OMPI 1 - ESPACES
VECTORIELS NORMÉS
I ) Nornes
Soit F- 1K
Def : un sur sur E
'
eu , une norme :
II. 11
E -
R -1
vérifiait :
Hay ) C- F-2
i ) inégalité triangulaire :
, Katy " ≤ Hall -11411
ii )
homogénéité : tbc IR ,
the EE
;
Udall = HI Hall
iii ) the C- F-
Hall
, =
OR x =
0E
Exemple sur F- = Reki a
)
"
"
.
( ¥ lait)
"
→
norme euclidienne l
'
: txt =
Hella =
,
the =
Ë ,
E R
→ notre associée au
produit scalaire :
"
( Esa )
'
Valls =
R
Hall
.IE lait
'
→
norme l :
,
=
d "
°
'
→ norne l' , Vp C- 21 ; llxllp =
( .
/ai /P)
Exemple : sur F- = Ca / [aib]iR ) avec - • < a < b<
b
+ a
fixés
/
'
→ norme L : Hull - = lulu) / du
^ ,
a
b
Np
' → norme
LP :
Hully :( | lulu) / du .
Ï
a
(
i Ca Hull UK)
'
→ norme :
,
=
sup
a b relais]
II. Normes et distances
De / ✗ ensemble ✗
soit
quelconque Une distance
•
: un .
sur et une
application d : ✗ ✗ ✗ →
☒ + vérifiant :
i ) Inégalité triangulaire : d /x , z
) ≤ dla ,y ) +
dly , 2)
ii )
symétrie
:
they ) C- ✗ , dln , y ) =
dly , ) x
2
iii ) tla y ) ,
E ✗ ; dlu y )=o ,
✗ =
y
, 2
•
Distance associée à une norme :
set F- un ev et II. Il ne noue sur F-
l' d F- E distance
application : : ✗ → Rt et une .
thy ) →
dla , y) = Ux -
yll
•
Exemple Rd ?
1-
: sur
→
norme euclidienne distance euclidienne x
o
'
→ norme l
"
distance l ( taxi -
distance ) -
.
Remarque : il existe des distances non -
issues de normes
dans R2
Exemple distance SNCF
•
: :
^
a
+
Y
+
S
II. Élements de
topologie de F- UN
Set F- un K -
eu muni d' une nerve II. NE
Def Sat E E et 70 note
•
: x r
; on .
*
BE / x
,
r ) = { YEE ,
Ha y " <- r } ( boule ouverte )
* BE ln, r ) =
fy c- E ; Ha -
yl ≤ r } ( boule ferrée )
R2
Exemple dans
•
:
n d d
> > >
BIO ;) par II. 112 BIO, , ) par II. Il , 1310,1 ) par II. Ita
VECTORIELS NORMÉS
I ) Nornes
Soit F- 1K
Def : un sur sur E
'
eu , une norme :
II. 11
E -
R -1
vérifiait :
Hay ) C- F-2
i ) inégalité triangulaire :
, Katy " ≤ Hall -11411
ii )
homogénéité : tbc IR ,
the EE
;
Udall = HI Hall
iii ) the C- F-
Hall
, =
OR x =
0E
Exemple sur F- = Reki a
)
"
"
.
( ¥ lait)
"
→
norme euclidienne l
'
: txt =
Hella =
,
the =
Ë ,
E R
→ notre associée au
produit scalaire :
"
( Esa )
'
Valls =
R
Hall
.IE lait
'
→
norme l :
,
=
d "
°
'
→ norne l' , Vp C- 21 ; llxllp =
( .
/ai /P)
Exemple : sur F- = Ca / [aib]iR ) avec - • < a < b<
b
+ a
fixés
/
'
→ norme L : Hull - = lulu) / du
^ ,
a
b
Np
' → norme
LP :
Hully :( | lulu) / du .
Ï
a
(
i Ca Hull UK)
'
→ norme :
,
=
sup
a b relais]
II. Normes et distances
De / ✗ ensemble ✗
soit
quelconque Une distance
•
: un .
sur et une
application d : ✗ ✗ ✗ →
☒ + vérifiant :
i ) Inégalité triangulaire : d /x , z
) ≤ dla ,y ) +
dly , 2)
ii )
symétrie
:
they ) C- ✗ , dln , y ) =
dly , ) x
2
iii ) tla y ) ,
E ✗ ; dlu y )=o ,
✗ =
y
, 2
•
Distance associée à une norme :
set F- un ev et II. Il ne noue sur F-
l' d F- E distance
application : : ✗ → Rt et une .
thy ) →
dla , y) = Ux -
yll
•
Exemple Rd ?
1-
: sur
→
norme euclidienne distance euclidienne x
o
'
→ norme l
"
distance l ( taxi -
distance ) -
.
Remarque : il existe des distances non -
issues de normes
dans R2
Exemple distance SNCF
•
: :
^
a
+
Y
+
S
II. Élements de
topologie de F- UN
Set F- un K -
eu muni d' une nerve II. NE
Def Sat E E et 70 note
•
: x r
; on .
*
BE / x
,
r ) = { YEE ,
Ha y " <- r } ( boule ouverte )
* BE ln, r ) =
fy c- E ; Ha -
yl ≤ r } ( boule ferrée )
R2
Exemple dans
•
:
n d d
> > >
BIO ;) par II. 112 BIO, , ) par II. Il , 1310,1 ) par II. Ita
