Wis en natuurkunde I – Deel 2
THEMA II: mechanische trillingen en golven
TRILLINGEN
1. De enkelvoudige harmonische trilling (E.H.T)
1.1. Definities en wiskundige schrijfwijze van de enkelvoudige harmonische trilling
Trilling = Als een fysische grootheid een beweging uitvoert t.o.v. een evenwichtspositie onder invloed
van een kracht welke tijdsafhankelijk is en, waarbij de beweging herhaald wordt gedurende
een welbepaald tijdsinterval
Mechanische trilling = fysische grootheid een mechanisch systeem is (onderscheiden op basis van
oorzaak)
➔ Vrije trilling = kracht aanwezig in systeem, inwendige kracht
➔ Gedempte trilling = uitwendige trilling die de vrije kracht tegenwerkt
➔ Gedwongen trilling = beweging is het gevolg van een uitwendige aandrijfkracht die
tijdsafhankelijk is
Elektromagnetische trilling = fysische grootheid elektrisch/magnetisch is
Periodische trilling = fysische grootheid t.o.v. de evenwichtspositie uitwijkt gedurende gelijke
tijdsintervallen
Enkelvoudige harmonische trilling = beweging kan uitgedrukt worden door een harmonische functie
Zaagtandfunctie
Klokfunctie
Sinusfunctie
Enkelvoudige harmonische trilling
- Periode T = trilling eenmaal uitgevoerd
- Frequentie f = aantal periodes per tijdseenheid -> f = 1/T
- Amplitude A = maximale uitwijking
- Beginfase θ
- Pulsatie ω = cirkelfrequentie -> ω = 2π/T = 2πf
x(t) = A sin(ωt + φ)
1
,1.2. Vectoriële voorstelling en differentiaalvorm
x(t) = Asin(ωt + φ),
v(t) = Aωcos(ωt + φ),
a(t) = -Aω²sin(ωt + φ) = -ω² x (t)
vmax = Aω
amax = Aω²
verplaatsing
snelheid -> π/2 rad verschoven
versnelling -> π rad verschoven
1.3. Het massa-veer systeem
2de wet van Newton → F = m*a
Fv = -k*x(t) Fv = m* (𝑑^2 𝑥(𝑡))/𝑑𝑡²
Fv = (𝑑^2 𝑥(𝑡))/𝑑𝑡² + 𝑘/𝑚 𝑥(𝑡) = 0
ω = √(𝑘/𝑚)
1.4. Behoud van mechanische energie
Totale energie = som van de kinetische energie en de potentiële energie
Ek = 0 & Ep = max → maximale afwijking
Ek = max & Ep = 0 → evenwicht
Ek = 1/2 𝑚 ∗ 𝑣² Ep = 1/2 𝑘 ∗ 𝑥²
➔ Et = 1/2 𝑚 ∗ 𝑣^2 + 1/2 𝑘 ∗ 𝑥^2 = 1/2 𝑘 ∗ 𝐴²
(kijk p10)
2
,2. Samenstellen van trillingen
Vele periodische verschijnselen zijn niet-harmonisch, maar wel als som van harmonische trillingen
2.1. Twee evenwijdige, harmonische trillingen met gelijke pulsaties
Resulterende beweging = som van de harmonische trillingen
𝑥(𝑡) = 𝑥1(𝑡) + 𝑥2(𝑡) = Asin(ωt + φ)
➔ Zie p11-12 voor formules (normaal geen bewijzen te kennen)
2.2. Speciale gevallen
➔ Gelijke beginfase -> trillingen in fase; A= A1+A2; θ1= θ2
➔ π faseverschil -> θ2- θ1 = π dan is A = A2 -A1
➔ klein verschil in pulsatie -> ω1 ≈ ω2; ontstaat een zweving
Zweving = 2 systemen die eenzelfde trilling veroorzaken die niet in dezelfde pulsatie
trillen. Ander geluid dan normaal.
3. De gedempte harmonische trilling
3.1. Definities en wiskundige uitdrukking
Uitwendige wrijvingskracht F w gaat de beweging dempen.
Fw is tegengesteld aan de snelheid van de beweging.
b = dempingsfactor
- 2de wet van Newton -> Fv + Fw = m*a
ẟ = dempingscoëfficiënt
ω = pulsatie
3
, 3.2. Speciale gevallen
➔ Periodische demping -> ẟ² < ω²; ω’ is reëel => beweging periodisch
➔ Aperiodische demping -> ẟ² > ω²; ω’ is irreëel => geen periodiciteit
➔ Kritische demping -> ẟ² = ω² => evenwichtstoestand
a = periodische demping
b = aperiodische demping
c1 = kritische periodisch -> t = T
c2 = kritische aperiodisch -> t ≠ T
4. De gedwongen harmonische trillingen
4.1. Definities en wiskundige uitdrukking
Uitwendige aandrijfkracht die tijdsafhankelijk is F(t) werkt in op het systeem.
F0 = amplitude
→ bewegingsvergelijking van gedwongen
trilling
4.2. Resonantie
Resonantie = de massa m ‘’gedwongen” wordt te trillen met haar eigen pulsatie
➔ Maximale amplitude waar resonantie optreedt, wordt bepaald door dempingsfactor b
B groter dan zal de amplitude een kleinere waarde aannemen → lagere pulsatie-waarde
B = 0 → geen demping → bij resonantie de eigenpulsatie van de vrije trilling bereikt worden
Amplitude is afhankelijk van:
- De uitwendige maximale amplitude F 0
- De eigenpulsatie ω
- De opgelegde pulsatie ω”
- De dempingscoëfficiënt ẟ
4
THEMA II: mechanische trillingen en golven
TRILLINGEN
1. De enkelvoudige harmonische trilling (E.H.T)
1.1. Definities en wiskundige schrijfwijze van de enkelvoudige harmonische trilling
Trilling = Als een fysische grootheid een beweging uitvoert t.o.v. een evenwichtspositie onder invloed
van een kracht welke tijdsafhankelijk is en, waarbij de beweging herhaald wordt gedurende
een welbepaald tijdsinterval
Mechanische trilling = fysische grootheid een mechanisch systeem is (onderscheiden op basis van
oorzaak)
➔ Vrije trilling = kracht aanwezig in systeem, inwendige kracht
➔ Gedempte trilling = uitwendige trilling die de vrije kracht tegenwerkt
➔ Gedwongen trilling = beweging is het gevolg van een uitwendige aandrijfkracht die
tijdsafhankelijk is
Elektromagnetische trilling = fysische grootheid elektrisch/magnetisch is
Periodische trilling = fysische grootheid t.o.v. de evenwichtspositie uitwijkt gedurende gelijke
tijdsintervallen
Enkelvoudige harmonische trilling = beweging kan uitgedrukt worden door een harmonische functie
Zaagtandfunctie
Klokfunctie
Sinusfunctie
Enkelvoudige harmonische trilling
- Periode T = trilling eenmaal uitgevoerd
- Frequentie f = aantal periodes per tijdseenheid -> f = 1/T
- Amplitude A = maximale uitwijking
- Beginfase θ
- Pulsatie ω = cirkelfrequentie -> ω = 2π/T = 2πf
x(t) = A sin(ωt + φ)
1
,1.2. Vectoriële voorstelling en differentiaalvorm
x(t) = Asin(ωt + φ),
v(t) = Aωcos(ωt + φ),
a(t) = -Aω²sin(ωt + φ) = -ω² x (t)
vmax = Aω
amax = Aω²
verplaatsing
snelheid -> π/2 rad verschoven
versnelling -> π rad verschoven
1.3. Het massa-veer systeem
2de wet van Newton → F = m*a
Fv = -k*x(t) Fv = m* (𝑑^2 𝑥(𝑡))/𝑑𝑡²
Fv = (𝑑^2 𝑥(𝑡))/𝑑𝑡² + 𝑘/𝑚 𝑥(𝑡) = 0
ω = √(𝑘/𝑚)
1.4. Behoud van mechanische energie
Totale energie = som van de kinetische energie en de potentiële energie
Ek = 0 & Ep = max → maximale afwijking
Ek = max & Ep = 0 → evenwicht
Ek = 1/2 𝑚 ∗ 𝑣² Ep = 1/2 𝑘 ∗ 𝑥²
➔ Et = 1/2 𝑚 ∗ 𝑣^2 + 1/2 𝑘 ∗ 𝑥^2 = 1/2 𝑘 ∗ 𝐴²
(kijk p10)
2
,2. Samenstellen van trillingen
Vele periodische verschijnselen zijn niet-harmonisch, maar wel als som van harmonische trillingen
2.1. Twee evenwijdige, harmonische trillingen met gelijke pulsaties
Resulterende beweging = som van de harmonische trillingen
𝑥(𝑡) = 𝑥1(𝑡) + 𝑥2(𝑡) = Asin(ωt + φ)
➔ Zie p11-12 voor formules (normaal geen bewijzen te kennen)
2.2. Speciale gevallen
➔ Gelijke beginfase -> trillingen in fase; A= A1+A2; θ1= θ2
➔ π faseverschil -> θ2- θ1 = π dan is A = A2 -A1
➔ klein verschil in pulsatie -> ω1 ≈ ω2; ontstaat een zweving
Zweving = 2 systemen die eenzelfde trilling veroorzaken die niet in dezelfde pulsatie
trillen. Ander geluid dan normaal.
3. De gedempte harmonische trilling
3.1. Definities en wiskundige uitdrukking
Uitwendige wrijvingskracht F w gaat de beweging dempen.
Fw is tegengesteld aan de snelheid van de beweging.
b = dempingsfactor
- 2de wet van Newton -> Fv + Fw = m*a
ẟ = dempingscoëfficiënt
ω = pulsatie
3
, 3.2. Speciale gevallen
➔ Periodische demping -> ẟ² < ω²; ω’ is reëel => beweging periodisch
➔ Aperiodische demping -> ẟ² > ω²; ω’ is irreëel => geen periodiciteit
➔ Kritische demping -> ẟ² = ω² => evenwichtstoestand
a = periodische demping
b = aperiodische demping
c1 = kritische periodisch -> t = T
c2 = kritische aperiodisch -> t ≠ T
4. De gedwongen harmonische trillingen
4.1. Definities en wiskundige uitdrukking
Uitwendige aandrijfkracht die tijdsafhankelijk is F(t) werkt in op het systeem.
F0 = amplitude
→ bewegingsvergelijking van gedwongen
trilling
4.2. Resonantie
Resonantie = de massa m ‘’gedwongen” wordt te trillen met haar eigen pulsatie
➔ Maximale amplitude waar resonantie optreedt, wordt bepaald door dempingsfactor b
B groter dan zal de amplitude een kleinere waarde aannemen → lagere pulsatie-waarde
B = 0 → geen demping → bij resonantie de eigenpulsatie van de vrije trilling bereikt worden
Amplitude is afhankelijk van:
- De uitwendige maximale amplitude F 0
- De eigenpulsatie ω
- De opgelegde pulsatie ω”
- De dempingscoëfficiënt ẟ
4
