Exam (elaborations) BAC SCIENCE MATH

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‫االمتحان الوطني الموحد للبكالوريا‬
**I 2020 ‫الدورة العادية‬
– ‫ الموضوع‬-

SSSSSSSSSSSSSSSSSSSS NS 25

4 ‫مدة اإلنجاز‬ ‫الرياضيات‬ ‫المادة‬

9 ‫المعامل‬ )‫شعبة العلوم الرياضية (أ) و (ب) (الترجمة بالفرنسية‬ ‫الشعبة أو المسلك‬



 La durée de l’épreuve est de 4 heures.
 L‘épreuve comporte (5) pages numérotées de 1/5 à 5/5
 L’épreuve est composée de quatre exercices indépendants entre eux.
 Le candidat doit traiter EXERCICE3 et EXERCICE4 et choisir de traiter
EXERCICE1 ou bien EXERCICE2.
 Le candidat doit traiter au total trois (3) exercices :

EXERCICE1 qui concerne l’arithmétique (au
choix)......................................................3.5 points
- ou bien
EXERCICE2 qui concerne les structures algébriques (au
choix)…………………………..3.5 points

- EXERCICE3 qui concerne les nombres complexes
(obligatoire)……………………………..3.5 points

- EXERCICE4 qui concerne l’analyse
(obligatoire)……………...................................……..…13 points

L’usage de la calculatrice est strictement interdit


Tu choisis de traiter EXERCICE1 ou bien EXERCICE2
Tu traites obligatoirement EXERCICE3 et EXERCICE4

EXERCICE1 :(3.5 points/au choix)
(Si tu choisis de traiter EXERCICE1, il ne faut pas traiter EXERCICE2)
On considère dans ¢ ´ ¢ l’équation (D) : 7 x3 - 13 y = 5
1- Soit (x, y)Î ¢ ´ ¢ une solution de l’équation (D)

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2 NS 25 ‫ – الموضوع‬2020 ‫ الدورة العادية‬- ‫االمتحان الوطني الموحد للبكالوريا‬
5 )‫ شعبة العلوم الرياضية (أ) و (ب) (الترجمة بالفرنسية‬-‫ الرياضيات‬:‫ مادة‬-

0.5 a) Montrer que x et 13 sont premiers entre eux.
0.5 b) En déduire que : x12 º 1 [13]
1 c) Montrer que : x3 º 10 [13]
0.5 d) En déduire que : x12 º 3 [13]
1 2- Déduire des questions précédentes, que l’équation (D)n’admet pas de solution dans ¢ ´ ¢


EXERCICE2 : (3.5 points/au choix)
(Si tu choisis de traiter EXERCICE2, il ne faut pas traiter EXERCICE1)
On note par Μ 2 (¡ ) l’ensemble des matrices carrées d’ordre deux.
æ1 0÷ö
On rappelle que (Μ 2 (¡ ),+ ,´ ) est un anneau non commutatif unitaire d’unité I = çç ÷
çè0 1÷
÷
ø

(
et que ¡ * ,´ ) est un groupe commutatif.
ìï æ1 x ö ü
On considère le sous-ensemble E de Μ 2 (¡ ) défini par : E = ïí ççç ÷/ xÎ ¡ et yÎ ¡ * ïïý .
÷
÷
÷
ïîï è0 yø ïþ
ï
0.5 1- a) Montrer que E est une partie stable de (M 2 (¡ ),´ )
0.5 b) Montrer que la multiplication n’est pas commutative dans E
æ - x÷ ö æ - x÷ ö
çç1 ÷ çç1 ÷
æ1 x ö ÷ ÷
y ÷ æ xö æ1 0ö
0.5
c) Vérifier que : (" x Î ¡ ) " y Î ¡ * ; çç ÷ ççç y ÷ çç
÷ ÷ çç1 ÷ çç ÷
( ) ÷´
÷
÷ çç
çè0 yø ÷
1 ÷
÷
= ç
çç ÷
1 ÷
÷
´
èç0
÷=
÷
÷
yø
÷
÷
÷
çè0 1ø
çç0 ÷
÷ çç0 ÷
÷
çè y ÷
ø èç y ÷
ø
0.5 2- Montrer que (E,´ ) est un groupe non commutatif.
ïì æ1 x- 1÷
ö * ïü
3- On considère le sous-ensemble F de E défini par : F = ïí M (x)= çç ÷
÷ / xÎ ¡ ïý
ïîï çè0 x ÷ø ïþ
ï
0.5
a) Montrer que l’application j définie par : " xÎ ¡ *( )
; j (x)= M (x) est un

homomorphisme de ¡ * ,´ ( ) vers (E,´ ) .
1 b) En déduire que (F ,´ ) est un groupe commutatif dont on précisera l’élément neutre.


EXERCICE3 :(3.5 points/obligatoire)
Soit m un nombre complexe non nul.
Première partie :
On considère dans £ l’équation d’inconnue z , (E ) : z3 - 2mz 2 + 2m2 z - m3 = 0
0.5 1- Résoudre dans £ l’équation (E ) ( On remarque que m est une solution de l’équation (E ) )