Samenvatting Wiskundige Methoden I (Lineaire Algebra)

MOHAMED (ANJAA FYSICA BA 1
SAMENVATTING WISKUNDIGE METHODEN VOOR DE FYSICA I ( LINEAIRE ALEGBRA)
HOOFDSTUK (I) VECTORRUIMTEN :

DEFINITIE :

EN t ' ( VERMENIGVULDIGEN EN OPTELLEN ) IS EEN VELD ALS ER VOLDAAN IS AAN VOLGENDE VOORWAARDEN :
'
EEN VERZAMELING IK VOORZIEN VAN 2 BEWERKINGEN '
•
'




(V1 ) Ha , b C- Ik : Q +5 = bto (VS) Ha , b. C- IK : Q . b = b- Q (V6) Ha , b , c C- Ik : (a b)
. .
( = Q .
(b -
c)



(VZ) Ha , b , c C- Ik : ( at b) + ( = a+ ( btc ) ( V7) 71 C- Ik : 1 .
Q = a



(V3) 70E Ik : Qt 0 = Q (V8) Va 4- Ik 4710E QE IK ZODAT
'
Q . a-
'
= 1


(V4) QQ C- Ik 3- C- a) C- IK ,
ZODAT Q+ C-a) = 0 (V9) to b - ' .
( btc) = a. b + a. c



DE VERZAMELING IR IS EEN VELD EN DE VERZAMELING ¢ IS OOK EEN VELD , ALS WE NIET SPECIFICEREN OF HET OM IR OF E GAAT SPREKEN WE VAN IK .




DEFINITIE :


EEN VERZAMELING V VOORZIEN VAN 2 BEWERKINGEN + : V V tv : ( r, w) f) ✓ + w EN
• : Ik ✗ V 1-7 V : ( Niv) NOEMEN WE EEN VECTORRUIMTE INDIEN AAN
✗
µ . ✓


VOLGENDE EISEN VOLDAAN IS :

(D1) ✗ (It I) DE 1-1 K



}
( A1) COMMUTATIEF It I = w_ + [ MET f , I , I EV =




( A2) ASSOCIATIEF 4- + ( [ twee ) = ( a- + E) tw ( DZ) DISTRIBUTIEF ( It N) I = DE + Nk

(A 3) NULVECTOR (7E tv ) ( It I = [ = e. + E ) ( D}) t ( NE) = ✗µ I


( AH) TEGENGSTELDE VECTOR ( KIEV ) ( 3- It C- V ) ( It It = 0 = It + I) (N ) NORMALISATIE (1E IK ) ( I . I = E) ( IEV)

DE ELEMENTEN VAN DE VECTORRUIMTE NOEMEN WE VECTOREN ( NOTATIE : I , I , . .. ) , DE ELEMENTEN IN 1k WAAR WE VECTOREN MEE VERMENIGVULDIGEN NOEMEN WE SCALAIREN .




VOORBEELDEN :

( I) DE VERZAMELING IR MET ALS BEWERKINGEN DE GEWONE OPTELLING EN VERMENIGVULDIGING .




GEWONE OPTELLING EN UERMENINGVULDEGING '
t
'
: ( I) + (E) = (It I) EN d (I ) = ( tv )

(Dl ) ( I ) t ( Y) = (I + E) = ( ie) t (I ) = ( ie + I) Ok ! (D1) t ( Itv) = JE + Ik ok !


(DZ) ( I ) t ( Ktr) = ( It E) + I ok ! ( Dd) I ( dt µ) = JE t NI ok !

( D}) ( f ) + Q = (I ) I = (o) ok ! (D}) ✗ (NE) = d WE ok !

( D4) ( I ) t ( It) = I ( It ) = -
I ok ! ( N) 1 [ . = [ ok !



WE MOESTEN EIGEL K NIET EENS CONTROLEREN , VERZAMELING IR IS EEN VELD EN EEN VELD IS STRIKTER DAN EEN VECTORRUIMTE .
ELKE VELD IS EEN VECTORRUIMTE MAAR

NIET ELKE VECTORRUIMTE IS EEN VELD !



(I) STEL U = IRZ EN DEFINIEER EEN OPTELLING EN SCALAIRE VERMENIGVULDIGING ALS VOLGT : ( Ui , 42 ) t ( F , vz ) = ( Uit v1 , Uztrz) EN ✗ ( Ui , Uz) = ( bui , 0) VOOR DE IR .




IS V MET DEZE BEWERKINGEN EEN VECTORRUIMTE ?


(N) 1 I . = [ 1 ( r,
.
,
U,) = (4 ,
0) GEEN VECTORRUIMTE '
.




TIP :

ALS JE MOET BEW ZEN OF EEN VERZAMELING ONDER BEWERKINGEN '
•
'
EN
'
t
'
EEN VECTORRUIMTEN IS , CONTROLEER DAN NIET ALLE VOORWAARDEN DIRECT . K K EERST OPPERVLAKKIG

OF JE DIRECT AL EEN TEGENSTR DIG VOORBEELD KAN ZIEN ( 21E HIERBOVEN V52) .




STELLING :

IN EEN VECTORRUIMTE V GELDEN VOLGENDE EIGENSCHAPPEN :

( I) HET NEUTRAAL ELEMENT D- VOOR '
t
'
IS UNIEK .
BWS : 0-1 =
0-1+0<=0-2



(II) HET TEGENGESTELDE -
I VAN EEN VECTOR I IS UNIEK .
BWS : ALS ER 2 TEGENGESTELDE WAREN Ii EN w_2 , DAN WAS 4 , = I, + Itwz =
12




(II) V-bf.lk : de =D .
BWS: 11 =D ( 0-+1 ) = tot de de = I




(N) KIEV : 0 I .
= Q Bws: of = ( Oto) I = 0E + OI Of = Q
.




(V ) At c- Ik , I C- U : DE = I t=0 OF I = ≥ BWS: Als j = 2 EN ✗ ≠ 0, DAN IS I = b- I
'
= I OF Als 1=0 0 I . = I =) (Oto) I = 0ft Of OI = Q



ijIJ IJIJ IJ

, DEFINITIE :


EEN DEELVERZAMELING WCV VAN EEN VECTORRUIMTE V WORDT EEN DEELRUIMTE GENOEMD INDIEN W ZELF EEN VECTORRUIMTE IS ONDER DE RESTRICTIE VAN '
•
'
EN
'
t
'
IN V .




WE NOTEREN DAN W ✗ U .




VOORBEELDEN :

DE VERZAMELING Ik n [ ×] VAN POLYNOMEN VAN GMAD HOOGSTENS N IS EEN DEELRUIMTE VAN IK [×]

ÍR } [ ]
}
PCX) = ✗31-3✗ C- ×
IÂ} [ DEELRUIMTE
zp (× ) + q (×) = 6×-1 c- × ]

Q(x) = 1 -
2×3 c- IÎ}[ × ]




2) DE VERZAMELING Ik n [×] VAN POLYNOMEN VAN GMADN IS GEEN DEELRUIMTE VAN IK [×] .




IÂ } [ ]
}
✗31-3✗
¢ IRÌ[ GEEN DEELRUIMTE
P(x) = C- ×
]
2 P (× ) + Q (×) = 6×-1 ×



Q(x) = 1 -
2×3 c- j }
[× ]




STELLING :

EEN DEELVERZAMELING WCV VAN EEN VECTORRUIMTE V IS EEN DEELRUMTE ALS EN SLECHTS Als : Vd IK , HI , ≈ W INDIEN WXV , DAN IE VMW
, µ c- c- :
b + µy EW .
IS .




VOORBEELDEN :

BEW S OF U =
{( aibic) 1 Qibic C- IR , b = atc
} EEN DEELRUIMTE IS VAN 1123 .




4 ( al ) b-1 , (1) t N ( Q2 , bz , (2) = ( Ja , + NQZ | db , + µ bz , 14 + µ (z)



b1

}
= Q , + (1

✗ bt + Nbz =
dat + ✗ bi +
µ Qzt Nbz 0k DEELRUIMTE
bz =
az + <2




2) BEW S OF U =
{( a , b , c) 1 Qibic C- IR , b = a + < +1
} EEN DEELRUIMTE IS VAN 1123 .




✗ ( Qi , b, i G ) t µ ( Qz , bz , (z ) = ( dat t N°12 , tb , +
µ bz ,
dc, + µ (z )


}
b, Q , + ( | +1 ✗ C1 +
N C2 + 1 GEEN DEELRUIMTE
µ + t ≠ dat
=

tbl + Nbz = dat + N°2 + ✗ (i + N C2 + + NQZ +



gz = g.+ ↳ + ,



3) BEW S OF U =
{ao + a, ✗ 100 , al C- Ik } EEN DEELRUIMTE IS VAN 1kg [ ]
× .




✗ (a ◦ + Q ×) +
, µ ( bot bix) = da ◦ + Nbo + ✗ ( da , + Nbi) IS EEN DEELRUIMTE



WE WETEN DUS HOE WE KUNNEN CONTROLEREN OF IETS EEN DEELRUIMTE IS KUNNEN WE NU SCV DAT NIET EEN DEEL RUIMTE IS VAN V EEN DEELRUIMTE . VAN MAKEN ?




DEFINITIE :


STEL DAT ∅ ≠ SCV EEN NIET LEDIGE DEELVERZAMELING IS VAN V -
.



k

( I) EEN LINEAIRE COMBINATIE VAN ELEMENTEN IN 5 IS EEN VECTOR I VAN DE VORM I =
§ di Ii
,
,
MET di c- IK EN Ii ES ,
Hi .




MEN ZEGT DAT I LINEAIR AFHANKEL K IS VAN DE VECTOREN Ii , . . . .
) In .




(I) DE SPAN VAN S WORDT GEDEFINIEERD ALS DE VERZAMELING VAN ALLE LINEAIRE COMBINATIES VAN ELEMENTEN UIT 5 EN WORDT Als SPAN ( S) GENOTEERD .




Als 5 = ∅ DAN IS SPAN ( S ) = 0 ,
EN ALS S = {I} DAN IS SPAN ( S) = IKI .




DUS ALS S EEN DEELVERZAMELING IS VAN V , DAN IS DE SPAN ( S) DE DEELRUIMTE EN ZEKER OOK EEN VECTORRUIMTEN .




EIGENSCHAP :




VOOR ELKE NIET LEDIGE 0 ≠ S CV GELDEN VOLGENDE EIGENSCHAPPEN :
-




(I) SPAN ( S) ✗ V

( II) SPAN ( S) IS DE KLEINSTE DEELRUIMTE VAN V DIE S OMVAT ; ALS W ✗ V EN SCW DAN ZAL OOK SPAN ( S ) ✗ W .




VOORBEELD :

IS VECTOR 5- = ( 21212) EEN LINEAIRE COMBINATIE VAN VECTOREN 4- = (0 , -2 , 2) EN I = ( 113 , -
l) ?

( 2 , 2,2) = > (0, -212) + NU , 3 ,-1)

↳


{
2 = µ
2 = -
2X + 3µ µ= 2 EN ✗ = 2 JA 5- IS EEN LINEAIR COMBINATIE VAN I EN L .




26 ↳ 2 (0, -212) + 2 ( 1 3 -1) ( 2,2 , 2)
2 =
-

µ , ,
=




IJ
ijij IJ
IJ IJ

, WE KUNNEN OOK DEELRUIMTEN VAN V MAKEN DOOR OPERATIES UIT TE VOEREN OP TWEE DEELRUIMTEN W , EN Wz WE DEFINIEREN VOLGENDE BEWERKINGEN OP DEELRUIMTEN :
,


(I) DOORSNEDE VAN DEELRUIMTEN

EIGENSCHAP :




ALS V1 EN V2 DEELRUIMTEN Z N VAN V, DAN GELDT OOK DAT V1 N V2 ✗ V. OF ALGEMEEN Hi EI : Vi < V Vi = V1 N Van . ..
n Vi ✗ V .


i

BWS : ( I ) IE V1 DE V2 DE UMW
,



(I) EU , EN a- +
b- E V2 ± + b- C- V, MW ,
, ≥ c- U , M V2 a- +
≥

(II) ✗ a- E V1 ,
✗ a- E V2 ✗ a- E V1 ^ V2




(I) SOM VAN DEELRUIMTE

DEFINITIE :


INDIEN V1 EN V2 DEELRUIMTEN Z N VAN V , DAN DEFINIEERT MEN DE SOM ALS DE VERZAMELING : Vy t V2 : =
{ a- + b- : a- C- V1 ,
b- C- V2 }✗ V

BWS : ( I) I C- V1 I C- V2 It I = IE V1 t V2
,



(I ) ✗ (V1 + V2 ) = ✗ V1 + ✗ V2 C- V1 + V2

(III) ( , + b-i) t ( a-21-12) = ( ± , +12 ) t ( D- it b- 2) C- V1 + V2 WANT ( El +12 ) E V1 EN ( $ , + b- 2) C- V2

LET OP V1 U V2 IS GEEN DEEL RUIMTE ! LAAT ONS EEN TEGENVOORBEELD GEVEN :

VOORBEELD :

STEL DAT U = 1122 , A, B ✗ V MET A = { (5) la EIR} EN B= { ( is ) / btlr } , IS A U B EEN DEEL RUIMTE ?

(f) c- AUB EN
( Y) c- AUB MAAR
(f) (Y ) ( t ) ¢
+ = AUB GEEN DEELRUIMTE !




EIGENSCHAP :




ALS V1 EN V2 DEELRUIMTEN Z N VAN V , DAN GELDT :



(I) SPAN ( V1 U V2) = V1 + V2

(I) V1 + V2 IS DE KLEINSTE DEELRUIMTE VAN V DIE V1 EN V2 BEVAT , ALS W < V EN Vi CW DAN ZAL het V2 ( W .




ALS A EN B DEELVERZAMELINGEN Z N VAN V , DAN GELDT : SPAN ( AUB) = SPAN ( SPAN (A) U SPAN (B) ) = SPAN (A) t SPAN (B) .




( E) DIRECTE SOM VAN DEELRUIMTEN

DEFINITIE :


VAN EEN VECTORRUIMTE V ZEGT MEN DAT ZE DE DIRECTE SOM IS VAN 2 DEELRUIMTEN V1 EN V2 ALS EN SLECHTS : U =
V1 t V2 EN V1 N V2 =
{Q}
MEN NOTEERT DAN V =
V1 ⊕ V2 EN NOEMT V2 HET COMPLEMENT VAN V1 IN V (EN ANDERSOM OOK ) .




VOORBEELD :


( { " ✗ 1×2} ) < IRS
}
We SPAN
{± }
=
w, +
wz = Ik [× ] < / Rg [× ] MAAR
} We ⊕ Wz ≠ 112 } [× ] WANT wel n Wz = SPAN ( {× , ✗
2
}) ≠

Wz = SPAN
({ × ✗ 3}) 41kg ✗ ,
2
,




DEFINITIE :
k
EEN VECTORRUIMTE V IS DE DIRECTE SOM VAN k DEELRUIMTEN Vi ✗ V , MET 1 ≤ i ≤ k , INDIEN : U =

,
Ui EN Ui M ( V1 t . . . + Uit 1 + Uit , + . . .
Uk ) = {Q} ,
Hi .




MEN NOTEERT DAN U = ⊕ ? =,
Vi = Ë Vi ⊕ Vk .

i = 1




STELLING :

VOOR EEN VECTORRUIMTE V EN k DEELRUIMTEN Uit V GELDT DAT U = ⑦i Ui ALS EN SLECHTS ALS ELKE VECTOR IN V OP UNIEK W ZE GESCHREVEN WORDEN

ALS I = E? = , Ii MET Ii C- Vi .




VOORBEELD :

(W' 3)
s
( " ✗ 1×21×7×4 ✗ ) ≠ { }

}
W , i = SPAN ( 1, ✗, ✗
2
) = > W' + WZ + W = SPAN U WZ UW = SPAN W, ⊕ Wz ⊕ W} WANT W, n wz nw} ≠
}

wz : = gp, µ ( ×} , ✗4 ×
, ,

W
}:
= SPAN ( 1 , ✗3 ) =) W, + Wz = SPAN (w , UW 2) = SPAN (1, × 2
,✗ , ✗
3
,
✗ 4
,
✗
s
) = W , ⊕ Wz WANT W, n Wz = { Q}


( N) PRODUCT VAN DEELRUIMTE

DEFINITIE :


VOOR 2 DEELRUIMTEN V1 EN V2 DEFINIEERT MEN DE PRODUCT RUIMTE V1 ✗ V2 ALS DE PRODUCT VERZAMELING WAAROP VOLGENDE BEWERKINGEN LIGGEN :

( Ii , [2 ) t ( Ki ,
Ez ) : =
( I , twi , Iztwz) EN ✗ (Ii , Iz) : = ( II, 112)
JE KAN MAKKEL K NA GAAN DIT DIT EEN VECTORRUIMTE IS
IJ
IJIJ

IJ