Inhoud
,Blok 0
T-toetsen
De Z-toets wordt gebruikt om met bekende populatieparameters hypothesen te toetsen.
Maar, de populatieparameters zijn vrijwel nooit bekend. Daarom moeten we de
populatieparameters schatten met steekproefparameters. Hiervoor wordt de T-toets gebruikt.
Gebruik van T-toetsen:
De uitkomsten zijn kwantitatief.
Steekproefparameters staan model voor populatieparameters.
- Gemiddelde van steekproef, x , staat model voor populatieparameter μ.
- Standaardafwijking van steekproef, sd , staat model voor populatieparameter σ
(geschatte standaardfout).
Steekproefgemiddelde moet kunnen worden beschouwd als een trekking uit een
normale verdeling.
Gebruik T-toets over Z-toets:
Er is onzekerheid over of x informatie geeft over de verwachtingswaarde en of de sd
informatie geeft over σ .
x en sd zijn ook onafhankelijk van elkaar de waarde van x zegt niets over wat de
waarde van sd gaat zijn.
- Vanwege deze dubbele onzekerheid maken we gebruik van de T-verdeling.
Het aantal vrijheidsgraden geeft aan in hoeverre de T-verdeling (geen normale
verdeling) lijkt op de Z-verdeling (standaardnormale verdeling). De T-verdeling gaat
meer lijken op Z-verdeling naarmate de steekproef groter is (bij veel vrijheidsgraden).
Er zijn 3 soorten T-toetsen:
Eén steekproef T-toets; one-sample T-test
T-toets voor twee onafhankelijke steekproeven; two-sample (independent) T-test
Gepaarde T-toets; paired (dependent) sample T-test
Samenvatting T-testen a.d.h.v. voorbeelden:
One sample T-test: Topsporters hebben een hoger metabolisme dan ‘gewone’ mensen
Hebben topsporters gemiddeld dan ook een hogere lichaamstemperatuur dan de 37℃ die
we bij andere mensen verwachten?
Paired T-test: Hebben topsporters na een matig intensieve training een hogere
lichaamstemperatuur dan ervoor?
Two-sample T-test: Is de verandering in lichaamstemperatuur na matig intensieve training
anders voor topsporters dan voor recreatieve sporters?
,ONE SAMPLE T-TEST PAIRED T-TEST TWO SAMPLE T-TEST
,ANTWOORD OP DE Hoe verhoudt de steekproef zich Is het gemiddelde verschil Is het gevonden verschil tussen
VRAAG: tot de norm, waarbij H0 de norm tussen twee meetpunten in onze gemiddelden van twee groepen
is? steekproef toe te schrijven aan toe te schrijven aan kans, of
kans, of bestaat dit ook in de bestaat dit ook in de populatie?
populatie?
SYMBOLEN: x (steekproefgemiddelde) en μ d (gemiddeld verschil) en Δ -
(populatieverwachting/normwaar (verwachte verschil in de
de). populatie).
SOORT STUDIE: Transversale cohort Prospectieve cohort - Transversale cohort
- Patiënt-controle
- Prospectieve cohort
VOORWAARDEN: 1. Gegevens zijn onderling 1. Eenheden zijn onderling 1. Gegevens zijn binnen de
onafhankelijk (binnen je onafhankelijk. twee groepen onderling
dataset mag je geen 2. Waarnemingen zijn juist wel onafhankelijk.
groepjes herkennen). afhankelijk (binnen 2. Gemiddelde van beide
2. Schatting voor μ (= eenheid). groepen is normaal
steekproefgemiddelde) is 3. Het gemiddelde van de verdeeld.
normaal verdeeld. verschilmetingen is normaal 3. Beide groepen zijn
verdeeld. getrokken uit populaties met
4. Het verschil is onafhankelijk identieke spreiding.
van de meetwaarde op t=0 4. Verschilscores zijn
. onafhankelijk van de
meetwaarde op t=0 .
HYPOTHESES H0: μtopsport =37 ℃ H0: er treedt geen verandering in H0: de verandering in
OPSTELLEN: temperatuur op als topsporters temperatuur na inspanning is
H1: μtopsport ≠ 37 ℃
trainen, ofwel: Δ=0 voor topsporters en recreanten
H1: er treedt wel verandering in hetzelfde, ofwel: Δ T = Δ R
temperatuur op als topsporters H1: de verandering in
trainen, ofwel: Δ ≠ 0 temperatuur na inspanning is
voor topsporters
en recreanten niet hetzelfde,
ofwel: Δ T ≠ Δ R
CHECK DE 1. Zijn de gegevens 1. Zijn de deelnemers aan de 1. Zijn gegevens
AANNAMES: onafhankelijk? De studie onafhankelijk? onafhankelijk?
aanname is overtreden bij 2. Zijn de waarnemingen in 2. Kan voor beide groepen d
Snowball-sampling. Als paren (voor-na)? als trekking uit een normale
deelnemers wordt gevraagd 3. Kan d als trekking uit een verdeling worden
om nieuwe deelnemers te normale verdeling worden beschouwd?
rekruteren. De deelnemers beschouwd? 3. Hebben beide groepen
kennen elkaar en gebruiken 4. Zijn de verschilscores dezelfde spreiding? Er
dezelfde trainingsmethode. onafhankelijk van de waarde zijn twee varianten van de 2-
2. Is x getrokken uit een op t=0 ? steekproef t -toets:
normale verdeling? - Homogeen (= H0 van
Bekijk hiervoor het Levene’s test):
histogram of Q-Q-plot, op bemonsterde populaties
het oog. hebben exact dezelfde
spreiding (kan niet
bewezen worden).
- Heterogeen (= H1 van
Levene’s test): niet
exact dezelfde
spreiding.
4. Zijn de verschilscores
onafhankelijk van de
meetwaarde op t=0 ?
TOETSINGS- De maat waarmee we meten De maat waarmee we meten De maat waarmee we meten
GROOTHEID (TG): hoeveel onze bevindingen hoeveel onze bevindingen hoeveel onze bevindingen
, afwijken van de verwachting afwijken van de verwachting afwijken van de verwachting
onder H0. TG is t . onder H0. TG is t . onder H0. TG is t .
x−μ0 d−Δ 0 ( x 1−x 2) −( μ1−μ 2 )0
t= t= t=
sd / √ n sd d / √ n sd x − x1 2
Teller: gevonden verschil Teller: gevonden verschil Hier:
tussen steekproefgemiddelde en tussen gemiddeld verschil en
verwachting onder H0. verwachting onder H0 (meestal ( d T −d R )
0). t= (onder H0 geldt dat
Noemer: … gerelateerd aan sd d −d T R
de variabiliteit van het verschil in Noemer: … gerelateerd aan
de teller. ( μ1−μ 2 )0=0).
de variabiliteit van het
gemiddelde van de
de t -verdeling heeft n – 1 verschilscores. Teller: gevonden verschil
vrijheidsgraden tussen gemiddelde (verschillen)
van twee groepen.
de t -verdeling heeft n – 1
vrijheidsgraden
Noemer: spreidingsmaat voor
het gevonden verschil tussen de
twee groepen.
Aantal vrijheidsgraden hangt
af van homogene (
df =n1 +n2−2) of heterogene
varianties (te ingewikkeld).
TG DEEL 2: N.v.t. N.v.t. Twee sd ' s worden
gecombineerd om tot een
spreidingsmaat te komen.
Heterogene formule:
√
2 2
sd T sd R
sd d −d = +
T R
nT n R
DEFENITIE Hoeveel bedraagt de kans om Hoeveel bedraagt de kans om Hoeveel bedraagt de kans om
OVERSCHRIJDINS- een resultaat te vinden dat x een resultaat te vinden dat x een resultaat te vinden dat x
KANS: aantal sd ' s (=t ) of meer afwijkt aantal sd ' s (=t ) of meer afwijkt aantal sd ' s (=t ) of meer afwijkt
van de verwachting onder H0, als van de verwachting onder H0, als van de verwachting onder H0, als
er in werkelijkheid geen verschil er in werkelijkheid geen verschil er in werkelijkheid geen verschil
is? is? is?
BEPALEN De t -waarde kan bij p = 0.05 en De t -waarde kan bij p = 0.05 en De t -waarde kan bij p = 0.05 en
OVERSCHRIJDINGS- het aantal vrijheidsgraden het aantal vrijheidsgraden het aantal vrijheidsgraden
KANS: worden afgelezen in de t -tabel worden afgelezen in de t -tabel worden afgelezen in de t -tabel
om de kritieke waarde te om de kritieke waarde te om de kritieke waarde te
bepalen. Bepaal of jouw t - bepalen. Bepaal of jouw t - bepalen. Bepaal of jouw t -
waarde de kritieke waarde waarde de kritieke waarde waarde de kritieke waarde
overschrijdt. De conclusie kan overschrijdt. De conclusie kan overschrijdt. De conclusie kan
worden getrokken met een worden getrokken met een worden getrokken met een
betrouwbaarheid van 95%. betrouwbaarheid van 95%. betrouwbaarheid van 95%.
KANTTEKENINGEN: - Je weet helemaal niet dat N.v.t. N.v.t.
de populatieverwachting 37
℃ is. Eigenlijk zou voor μ0
een steekproefgemiddelde
van niet topsporters gebruikt
moeten worden.
- Bij een kleine n moet een
, groot verschil aanwezig zijn
om een p < 0.05 te vinden.
BI: M.b.v. het BI kun je berekenen Ook a.d.v.h. BI is te zien dat H0 Ook hier past Δ=0 niet in het
of de norm bij je steekproef verworpen moet worden ( Δ=0 interval.
past. past niet in het interval).
sd sd d BI 95 % ( Δ )=( d T −d R ) ±t a=0,05 ;df =24 ×
BI 95 % ( μ )=x ±t a=0,05 ;df =13 × BI 95 % ( Δ )=d ±t a=0,05 ;df =20 ×
√n √n
,Blok 0
T-toetsen
De Z-toets wordt gebruikt om met bekende populatieparameters hypothesen te toetsen.
Maar, de populatieparameters zijn vrijwel nooit bekend. Daarom moeten we de
populatieparameters schatten met steekproefparameters. Hiervoor wordt de T-toets gebruikt.
Gebruik van T-toetsen:
De uitkomsten zijn kwantitatief.
Steekproefparameters staan model voor populatieparameters.
- Gemiddelde van steekproef, x , staat model voor populatieparameter μ.
- Standaardafwijking van steekproef, sd , staat model voor populatieparameter σ
(geschatte standaardfout).
Steekproefgemiddelde moet kunnen worden beschouwd als een trekking uit een
normale verdeling.
Gebruik T-toets over Z-toets:
Er is onzekerheid over of x informatie geeft over de verwachtingswaarde en of de sd
informatie geeft over σ .
x en sd zijn ook onafhankelijk van elkaar de waarde van x zegt niets over wat de
waarde van sd gaat zijn.
- Vanwege deze dubbele onzekerheid maken we gebruik van de T-verdeling.
Het aantal vrijheidsgraden geeft aan in hoeverre de T-verdeling (geen normale
verdeling) lijkt op de Z-verdeling (standaardnormale verdeling). De T-verdeling gaat
meer lijken op Z-verdeling naarmate de steekproef groter is (bij veel vrijheidsgraden).
Er zijn 3 soorten T-toetsen:
Eén steekproef T-toets; one-sample T-test
T-toets voor twee onafhankelijke steekproeven; two-sample (independent) T-test
Gepaarde T-toets; paired (dependent) sample T-test
Samenvatting T-testen a.d.h.v. voorbeelden:
One sample T-test: Topsporters hebben een hoger metabolisme dan ‘gewone’ mensen
Hebben topsporters gemiddeld dan ook een hogere lichaamstemperatuur dan de 37℃ die
we bij andere mensen verwachten?
Paired T-test: Hebben topsporters na een matig intensieve training een hogere
lichaamstemperatuur dan ervoor?
Two-sample T-test: Is de verandering in lichaamstemperatuur na matig intensieve training
anders voor topsporters dan voor recreatieve sporters?
,ONE SAMPLE T-TEST PAIRED T-TEST TWO SAMPLE T-TEST
,ANTWOORD OP DE Hoe verhoudt de steekproef zich Is het gemiddelde verschil Is het gevonden verschil tussen
VRAAG: tot de norm, waarbij H0 de norm tussen twee meetpunten in onze gemiddelden van twee groepen
is? steekproef toe te schrijven aan toe te schrijven aan kans, of
kans, of bestaat dit ook in de bestaat dit ook in de populatie?
populatie?
SYMBOLEN: x (steekproefgemiddelde) en μ d (gemiddeld verschil) en Δ -
(populatieverwachting/normwaar (verwachte verschil in de
de). populatie).
SOORT STUDIE: Transversale cohort Prospectieve cohort - Transversale cohort
- Patiënt-controle
- Prospectieve cohort
VOORWAARDEN: 1. Gegevens zijn onderling 1. Eenheden zijn onderling 1. Gegevens zijn binnen de
onafhankelijk (binnen je onafhankelijk. twee groepen onderling
dataset mag je geen 2. Waarnemingen zijn juist wel onafhankelijk.
groepjes herkennen). afhankelijk (binnen 2. Gemiddelde van beide
2. Schatting voor μ (= eenheid). groepen is normaal
steekproefgemiddelde) is 3. Het gemiddelde van de verdeeld.
normaal verdeeld. verschilmetingen is normaal 3. Beide groepen zijn
verdeeld. getrokken uit populaties met
4. Het verschil is onafhankelijk identieke spreiding.
van de meetwaarde op t=0 4. Verschilscores zijn
. onafhankelijk van de
meetwaarde op t=0 .
HYPOTHESES H0: μtopsport =37 ℃ H0: er treedt geen verandering in H0: de verandering in
OPSTELLEN: temperatuur op als topsporters temperatuur na inspanning is
H1: μtopsport ≠ 37 ℃
trainen, ofwel: Δ=0 voor topsporters en recreanten
H1: er treedt wel verandering in hetzelfde, ofwel: Δ T = Δ R
temperatuur op als topsporters H1: de verandering in
trainen, ofwel: Δ ≠ 0 temperatuur na inspanning is
voor topsporters
en recreanten niet hetzelfde,
ofwel: Δ T ≠ Δ R
CHECK DE 1. Zijn de gegevens 1. Zijn de deelnemers aan de 1. Zijn gegevens
AANNAMES: onafhankelijk? De studie onafhankelijk? onafhankelijk?
aanname is overtreden bij 2. Zijn de waarnemingen in 2. Kan voor beide groepen d
Snowball-sampling. Als paren (voor-na)? als trekking uit een normale
deelnemers wordt gevraagd 3. Kan d als trekking uit een verdeling worden
om nieuwe deelnemers te normale verdeling worden beschouwd?
rekruteren. De deelnemers beschouwd? 3. Hebben beide groepen
kennen elkaar en gebruiken 4. Zijn de verschilscores dezelfde spreiding? Er
dezelfde trainingsmethode. onafhankelijk van de waarde zijn twee varianten van de 2-
2. Is x getrokken uit een op t=0 ? steekproef t -toets:
normale verdeling? - Homogeen (= H0 van
Bekijk hiervoor het Levene’s test):
histogram of Q-Q-plot, op bemonsterde populaties
het oog. hebben exact dezelfde
spreiding (kan niet
bewezen worden).
- Heterogeen (= H1 van
Levene’s test): niet
exact dezelfde
spreiding.
4. Zijn de verschilscores
onafhankelijk van de
meetwaarde op t=0 ?
TOETSINGS- De maat waarmee we meten De maat waarmee we meten De maat waarmee we meten
GROOTHEID (TG): hoeveel onze bevindingen hoeveel onze bevindingen hoeveel onze bevindingen
, afwijken van de verwachting afwijken van de verwachting afwijken van de verwachting
onder H0. TG is t . onder H0. TG is t . onder H0. TG is t .
x−μ0 d−Δ 0 ( x 1−x 2) −( μ1−μ 2 )0
t= t= t=
sd / √ n sd d / √ n sd x − x1 2
Teller: gevonden verschil Teller: gevonden verschil Hier:
tussen steekproefgemiddelde en tussen gemiddeld verschil en
verwachting onder H0. verwachting onder H0 (meestal ( d T −d R )
0). t= (onder H0 geldt dat
Noemer: … gerelateerd aan sd d −d T R
de variabiliteit van het verschil in Noemer: … gerelateerd aan
de teller. ( μ1−μ 2 )0=0).
de variabiliteit van het
gemiddelde van de
de t -verdeling heeft n – 1 verschilscores. Teller: gevonden verschil
vrijheidsgraden tussen gemiddelde (verschillen)
van twee groepen.
de t -verdeling heeft n – 1
vrijheidsgraden
Noemer: spreidingsmaat voor
het gevonden verschil tussen de
twee groepen.
Aantal vrijheidsgraden hangt
af van homogene (
df =n1 +n2−2) of heterogene
varianties (te ingewikkeld).
TG DEEL 2: N.v.t. N.v.t. Twee sd ' s worden
gecombineerd om tot een
spreidingsmaat te komen.
Heterogene formule:
√
2 2
sd T sd R
sd d −d = +
T R
nT n R
DEFENITIE Hoeveel bedraagt de kans om Hoeveel bedraagt de kans om Hoeveel bedraagt de kans om
OVERSCHRIJDINS- een resultaat te vinden dat x een resultaat te vinden dat x een resultaat te vinden dat x
KANS: aantal sd ' s (=t ) of meer afwijkt aantal sd ' s (=t ) of meer afwijkt aantal sd ' s (=t ) of meer afwijkt
van de verwachting onder H0, als van de verwachting onder H0, als van de verwachting onder H0, als
er in werkelijkheid geen verschil er in werkelijkheid geen verschil er in werkelijkheid geen verschil
is? is? is?
BEPALEN De t -waarde kan bij p = 0.05 en De t -waarde kan bij p = 0.05 en De t -waarde kan bij p = 0.05 en
OVERSCHRIJDINGS- het aantal vrijheidsgraden het aantal vrijheidsgraden het aantal vrijheidsgraden
KANS: worden afgelezen in de t -tabel worden afgelezen in de t -tabel worden afgelezen in de t -tabel
om de kritieke waarde te om de kritieke waarde te om de kritieke waarde te
bepalen. Bepaal of jouw t - bepalen. Bepaal of jouw t - bepalen. Bepaal of jouw t -
waarde de kritieke waarde waarde de kritieke waarde waarde de kritieke waarde
overschrijdt. De conclusie kan overschrijdt. De conclusie kan overschrijdt. De conclusie kan
worden getrokken met een worden getrokken met een worden getrokken met een
betrouwbaarheid van 95%. betrouwbaarheid van 95%. betrouwbaarheid van 95%.
KANTTEKENINGEN: - Je weet helemaal niet dat N.v.t. N.v.t.
de populatieverwachting 37
℃ is. Eigenlijk zou voor μ0
een steekproefgemiddelde
van niet topsporters gebruikt
moeten worden.
- Bij een kleine n moet een
, groot verschil aanwezig zijn
om een p < 0.05 te vinden.
BI: M.b.v. het BI kun je berekenen Ook a.d.v.h. BI is te zien dat H0 Ook hier past Δ=0 niet in het
of de norm bij je steekproef verworpen moet worden ( Δ=0 interval.
past. past niet in het interval).
sd sd d BI 95 % ( Δ )=( d T −d R ) ±t a=0,05 ;df =24 ×
BI 95 % ( μ )=x ±t a=0,05 ;df =13 × BI 95 % ( Δ )=d ±t a=0,05 ;df =20 ×
√n √n
