Hoofdstuk 5: Lineaire afbeeldingen (p 70-85)
5.1 Definities
Een afbeelding T van een n-dimensionele vectorruimte V naar een m-
dimensionele vectorruimte W (of, wegens het isomorfisme, van Fn naar Fm )
is een bewerking die iedere vector ⃗x van V omzet in of afbeeldt op een
vector T (⃗x ) van W.
De vector T (⃗x ) is het beeld van ⃗x onder de afbeelding T.
Een afbeelding van een vectorruimte naar zichzelf wordt een transformatie
van V genoemd.
Een afbeelding T van V naar W is lineair a.s.a. aan de volgende voorwaarden is
voldaan:
T ( ⃗x +⃗y )=T ( ⃗x ) +T ( ⃗y ) , ∀ ⃗x , ⃗y ∈ V en
T ( r ⃗x )=rT ( ⃗x ) , ∀ ⃗x ∈V en ∀ r ∈ F
5.2 Kern en Beeld van een lineaire afbeelding
De kern van een lineaire afbeelding T van V naar W, genoteerd als KerT, is de
verzameling van alle vectoren van V die door T op de nulvector van W worden
afgebeeld.
KerT ={ ⃗v ∨⃗v ∈V en T ( ⃗v )=⃗0 } ⊂V
Het beeld van T, genoteerd als ImT, is de verzameling van alle beeldvectoren:
ImT= { T ( ⃗v ) ∨⃗v ∈V }
KerT is een deelruimte van V en ImT een deelruimte van W.
De dimensie van KerT wordt de nulliteit van T genoemd, de dimensie van
ImT noemen we de rang van T.
Tussen beide en de dimensie van V is er een verband, dat bekent staat als de
tweede dimensiestelling:
dim V =dim ( KerT )+ dim(ImT )
5.3 Matrix van een lineaire afbeelding
Algebra: Hoofdstuk 5 1
, Vanaf nu zullen we, tenzij anders vermeld, vectoren steeds noteren onder hun
kolommenmatrixvorm t.o.v. een bepaalde basis. Met ⃗x bedoelen we dus
een kolommatrix.
Voor lineaire afbeeldingen geldt er dan de volgende belangrijke eigenschap:
Een afbeelding T van een n-dimensionele vectorruimte V naar een m-
dimensionele vectorruimte W is lineair a.s.a. haar beelden kunnen bekomen
worden door de vectoren van links te vermenigvuldigen met een matrix, deze
matrix is uniek, eens de basissen van V en W gekozen zijn.
T :V →W lineair ⇔ ∃! A ∈ Mat ( m, n , F ) =T ( ⃗x )=A ∙ ⃗x , ∀ ⃗x ∈V
A wordt de matrix van de lineaire afbeelding T genoemd.
Omgekeerd:
Iedere matrix kan beschouwd worden als de matrix van, of geassocieerd
worden met, een lineaire afbeelding. Begrippen als de kern van een matrix of
het beeld van een matrix krijgen op die manier ook een betekenis.
Een lineaire afbeelding T van V naar W is volledig bepaald wanneer we de
beelden van de vectoren van een basis van V kennen.
Iedere vector ⃗x van V kan immers op unieke wijze geschreven worden als
een lineaire combinatie van de vectoren van een basis B=(⃗
e1 , ⃗
e2, … , ⃗
e n) :
⃗x =x 1 ⃗
e1 + x2 ⃗
e 2+ …+ x n ⃗
en
En bijgevolg:
T ( ⃗x )=T ( x 1 ⃗
e 1+ x2 ⃗
e 2+ …+ x n e⃗n )
Vermits T een lineaire afbeelding is, kunnen we dit schrijven als:
T ( ⃗x )=x 1 T ( ⃗
e1 ) + x 2 T ( ⃗
e 2 ) +…+ x n T ( ⃗
en )
Kennen we bijgevolg de beelden van de basisvectoren,
T (⃗
e 1 ) ,T ( ⃗
e 2 ) ,… , T (⃗
e n)
dan kunnen we hiermee het beeld T ( ⃗x ) van iedere vector ⃗x van V
bepalen.
Bovendien kunnen we deze formule schrijven in matrixvorm:
Algebra: Hoofdstuk 5 2
5.1 Definities
Een afbeelding T van een n-dimensionele vectorruimte V naar een m-
dimensionele vectorruimte W (of, wegens het isomorfisme, van Fn naar Fm )
is een bewerking die iedere vector ⃗x van V omzet in of afbeeldt op een
vector T (⃗x ) van W.
De vector T (⃗x ) is het beeld van ⃗x onder de afbeelding T.
Een afbeelding van een vectorruimte naar zichzelf wordt een transformatie
van V genoemd.
Een afbeelding T van V naar W is lineair a.s.a. aan de volgende voorwaarden is
voldaan:
T ( ⃗x +⃗y )=T ( ⃗x ) +T ( ⃗y ) , ∀ ⃗x , ⃗y ∈ V en
T ( r ⃗x )=rT ( ⃗x ) , ∀ ⃗x ∈V en ∀ r ∈ F
5.2 Kern en Beeld van een lineaire afbeelding
De kern van een lineaire afbeelding T van V naar W, genoteerd als KerT, is de
verzameling van alle vectoren van V die door T op de nulvector van W worden
afgebeeld.
KerT ={ ⃗v ∨⃗v ∈V en T ( ⃗v )=⃗0 } ⊂V
Het beeld van T, genoteerd als ImT, is de verzameling van alle beeldvectoren:
ImT= { T ( ⃗v ) ∨⃗v ∈V }
KerT is een deelruimte van V en ImT een deelruimte van W.
De dimensie van KerT wordt de nulliteit van T genoemd, de dimensie van
ImT noemen we de rang van T.
Tussen beide en de dimensie van V is er een verband, dat bekent staat als de
tweede dimensiestelling:
dim V =dim ( KerT )+ dim(ImT )
5.3 Matrix van een lineaire afbeelding
Algebra: Hoofdstuk 5 1
, Vanaf nu zullen we, tenzij anders vermeld, vectoren steeds noteren onder hun
kolommenmatrixvorm t.o.v. een bepaalde basis. Met ⃗x bedoelen we dus
een kolommatrix.
Voor lineaire afbeeldingen geldt er dan de volgende belangrijke eigenschap:
Een afbeelding T van een n-dimensionele vectorruimte V naar een m-
dimensionele vectorruimte W is lineair a.s.a. haar beelden kunnen bekomen
worden door de vectoren van links te vermenigvuldigen met een matrix, deze
matrix is uniek, eens de basissen van V en W gekozen zijn.
T :V →W lineair ⇔ ∃! A ∈ Mat ( m, n , F ) =T ( ⃗x )=A ∙ ⃗x , ∀ ⃗x ∈V
A wordt de matrix van de lineaire afbeelding T genoemd.
Omgekeerd:
Iedere matrix kan beschouwd worden als de matrix van, of geassocieerd
worden met, een lineaire afbeelding. Begrippen als de kern van een matrix of
het beeld van een matrix krijgen op die manier ook een betekenis.
Een lineaire afbeelding T van V naar W is volledig bepaald wanneer we de
beelden van de vectoren van een basis van V kennen.
Iedere vector ⃗x van V kan immers op unieke wijze geschreven worden als
een lineaire combinatie van de vectoren van een basis B=(⃗
e1 , ⃗
e2, … , ⃗
e n) :
⃗x =x 1 ⃗
e1 + x2 ⃗
e 2+ …+ x n ⃗
en
En bijgevolg:
T ( ⃗x )=T ( x 1 ⃗
e 1+ x2 ⃗
e 2+ …+ x n e⃗n )
Vermits T een lineaire afbeelding is, kunnen we dit schrijven als:
T ( ⃗x )=x 1 T ( ⃗
e1 ) + x 2 T ( ⃗
e 2 ) +…+ x n T ( ⃗
en )
Kennen we bijgevolg de beelden van de basisvectoren,
T (⃗
e 1 ) ,T ( ⃗
e 2 ) ,… , T (⃗
e n)
dan kunnen we hiermee het beeld T ( ⃗x ) van iedere vector ⃗x van V
bepalen.
Bovendien kunnen we deze formule schrijven in matrixvorm:
Algebra: Hoofdstuk 5 2
