, wenn va-Zuweisungen vorliegen.
Für einige Variablen ist die Behauptung korrekt, aber die Bedingung ist unwahr. Solch.
Beweise beweisen nicht, dass die Schlussfolgerung falsch ist. Denken Sie so darüber nach.
Man kann mit Recht sagen: „x ist eine Zweierpotenz größer als 2 x ist durch zwei teilbar.“
Auch wenn die Behauptung nur für x = 42 wahr ist. Aber darüber werde ich später noch mehr
sprechen.
Eine Wahrheitstabelle ist der einfachste Weg, die Fälle zu bestimmen, in denen eine Schlussfolgerung
A B wahr ist.
Die Aussage (Schlussfolgerung) der Wahrheitstabelle von A B ist in Tabelle 1 Punkt 1 dargestellt.
Eine Vorbedingung (Hypothese) A muss wahr sein, damit die Nachfolgerung wahr ist.
B ist als Bedingung (Behauptung) nicht wahr. einziger Umstand, in dem a.
Falsche Schlussfolgerungen liegen vor, wenn aus einer wahren Aussage eine falsche Schlussfolgerung
gezogen wird.
Es wird gezeigt, dass, wenn die Konsequenz A B wahr ist, wie durch den Beweis eines Theorems
gezeigt wird.
dass (wie oben angegeben) B unter allen Umständen wahr ist, unter denen A wahr ist.
Daher muss es wahr sein.
Es ist möglich, einen Ausdruck der Form A B in den Ausdruck umzuwandeln und dabei die Bedeutung
der ursprünglichen Phrase beizubehalten.
A B: Beide Formulierungen drücken den gleichen Satz aus und sind wahr, wenn A unwahr ist.
ob B wahr ist oder ob es ausgewertet wird. Dann stimmen beide Formulierungen genau überein.
Wenn A und B beide wahr sind, dann ist C falsch.
, ⇒ vs. (Aussage im Gegensatz zu. Funktion).
Sollte von denjenigen verwendet werden, die bereits mit der grundlegenden Aussagenlogik vertraut
sind.
Eine binäre logische Funktion A B und eine Konsequenz A B stehen in engem Zusammenhang.
darauf hingewiesen: Die Schlussfolgerung A B ist speziell die (die Symbole ähneln sich nicht ohne
Grund).
Der Funktionswert des Ausdrucks A B ist laut Aussage immer für alle zulässigen Zuweisungen wahr.
die A- und B-Gene (Modelle). Eventuell können wir ein Missverständnis aufklären.
Denken Sie noch einmal an Beispiel 1.1: Das gilt für jedes Modell (oder jede x-Option), die existieren
könnte.
Sowohl die Aussagen „x ist durch 6 teilbar“ in Aussage A als auch „x ist durch 3 teilbar“ in Aussage B
sind wahr.
das Falsche. Aber der Funktionswert von A B ist immer wahr, unabhängig von der Wahl von x.
Falsche Annahmen, echte Behauptungen.
Zu den wahren Konsequenzen der Form A B gehört entweder weil, was etwas langweilig ist.
Weil B immer wahr ist weil A immer falsch ist. Tisch 1.1 veranschaulicht dies in beiden Situationen.
A folgt aus B, was immer wahr ist.
Ein typisches Beispiel ist Beispiel 1.2.
1. Lassen Sie uns die Behauptungen untersuchen.
„Person x ist auf dem Saturn gelandet“, sagt A(x). “.
„Person x hat braune Augen“, sagt B(x). ".
Aufgrund der Annahme A(x) für ur ist die Schlussfolgerung C(x) = A(x) B(x) gültig.
alle x (d. h. ) sind für alle unwahr.
Wenn man eine entsprechende Neuformulierung hat, ist es möglicherweise einfacher, dies zu
erkennen.
Die Aussage „Auf dem Planeten lebt niemand“ ist die Folgerung C(x).
Saturn landete, hatte aber keine braunen Augen. ".
2. Für den Fall, dass die Behauptung immer wahr ist, sind auch die Konsequenzen wahr.
die oben genannten Behauptungen bezüglich natürlicher Zahlen:
x ist eine Primzahl, weil A(x)=. “.
„X hat einen Teiler von eins“, sagt B(x). “.
Für alle natürlichen Zahlen ist die Aussage B(x) immer korrekt. Wenn ist irrelevant.
Ob A(x) wahr oder falsch ist, die Aussage A(x) B(x) ist immer wahr.
