06
Examen HAVO
20
wiskunde A1,2
Hoger
Algemeen
Voortgezet
Onderwijs Tijdvak 1
Dinsdag 23 mei
13.30 – 16.30 uur
Als bij een vraag een verklaring, uitleg
of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend
als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Voor dit examen zijn maximaal 81 punten
Geef niet meer antwoorden (redenen,
te behalen; het examen bestaat uit 21
vragen.
voorbeelden e.d.) dan er worden
Voor elk vraagnummer is aangegeven gevraagd. Als er bijvoorbeeld twee
hoeveel punten met een goed antwoord redenen worden gevraagd en je geeft
behaald kunnen worden. meer dan twee redenen, dan worden
Voor de beantwoording van vraag 10 is een alleen de eerste twee in de beoordeling
uitwerkbijlage bijgevoegd. meegeteld.
600023-1-49o Begin
, Verdienen vrouwen minder?
In maart 2003 stond in de Volkskrant een artikel over de inkomensachterstand van
vrouwen op mannen. Deze figuur stond er bij:
figuur 1 gemiddeld inkomen van
gemiddeld vrouwen als percentage van gemiddeld uurloon van
inkomen van vrouwen het gemiddeld inkomen mannen en vrouwen
van mannen
euro's 53
(x1000) perc. 50 51 euro's 16,98
15,11 15,75 mannen
11,91 vrouwen
13,30
11,69 12,23
8,68
12,0 14,2
10,2
1990 1995 2000 1990 1995 2000 1990 1997 1998 2000
A B C
Figuur 1A gaat over het gemiddelde jaarinkomen van vrouwen.
3p 1 Toon met een berekening aan dat het gemiddelde jaarinkomen van vrouwen tussen
1990 en 2000 met ruim 39% is toegenomen.
Met behulp van de figuren 1A en 1B kun je het gemiddelde jaarinkomen van de
mannen berekenen. Je weet namelijk het gemiddelde jaarinkomen van de vrouwen
en hoeveel procent dat is van het gemiddelde jaarinkomen van de mannen.
4p 2 Toon met berekeningen aan dat het gemiddelde jaarinkomen van de mannen
tussen 1990 en 2000 met een kleiner percentage is toegenomen dan dat van de
vrouwen.
Met de gegevens van 1990 en 2000 in figuur 1C is het mogelijk twee
berekeningen uit te voeren die tot verschillende conclusies leiden over het
gemiddeld uurloon van vrouwen vergeleken met dat van mannen. De ene
berekening leidt tot de conclusie dat vrouwen in die 10 jaar niet zijn ingelopen op
mannen. De andere berekening leidt tot de conclusie dat vrouwen wel zijn
ingelopen op mannen.
4p 3 Laat met berekeningen zien hoe deze twee verschillende conclusies getrokken
kunnen worden.
Batterijen
Digitale fotocamera’s werken op batterijen. Met standaard alkaline-batterijen kun
je de camera slechts 15 minuten aan laten staan: de gebruikstijd is 15 minuten.
Daarom gebruikt men voor deze camera’s batterijen met een grotere gebruikstijd,
meestal Lithium-batterijen of NiMH-batterijen (NiMH staat voor Nikkel Metaal
Hydride).
Robbert fotografeert veel en is daarom geïnteresseerd in batterijen.
Een tijdschrift over fotografie heeft NiMH-batterijen en Lithium-batterijen
onderzocht. Als resultaat vonden de onderzoekers dat de gebruikstijd van beide
soorten bij benadering normaal verdeeld is. Zij publiceerden over deze batterijen
cumulatieve frequentiepolygonen. Zie figuur 2.
600023-1-49o 2 Lees verder
,figuur 2 gebruikstijd NiMH-batterijen gebruikstijd Lithium-batterijen
100 100
% %
80 80
60 60
40 40
20 20
0 0
0 100 110 120 130 140 150 0 100 110 120 130 140 150
tijd (min) tijd (min)
4p 4 Welke van deze twee soorten heeft de grootste gemiddelde gebruikstijd? Licht je
antwoord toe.
We zeggen dat een type batterij betrouwbaarder is dan een ander type wanneer de
standaardafwijking van de gebruikstijd kleiner is dan die van dat andere type.
3p 5 Welke van de twee typen uit figuur 2 is betrouwbaarder? Licht je antwoord toe.
Robbert gaat regelmatig naar popconcerten en wil dan elk moment digitaal kunnen
vastleggen: zijn camera moet steeds aan staan. Hij heeft daarvoor een nieuw type
batterij gekocht. De gebruikstijd van zo’n batterij is normaal verdeeld met een
gemiddelde van 155 minuten en een standaardafwijking van 15 minuten.
Robbert bezoekt een popconcert dat drie uur duurt.
3p 6 Bereken de kans dat de gebruikstijd van de batterij voldoende is voor het hele
popconcert.
Een fabrikant van batterijen maakt reclame met de volgende beweringen:
99% van mijn batterijen heeft een gebruikstijd van meer dan 2 uur.
De helft van mijn batterijen heeft een gebruikstijd van zelfs meer dan 2 12 uur.
De fabrikant gaat kennelijk uit van een gemiddelde gebruikstijd van 2 12 uur. Ook
van deze batterijen is de gebruikstijd bij benadering normaal verdeeld.
4p 7 Bereken de standaardafwijking van de gebruikstijd van deze batterijen. Geef je
antwoord in hele minuten.
NiMH-batterijen lopen langzaam leeg, ook als ze niet worden gebruikt. Het
leeglopen gebeurt exponentieel: elke dag verliest een batterij 4% van zijn energie
als hij niet wordt gebruikt.
5p 8 Bereken na hoeveel dagen een volledig opgeladen batterij nog 70% van zijn
energie over heeft. Rond je antwoord af op één decimaal.
600023-1-49o 3 Lees verder
, Verpakkingen
Een bedrijf maakt bijzondere verpakkingen. Het bedrijf heeft onderzocht hoe de
kosten voor het maken van die verpakkingen samenhangen met het aantal
verpakkingen.
Het verband tussen de totale kosten TK (in duizenden euro’s) en het aantal
geproduceerde verpakkingen q (in duizendtallen) zie je in figuur 3.
In figuur 3 lees je bijvoorbeeld af dat bij een productie van 2000 verpakkingen de
totale kosten 15 000 euro zijn.
figuur 3 50
TK 45
(in duizenden
euro's) 40
35
30
25
20
15
10
5
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
q (in duizendtallen)
In figuur 4 zie je vier diagrammen A, B, C en D, waarin de toename ΔTK van TK
is weergegeven. Eén van de vier diagrammen past bij de grafiek in figuur 3.
figuur 4 ΔTK ΔTK ΔTK ΔTK
q q q q
A B C D
3p 9 Welk toenamendiagram past bij de grafiek in figuur 3? Licht je antwoord toe.
De marginale kosten MK geven de veranderingen van de totale kosten weer.
Figuur 3 staat vergroot op de uitwerkbijlage. Met behulp van die figuur kun je een
schatting geven van het aantal verpakkingen waarbij de marginale kosten zo klein
mogelijk zijn.
3p 10 Geef een schatting van dat aantal verpakkingen. Licht je werkwijze toe.
Bij figuur 3 hoort de volgende formule:
TK = 0,12q3 − 1,77q 2 + 9, 2q + 3, 25
Hierin zijn TK en q nog steeds de totale kosten in duizenden euro’s en het aantal
geproduceerde verpakkingen in duizendtallen.
Je kunt met de formule precies berekenen bij welk aantal verpakkingen de
marginale kosten zo klein mogelijk zijn. De afgeleide van TK geeft namelijk een
goede benadering van de marginale kosten, dus gebruik je hier MK = TK'.
6p 11 Stel de formule op van de marginale kosten MK en bereken daarmee bij welk
aantal verpakkingen MK minimaal is.
600023-1-49o 4 Lees verder
Examen HAVO
20
wiskunde A1,2
Hoger
Algemeen
Voortgezet
Onderwijs Tijdvak 1
Dinsdag 23 mei
13.30 – 16.30 uur
Als bij een vraag een verklaring, uitleg
of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend
als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Voor dit examen zijn maximaal 81 punten
Geef niet meer antwoorden (redenen,
te behalen; het examen bestaat uit 21
vragen.
voorbeelden e.d.) dan er worden
Voor elk vraagnummer is aangegeven gevraagd. Als er bijvoorbeeld twee
hoeveel punten met een goed antwoord redenen worden gevraagd en je geeft
behaald kunnen worden. meer dan twee redenen, dan worden
Voor de beantwoording van vraag 10 is een alleen de eerste twee in de beoordeling
uitwerkbijlage bijgevoegd. meegeteld.
600023-1-49o Begin
, Verdienen vrouwen minder?
In maart 2003 stond in de Volkskrant een artikel over de inkomensachterstand van
vrouwen op mannen. Deze figuur stond er bij:
figuur 1 gemiddeld inkomen van
gemiddeld vrouwen als percentage van gemiddeld uurloon van
inkomen van vrouwen het gemiddeld inkomen mannen en vrouwen
van mannen
euro's 53
(x1000) perc. 50 51 euro's 16,98
15,11 15,75 mannen
11,91 vrouwen
13,30
11,69 12,23
8,68
12,0 14,2
10,2
1990 1995 2000 1990 1995 2000 1990 1997 1998 2000
A B C
Figuur 1A gaat over het gemiddelde jaarinkomen van vrouwen.
3p 1 Toon met een berekening aan dat het gemiddelde jaarinkomen van vrouwen tussen
1990 en 2000 met ruim 39% is toegenomen.
Met behulp van de figuren 1A en 1B kun je het gemiddelde jaarinkomen van de
mannen berekenen. Je weet namelijk het gemiddelde jaarinkomen van de vrouwen
en hoeveel procent dat is van het gemiddelde jaarinkomen van de mannen.
4p 2 Toon met berekeningen aan dat het gemiddelde jaarinkomen van de mannen
tussen 1990 en 2000 met een kleiner percentage is toegenomen dan dat van de
vrouwen.
Met de gegevens van 1990 en 2000 in figuur 1C is het mogelijk twee
berekeningen uit te voeren die tot verschillende conclusies leiden over het
gemiddeld uurloon van vrouwen vergeleken met dat van mannen. De ene
berekening leidt tot de conclusie dat vrouwen in die 10 jaar niet zijn ingelopen op
mannen. De andere berekening leidt tot de conclusie dat vrouwen wel zijn
ingelopen op mannen.
4p 3 Laat met berekeningen zien hoe deze twee verschillende conclusies getrokken
kunnen worden.
Batterijen
Digitale fotocamera’s werken op batterijen. Met standaard alkaline-batterijen kun
je de camera slechts 15 minuten aan laten staan: de gebruikstijd is 15 minuten.
Daarom gebruikt men voor deze camera’s batterijen met een grotere gebruikstijd,
meestal Lithium-batterijen of NiMH-batterijen (NiMH staat voor Nikkel Metaal
Hydride).
Robbert fotografeert veel en is daarom geïnteresseerd in batterijen.
Een tijdschrift over fotografie heeft NiMH-batterijen en Lithium-batterijen
onderzocht. Als resultaat vonden de onderzoekers dat de gebruikstijd van beide
soorten bij benadering normaal verdeeld is. Zij publiceerden over deze batterijen
cumulatieve frequentiepolygonen. Zie figuur 2.
600023-1-49o 2 Lees verder
,figuur 2 gebruikstijd NiMH-batterijen gebruikstijd Lithium-batterijen
100 100
% %
80 80
60 60
40 40
20 20
0 0
0 100 110 120 130 140 150 0 100 110 120 130 140 150
tijd (min) tijd (min)
4p 4 Welke van deze twee soorten heeft de grootste gemiddelde gebruikstijd? Licht je
antwoord toe.
We zeggen dat een type batterij betrouwbaarder is dan een ander type wanneer de
standaardafwijking van de gebruikstijd kleiner is dan die van dat andere type.
3p 5 Welke van de twee typen uit figuur 2 is betrouwbaarder? Licht je antwoord toe.
Robbert gaat regelmatig naar popconcerten en wil dan elk moment digitaal kunnen
vastleggen: zijn camera moet steeds aan staan. Hij heeft daarvoor een nieuw type
batterij gekocht. De gebruikstijd van zo’n batterij is normaal verdeeld met een
gemiddelde van 155 minuten en een standaardafwijking van 15 minuten.
Robbert bezoekt een popconcert dat drie uur duurt.
3p 6 Bereken de kans dat de gebruikstijd van de batterij voldoende is voor het hele
popconcert.
Een fabrikant van batterijen maakt reclame met de volgende beweringen:
99% van mijn batterijen heeft een gebruikstijd van meer dan 2 uur.
De helft van mijn batterijen heeft een gebruikstijd van zelfs meer dan 2 12 uur.
De fabrikant gaat kennelijk uit van een gemiddelde gebruikstijd van 2 12 uur. Ook
van deze batterijen is de gebruikstijd bij benadering normaal verdeeld.
4p 7 Bereken de standaardafwijking van de gebruikstijd van deze batterijen. Geef je
antwoord in hele minuten.
NiMH-batterijen lopen langzaam leeg, ook als ze niet worden gebruikt. Het
leeglopen gebeurt exponentieel: elke dag verliest een batterij 4% van zijn energie
als hij niet wordt gebruikt.
5p 8 Bereken na hoeveel dagen een volledig opgeladen batterij nog 70% van zijn
energie over heeft. Rond je antwoord af op één decimaal.
600023-1-49o 3 Lees verder
, Verpakkingen
Een bedrijf maakt bijzondere verpakkingen. Het bedrijf heeft onderzocht hoe de
kosten voor het maken van die verpakkingen samenhangen met het aantal
verpakkingen.
Het verband tussen de totale kosten TK (in duizenden euro’s) en het aantal
geproduceerde verpakkingen q (in duizendtallen) zie je in figuur 3.
In figuur 3 lees je bijvoorbeeld af dat bij een productie van 2000 verpakkingen de
totale kosten 15 000 euro zijn.
figuur 3 50
TK 45
(in duizenden
euro's) 40
35
30
25
20
15
10
5
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
q (in duizendtallen)
In figuur 4 zie je vier diagrammen A, B, C en D, waarin de toename ΔTK van TK
is weergegeven. Eén van de vier diagrammen past bij de grafiek in figuur 3.
figuur 4 ΔTK ΔTK ΔTK ΔTK
q q q q
A B C D
3p 9 Welk toenamendiagram past bij de grafiek in figuur 3? Licht je antwoord toe.
De marginale kosten MK geven de veranderingen van de totale kosten weer.
Figuur 3 staat vergroot op de uitwerkbijlage. Met behulp van die figuur kun je een
schatting geven van het aantal verpakkingen waarbij de marginale kosten zo klein
mogelijk zijn.
3p 10 Geef een schatting van dat aantal verpakkingen. Licht je werkwijze toe.
Bij figuur 3 hoort de volgende formule:
TK = 0,12q3 − 1,77q 2 + 9, 2q + 3, 25
Hierin zijn TK en q nog steeds de totale kosten in duizenden euro’s en het aantal
geproduceerde verpakkingen in duizendtallen.
Je kunt met de formule precies berekenen bij welk aantal verpakkingen de
marginale kosten zo klein mogelijk zijn. De afgeleide van TK geeft namelijk een
goede benadering van de marginale kosten, dus gebruik je hier MK = TK'.
6p 11 Stel de formule op van de marginale kosten MK en bereken daarmee bij welk
aantal verpakkingen MK minimaal is.
600023-1-49o 4 Lees verder
