Mathe Leistungskurs, Klausur 4.4
Analytische Geometrie
Dreidimensionales Koordinatensystem: x-/y-/z-Achse
Statt 4 Quadranten 8 Oktanten
Koordinatenebenen
X2-x3- Ebene 1. Koordinate/x-Koordinate ist gleich null
X1-x3-Ebene 2. Koordinate/y-Koordinate ist gleich null
X1-x2- Ebene 3. Koordinate/z-Koordinate ist gleich null
Z-Achse 1. und 2. Koordinate (x und y) ist gleich null
Y-Achse 1. und 3. Koordinate (x und z) sind gleich null
X-Achse 2. und 3. Koordinate (y und z) sind gleich null
Spiegelungen an den Achsen oder Ebenen
Spiegelung an…
Xy-Ebene (x|y|-z) Vorzeichen der z-Koordinate
ändert sich
Yz-Ebene (-x|y|z) Vorzeichen der x-Koordinate
ändert sich
Xz-Ebene (x|-y|z) Vorzeichen der y-Koordinate
ändert sich
X-Achse (x|-y|-z) Vorzeichen der y-&z- Koordinate
ändern sich
Y-Achse (-x|y|-z) Vorzeichen der x-&z- Koordinate
ändern sich
Z-Achse (-x|-y|z) Vorzeichen der x-&y-Koordinate ändern
sich
Ursprung (-x|-y|-z) Alle Vorzeichen ändern sich
Vektoren
Ortsvektoren:
Der Ortsvektor zum Punkt P(p1|p2|p3) beginnt im Ursprung und endet in P
OP=xp= p1,p2,p3 (untereinander geschrieben)
Gegenvektor:
Der Gegenvektor von a=(a1;a2;a3) ist -a=(-a1;-a2;-a3)
Alle Vorzeichen ändern sich
Vektoren addieren
X+y= x1+y1; x2+y2; x3+y3 alle Koordinaten werden miteinander
addiert
, Mathe Leistungskurs, Klausur 4.4
Vektoren subtrahieren
X+y= x1-y1; x2-y2; x3-y3 alle Koordinaten werden miteinander
subtrahiert
Vektoren multiplizieren
Faktor * jede Koordinate
Verbindungsvektoren:
Verbindungsvektoren sind Vektoren von einem
Punkt zum anderen.
Xp= (p1;p2) xq=(q1;q2)
PQ=(q1-p1;q2-p2)
QP=(p1-q1;p2-q2)
Lineare Unabhängigkeit
Die Vektoren sind linear unabhängig, wenn sich der Nullvektor nur mit
dem Koeffizient a=b=c== linear kombinieren lässt.
Auf deutsch: a* Vektor x+ b* Vektor y+ c* Vektor z= 0
1) LGS aufstellen
2) LGS lösen (GTR oder per Hand)
3) wenn a=b=c=0 linear unabhängig
Wenn a=b=c ungleich 0 sind linear abhängig
Einheitsvektoren/ einfachste Basis
Ex= 1;0;0
Ey= 0;1;0 Die drei Vektoren haben die Länge 1 und sind linear
unabhängig
Ez= 0;0;1
Die Anzahl der Basisvektoren entspricht der Dimension eines
Vektorraumes 3 Basisvektoren= dreidimensional
Kollinear
Analytische Geometrie
Dreidimensionales Koordinatensystem: x-/y-/z-Achse
Statt 4 Quadranten 8 Oktanten
Koordinatenebenen
X2-x3- Ebene 1. Koordinate/x-Koordinate ist gleich null
X1-x3-Ebene 2. Koordinate/y-Koordinate ist gleich null
X1-x2- Ebene 3. Koordinate/z-Koordinate ist gleich null
Z-Achse 1. und 2. Koordinate (x und y) ist gleich null
Y-Achse 1. und 3. Koordinate (x und z) sind gleich null
X-Achse 2. und 3. Koordinate (y und z) sind gleich null
Spiegelungen an den Achsen oder Ebenen
Spiegelung an…
Xy-Ebene (x|y|-z) Vorzeichen der z-Koordinate
ändert sich
Yz-Ebene (-x|y|z) Vorzeichen der x-Koordinate
ändert sich
Xz-Ebene (x|-y|z) Vorzeichen der y-Koordinate
ändert sich
X-Achse (x|-y|-z) Vorzeichen der y-&z- Koordinate
ändern sich
Y-Achse (-x|y|-z) Vorzeichen der x-&z- Koordinate
ändern sich
Z-Achse (-x|-y|z) Vorzeichen der x-&y-Koordinate ändern
sich
Ursprung (-x|-y|-z) Alle Vorzeichen ändern sich
Vektoren
Ortsvektoren:
Der Ortsvektor zum Punkt P(p1|p2|p3) beginnt im Ursprung und endet in P
OP=xp= p1,p2,p3 (untereinander geschrieben)
Gegenvektor:
Der Gegenvektor von a=(a1;a2;a3) ist -a=(-a1;-a2;-a3)
Alle Vorzeichen ändern sich
Vektoren addieren
X+y= x1+y1; x2+y2; x3+y3 alle Koordinaten werden miteinander
addiert
, Mathe Leistungskurs, Klausur 4.4
Vektoren subtrahieren
X+y= x1-y1; x2-y2; x3-y3 alle Koordinaten werden miteinander
subtrahiert
Vektoren multiplizieren
Faktor * jede Koordinate
Verbindungsvektoren:
Verbindungsvektoren sind Vektoren von einem
Punkt zum anderen.
Xp= (p1;p2) xq=(q1;q2)
PQ=(q1-p1;q2-p2)
QP=(p1-q1;p2-q2)
Lineare Unabhängigkeit
Die Vektoren sind linear unabhängig, wenn sich der Nullvektor nur mit
dem Koeffizient a=b=c== linear kombinieren lässt.
Auf deutsch: a* Vektor x+ b* Vektor y+ c* Vektor z= 0
1) LGS aufstellen
2) LGS lösen (GTR oder per Hand)
3) wenn a=b=c=0 linear unabhängig
Wenn a=b=c ungleich 0 sind linear abhängig
Einheitsvektoren/ einfachste Basis
Ex= 1;0;0
Ey= 0;1;0 Die drei Vektoren haben die Länge 1 und sind linear
unabhängig
Ez= 0;0;1
Die Anzahl der Basisvektoren entspricht der Dimension eines
Vektorraumes 3 Basisvektoren= dreidimensional
Kollinear
