1. Folgen und Reihen Bsp. Teilbarkeit:
1.1 Geometrische Reihe erkennen
1
Bsp.: Durchmesser Kreis ändert sich immer um 4
1𝑛
𝑎𝑛 = 2𝑟 ∗ ∑𝑛𝑘=0
4
(vor Summe die sich ändernde Größe & Basis „q“ ist um wieviel sich Reihe ändert &
n od. n+1 od. n-1 testen, um auf Anfangswert der Reihe zu kommen)
_______________________________________________________________
1.2 Grenzwert geometrischer Reihen
1−𝑞𝑛+1
𝑎𝑛 = ∑𝑛𝑘=0 𝑞 𝑛 =
1−𝑞
1−𝑞 𝑛+1
➔ = 1−𝑞
(Bruch hochbringen & Teil mit n lim 𝑣. 𝐺𝑙𝑒𝑖𝑐ℎ𝑢𝑛𝑔 laufen lassen)
𝑛→∞ ________________________________________________________________
➔ 𝑊𝑒𝑛𝑛 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑖𝑒𝑟𝑒𝑛𝑑, 𝑑𝑎𝑛𝑛 "-" vor 𝑞
1.4 Grenzwert nach l´Hospital
________________________________________________________________
1.3 Vollständige Induktion
Fall 𝑛∞ ; ∞0 ∶ 𝑒 ln (𝐹𝑜𝑟𝑚𝑒𝑙) Hochzahl mit * schreiben (13𝑥 → ln (1 ∗ 3𝑥)) & geg. Grenze
Bsp.: ; für alle 𝑛 ≥ 2 laufen
0
Fall 0 ∗ ∞: Produkt in Bruch umschreiben, damit entsteht
IA: kleinster erlaubter Wert für n einsetzen (hier 2); linke mit rechter Seite vergleichen 0
0 ∞ 𝑎𝑏𝑙𝑒𝑖𝑡𝑒𝑛
IV: A(n) = Gleichung inkl. Bedingungen abschreiben Fall ; : l´Hospital anwenden -> & kürzen
0 ∞ 𝑎𝑏𝑙𝑒𝑖𝑡𝑒𝑛
1 𝑛+2
IB: A(n+1) = ∗ (1 − (𝑛+1)2 ) = links erweitern, rechts n+1 (falls Fall 𝑛∞ voranging ist Grenze 𝑒 𝐺𝑟𝑒𝑛𝑧𝑒 )
2(𝑛+1)
Aus IV 𝑛+1 0 ∞
IS:
1
( ) ∗ (1 − (𝑛+1)2 ) Fall ∞ − ∞: durch Umschreiben od. Erweitern in 0; ∞ ändern und l´Hospital anwenden
2𝑛
𝑛+2 ________________________________________________________________
ausformulieren und umrechnen, sodass (hier ) raus kommt & mit beenden
2(𝑛+1) 1.5 Grenzwert bei √±√
√±√
1. Komplette Gleichung mit erweitern
√±√
2. Zähler um √-Zeichen kürzen
3. Nenner X ausklammern; ACHTUNG! 1 X raus ≙ : x²
4. Gegen Grenzwert laufen lassen
1|Seite
, 2. Differenzialrechnung _______________________________________________________________
2.3 Tangenten- & Normalengleichung
2.1 Ableitungsregeln
Kettenregel: 𝑢(𝑣) = 𝑢´(𝑣) ∗ 𝑣´(𝑥)
Produktregel: 𝑢 ∗ 𝑣 = 𝑢´ ∗ 𝑣 + 𝑢 ∗ 𝑣´
𝑢 𝑢´∗𝑣−𝑢∗𝑣´
Quotientenregel: =
𝑣 𝑣²
_______________________________________________________________
2.2 Wichtige Ableitungen & Integrale _______________________________________________________________
1
2.4 Vollständige Kurvendiskussion
f(x) = arcsin(𝑥) → 𝑓´(𝑥) =
√1 + 𝑥² 2.4.1 Stetig & Differenzierbar
1
f(x) = arccos(𝑥) → 𝑓´(𝑥) = − 1. Linke Seite = Rechte Seite mit x=2, dann ist stetig
√1 − 𝑥²
2. Abl. Linke Seite = Abl. Rechte Seite mit x=2, dann ist differenzierbar
1 3. Erste Unbekannte berechnen und mit (1.) zweite berechnen
f(x) = arctan(𝑥) → 𝑓´(𝑥) =
1 + 𝑥²
1 2.4.2 Symmetrie d. Schaubildes
f(x) = tanh(𝑥) → 𝑓´(𝑥) = = 1 − 𝑡𝑎𝑛ℎ²(𝑥)
𝑐𝑜𝑠ℎ²𝑥²
Schaubild einer Funktion ist symmetrisch, wenn alle Potenzen gerade od. ungerade sind.
𝑐𝑜𝑠ℎ 1
f(x) = coth(𝑥) = → 𝑓´(𝑥) = − = 1 − 𝑐𝑜𝑡ℎ²(𝑥)
𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑠𝑖𝑛ℎ²𝑥²
2.4.3 Nullstellen, wenn Zählergrad > Nennergrad
1 • Gleich 0 setzen
F(x) = x ∗ ln(x) − x → f(x) = ln(𝑥) → 𝑓´(𝑥) = ∗1
𝑥 • Horner Schema zur Bestimmung von Nullstellen
f(x) = 𝑎 𝑥 → 𝑓´(𝑥) = 𝑎 𝑥 (ln(𝑎)) → 𝑓´´(𝑥) = 𝑎 𝑥 (ln(𝑎))²
𝑎
F(x) = 𝑒 𝑏𝑥+𝑐 → f(x) = 𝑎𝑒 𝑏𝑥+𝑐 → 𝑓´(𝑥) = 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑒 𝑏𝑥+𝑐 Beim Raten mit 0 anfangen und dann immer ± Wert,
𝑏
der durch Konstante teilbar ist. (hier C=3 -> 0, ±1, ±3)
Ableitung Winkel-fkt.:
sin(x) – cos(x) – (-sin(x)) – (-cos(x)) – sin(x)…
sinh(x) – cosh(x) – sinh(x) …
𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥 𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥
sinh 𝑥 = cosh 𝑥 =
2 2
X = anderer Wert einsetzen -> Ergebnis unten rechts (hier 0) zeigt an, was passiert,
wenn man den Wert in die Gleichung einsetzt.
2|Seite
1.1 Geometrische Reihe erkennen
1
Bsp.: Durchmesser Kreis ändert sich immer um 4
1𝑛
𝑎𝑛 = 2𝑟 ∗ ∑𝑛𝑘=0
4
(vor Summe die sich ändernde Größe & Basis „q“ ist um wieviel sich Reihe ändert &
n od. n+1 od. n-1 testen, um auf Anfangswert der Reihe zu kommen)
_______________________________________________________________
1.2 Grenzwert geometrischer Reihen
1−𝑞𝑛+1
𝑎𝑛 = ∑𝑛𝑘=0 𝑞 𝑛 =
1−𝑞
1−𝑞 𝑛+1
➔ = 1−𝑞
(Bruch hochbringen & Teil mit n lim 𝑣. 𝐺𝑙𝑒𝑖𝑐ℎ𝑢𝑛𝑔 laufen lassen)
𝑛→∞ ________________________________________________________________
➔ 𝑊𝑒𝑛𝑛 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑖𝑒𝑟𝑒𝑛𝑑, 𝑑𝑎𝑛𝑛 "-" vor 𝑞
1.4 Grenzwert nach l´Hospital
________________________________________________________________
1.3 Vollständige Induktion
Fall 𝑛∞ ; ∞0 ∶ 𝑒 ln (𝐹𝑜𝑟𝑚𝑒𝑙) Hochzahl mit * schreiben (13𝑥 → ln (1 ∗ 3𝑥)) & geg. Grenze
Bsp.: ; für alle 𝑛 ≥ 2 laufen
0
Fall 0 ∗ ∞: Produkt in Bruch umschreiben, damit entsteht
IA: kleinster erlaubter Wert für n einsetzen (hier 2); linke mit rechter Seite vergleichen 0
0 ∞ 𝑎𝑏𝑙𝑒𝑖𝑡𝑒𝑛
IV: A(n) = Gleichung inkl. Bedingungen abschreiben Fall ; : l´Hospital anwenden -> & kürzen
0 ∞ 𝑎𝑏𝑙𝑒𝑖𝑡𝑒𝑛
1 𝑛+2
IB: A(n+1) = ∗ (1 − (𝑛+1)2 ) = links erweitern, rechts n+1 (falls Fall 𝑛∞ voranging ist Grenze 𝑒 𝐺𝑟𝑒𝑛𝑧𝑒 )
2(𝑛+1)
Aus IV 𝑛+1 0 ∞
IS:
1
( ) ∗ (1 − (𝑛+1)2 ) Fall ∞ − ∞: durch Umschreiben od. Erweitern in 0; ∞ ändern und l´Hospital anwenden
2𝑛
𝑛+2 ________________________________________________________________
ausformulieren und umrechnen, sodass (hier ) raus kommt & mit beenden
2(𝑛+1) 1.5 Grenzwert bei √±√
√±√
1. Komplette Gleichung mit erweitern
√±√
2. Zähler um √-Zeichen kürzen
3. Nenner X ausklammern; ACHTUNG! 1 X raus ≙ : x²
4. Gegen Grenzwert laufen lassen
1|Seite
, 2. Differenzialrechnung _______________________________________________________________
2.3 Tangenten- & Normalengleichung
2.1 Ableitungsregeln
Kettenregel: 𝑢(𝑣) = 𝑢´(𝑣) ∗ 𝑣´(𝑥)
Produktregel: 𝑢 ∗ 𝑣 = 𝑢´ ∗ 𝑣 + 𝑢 ∗ 𝑣´
𝑢 𝑢´∗𝑣−𝑢∗𝑣´
Quotientenregel: =
𝑣 𝑣²
_______________________________________________________________
2.2 Wichtige Ableitungen & Integrale _______________________________________________________________
1
2.4 Vollständige Kurvendiskussion
f(x) = arcsin(𝑥) → 𝑓´(𝑥) =
√1 + 𝑥² 2.4.1 Stetig & Differenzierbar
1
f(x) = arccos(𝑥) → 𝑓´(𝑥) = − 1. Linke Seite = Rechte Seite mit x=2, dann ist stetig
√1 − 𝑥²
2. Abl. Linke Seite = Abl. Rechte Seite mit x=2, dann ist differenzierbar
1 3. Erste Unbekannte berechnen und mit (1.) zweite berechnen
f(x) = arctan(𝑥) → 𝑓´(𝑥) =
1 + 𝑥²
1 2.4.2 Symmetrie d. Schaubildes
f(x) = tanh(𝑥) → 𝑓´(𝑥) = = 1 − 𝑡𝑎𝑛ℎ²(𝑥)
𝑐𝑜𝑠ℎ²𝑥²
Schaubild einer Funktion ist symmetrisch, wenn alle Potenzen gerade od. ungerade sind.
𝑐𝑜𝑠ℎ 1
f(x) = coth(𝑥) = → 𝑓´(𝑥) = − = 1 − 𝑐𝑜𝑡ℎ²(𝑥)
𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑠𝑖𝑛ℎ²𝑥²
2.4.3 Nullstellen, wenn Zählergrad > Nennergrad
1 • Gleich 0 setzen
F(x) = x ∗ ln(x) − x → f(x) = ln(𝑥) → 𝑓´(𝑥) = ∗1
𝑥 • Horner Schema zur Bestimmung von Nullstellen
f(x) = 𝑎 𝑥 → 𝑓´(𝑥) = 𝑎 𝑥 (ln(𝑎)) → 𝑓´´(𝑥) = 𝑎 𝑥 (ln(𝑎))²
𝑎
F(x) = 𝑒 𝑏𝑥+𝑐 → f(x) = 𝑎𝑒 𝑏𝑥+𝑐 → 𝑓´(𝑥) = 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑒 𝑏𝑥+𝑐 Beim Raten mit 0 anfangen und dann immer ± Wert,
𝑏
der durch Konstante teilbar ist. (hier C=3 -> 0, ±1, ±3)
Ableitung Winkel-fkt.:
sin(x) – cos(x) – (-sin(x)) – (-cos(x)) – sin(x)…
sinh(x) – cosh(x) – sinh(x) …
𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥 𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥
sinh 𝑥 = cosh 𝑥 =
2 2
X = anderer Wert einsetzen -> Ergebnis unten rechts (hier 0) zeigt an, was passiert,
wenn man den Wert in die Gleichung einsetzt.
2|Seite
