10. Vl Ana1LinA Vektorräume

Vektorräume

Vektorraum
Menge in derman Elemente addieren kann undmit Skalaren multiplizieren
kann

Skalare kommen aus einem Körper
Q IR E

Wirschreiben 1KfürdenSkalarkörper K IR oder IK
Vektoren Lateinische Buchstaben oder
Bezeichnung a v w usw T.EE usw
Skalare griechischeBuchstaben 7Kambdal µ my usw



Definition Vektorraum


Ein K Vektorraum isteine Menge V deren Elemente man addieren kann und
mit einem Skalar multiplizieren kann
Dh E Ü EV T E V
und XE1k Er E X EV
Dabeigeltenfolgende Gesetze

EHE EHE E E Fü ü asozial

Et ä ä ü Kommutativ


Esgibteinen Nullektor Ö fürden immer gilt Ö ü
neutrales Element
ü für TEV

zu ü EV gibt es einen Vektor ü EV mit Ttt Ö inversesElement


AMÜSANTGAME
At AE ME Gstribut

Hütet y distributor


T.EE
Bsp 1 Derkleinste Vektorraum ist K Ö
2 Pfeilklassen in derEbene ü
F
ü
j

, 3 IR EEIIx xzEIR

In
IR
E ER 1k
allgemeiner oder


IK In Elk
E
AdditionundSkalanmaltiplikation komponentenweise


B
EEE TEE
4 Vektorraum der Polynome
K plp G ist ein Polynom

Bsp Z t 5 Jet 8 PLZ t GE 2 32 13
pe qe
51pct 25 55

5 DEIR Alle Funktionen D IR bilden einen Vektorraum
f
Definition Teilräume

Teilmengeeines Vektaraums die selbst Vektormengeist

Sei V ein IK Vektorraum EineTeilmenge TEV heißtTeilramm in N wen
Tselbst auch ein Vektorraum ist
7 Gesetze 1 2 und 5 8 sind beijederTeilmenge erfüllt

I Teilraumkriterium Eine Teilmenge TEV aus einem KVektorraum V ist genau
dann Teilraum wenn
gilt 1 Ö ET
2 Ü Ü ET ET ET Tmuss abgeschlussen sein
3 ü ET TEK zu T bezüglichAdditionundSkalarmaltiplik


Bsp 1 Fürjeden Vektorraum V ist Öein Teilraum
und V ein Teilraum
2 VER
G ist eine Gerade durch Ö Y
EE IE ER bildeteinenTeilramm
Fi
n

oft Ö 1
1 ne