Cours de maths Semestre 1

Polycopié UE 15 : Outils Mathématiques

Denis Pasquignon
Université Paris-Dauphine

11 août 2014

,ii

,Table des matières

1 Raisonnements 3
1.1 Les quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Notations : Les ensembles classiques de nombres . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Implication et équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Quelques formes de raisonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Par contre-exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Par contraposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.3 Par l’absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.4 Par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.1 Union, Intersection, inclusion et produit cartésien . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Compléments sur les réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Etude de fonctions 9
2.1 Généralités sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.1 Ensemble de définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.2 Continuité, dérivablité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.3 Fonctions bijectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.4 Concavité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Les fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.1 Valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.2 Fonctions polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.3 Le logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.4 La fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.5 La fonction puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Intégrale sur un segment 17
3.1 Définition de l’intégrale d’une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.1 Tableau des primitives usuelles à connaı̂tre . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.2 Définition de l’intégrale sur un intervalle fermé borné . . . . . . . . . . . . 17
3.1.3 Interpétation géométrique de la notion d’intégrale définie . . . . . . . . . 18
3.2 Propriétés de l’intégrale définie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.1 Relation de Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.2 Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.3 Croissance de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3 Calculs d’intégrales définies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3.1 Calcul ”à vue” à l’aide du tableau des primitives usuelles . . . . . . . . . 19
3.3.2 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20




iii

,TABLE DES MATIÈRES 1




3.3.3 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4 Intégrale de fonctions continues par morceaux sur [a, b] . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4.1 Fonction continue par morceaux sur [a, b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4.2 Intégrale d’une fonction continue par morceaux sur [a, b] . . . . . . . . . . 22
3.4.3 Propriétés de l’intégrale sur [a, b] d’une fonction continue par morceaux . 23

4 Intégrale sur un intervalle non borné 25
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2.1 Intégrales avec une seule borne infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2.2 Intégrales sur IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2.3 Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2.4 Extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3 Calcul pratique des intégrales généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3.1 Utilisation d’une primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3.2 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3.3 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.4 Propriétés des intégrales convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.4.1 Relation de Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.4.2 Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.4.3 Positivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.4.4 Croissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.4.5 Fonctions paires ou impaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.5 Intégrales utiles en probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

, 2 TABLE DES MATIÈRES