DERIVADAS POR DEFINICIÓN.
EJEMPLO 4
Calcula la derivada de la siguiente función.
𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
SOLUCIÓN.
Resolveremos este ejercicio en 4 pasos aplicando la definición de la derivada.
Paso 1: Se sustituye 𝑥 por 𝑥 + ∆𝑥 en la función original, al igual que 𝑦 por 𝑦 + ∆𝑦.
𝑦 + ∆𝑦 = 𝑠𝑒𝑛[2( 𝑥 + ∆𝑥)]
Desarrollamos la expresión y la simplificamos.
𝑦 + ∆𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 2∆𝑥)
Paso 2: Al nuevo valor que obtuvimos le restamos la función original.
𝑦 + ∆𝑦 − (𝑦) = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 2∆𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
Simplificamos.
𝑦 + ∆𝑦 − 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 2∆𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
∆𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 2∆𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
Realizamos la sustitución trigonométrica correspondiente.
𝑥+𝑦 𝑥−𝑦
𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(𝑦) = 2cos ( )𝑠𝑒𝑛( )
2 2
Sustituimos en nuestra expresión y simplificamos
2𝑥 + 2∆𝑥 + (2𝑥) 2𝑥 + 2∆𝑥 − (2𝑥)
𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 2∆𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) = 2cos ( )𝑠𝑒𝑛( )
2 2
2𝑥 + 2∆𝑥 + 2𝑥 2𝑥 + 2∆𝑥 − 2𝑥
𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 2∆𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) = 2cos ( )𝑠𝑒𝑛( )
2 2
Elaboró: Emilio Mendoza
EJEMPLO 4
Calcula la derivada de la siguiente función.
𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
SOLUCIÓN.
Resolveremos este ejercicio en 4 pasos aplicando la definición de la derivada.
Paso 1: Se sustituye 𝑥 por 𝑥 + ∆𝑥 en la función original, al igual que 𝑦 por 𝑦 + ∆𝑦.
𝑦 + ∆𝑦 = 𝑠𝑒𝑛[2( 𝑥 + ∆𝑥)]
Desarrollamos la expresión y la simplificamos.
𝑦 + ∆𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 2∆𝑥)
Paso 2: Al nuevo valor que obtuvimos le restamos la función original.
𝑦 + ∆𝑦 − (𝑦) = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 2∆𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
Simplificamos.
𝑦 + ∆𝑦 − 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 2∆𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
∆𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 2∆𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
Realizamos la sustitución trigonométrica correspondiente.
𝑥+𝑦 𝑥−𝑦
𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(𝑦) = 2cos ( )𝑠𝑒𝑛( )
2 2
Sustituimos en nuestra expresión y simplificamos
2𝑥 + 2∆𝑥 + (2𝑥) 2𝑥 + 2∆𝑥 − (2𝑥)
𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 2∆𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) = 2cos ( )𝑠𝑒𝑛( )
2 2
2𝑥 + 2∆𝑥 + 2𝑥 2𝑥 + 2∆𝑥 − 2𝑥
𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 2∆𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) = 2cos ( )𝑠𝑒𝑛( )
2 2
Elaboró: Emilio Mendoza
