Uitwerking theorievragen Thermodynamica
H1
Op welke ervaringsfeiten zijn de 1e en 2e HW gebaseerd?
• 1e HW: de energie van het universum is constant (wet van behoud van energie), ervaring:
o Perpetua mobile zijn onmogelijk (je kan niet uit het niets energie opwekken)
• 2 HW: de entropie van het universum neemt altijd toe, ervaring:
e
o Warmte is niet zomaar volledig om te zetten in arbeid
o Sommige processen zijn spontaan, andere niet
Wat zijn extensieve en intensieve variabelen? Geef voorbeelden
• Extensieve variabelen: variabelen die recht evenredig zijn met de hoeveelheid stof waaruit
een systeem bestaat (bv: V, E, m, warmtecapaciteit)
• Intensieve variabelen: variabelen die onafhankelijk zijn van de hoeveelheid stof waaruit een
systeem bestaat (bv: T, p, massadichtheid)
1
,H2
Definitie van arbeid, energie en warmte
Arbeid
• Definitie: energie geleverd door een systeem dat ergens in de omgeving een gewicht van
hoogte wil doen veranderen
o 𝑊 > 0: gewicht wordt naar beneden gebracht (systeem krijgt arbeid)
o 𝑊 < 0: gewicht wordt naar boven gebracht (systeem levert arbeid)
• Komt enkel voor bij toestandsveranderingen
• 𝑊 = 𝐹 ⋅ Δ𝑥
Energie
• Definitie: de mogelijkheid om arbeid te verrichten
• Arbeid op een systeem → energie van het systeem neemt toe (en andersom)
Warmte
• Definitie: vorm van energie-uitwisseling tussen systemen die in thermisch contact staan,
maar niet in thermisch evenwicht zijn
o 𝑄 > 0: warmte komt toe in systeem
o 𝑄 < 0: Warmte vloeit weg uit systeem
• Diathermisch reservoir: laat overdracht van warmte toe
• Adiabatisch reservoir: laat GEEN overdracht van warmte toe
• Komt enkel voor bij toestandsveranderingen
Wat is een indicatordiagramma
• Indicatordiagramma: p(V)-grafiek die de formule 𝑊 = −𝑝𝑒𝑥𝑡 𝑉 grafisch voorstelt
→ manier om de geleverde arbeid van een cilinder met een zuiger vast te stellen
• 𝑊 = 𝐹 ⋅ Δ𝑥 = −𝑀𝑔ℎ = −𝑝𝑢𝑖𝑡 𝐴ℎ = −𝑝𝑢𝑖𝑡 Δ𝑉
Voorbeeld
• 𝑝𝑢𝑖𝑡 = de naar beneden gerichte uitwendige druk
o 0 ≤ 𝑝𝑢𝑖𝑡 ≤ 𝑝2 (𝑝2 = bovenlimiet = druk als de zuiger het blokje heft tot 𝑆 ′ )
o 0 ≤ 𝑊 ≤ 𝑊𝑚𝑎𝑥 (𝑊𝑚𝑎𝑥 = arbeid als de zuiger het blokje heft tot 𝑆′)
• In dit voorbeeld is er een expansie → 𝑝𝑢𝑖𝑡 ≤ 𝑝2 < 𝑝1
2
,Verschil tussen reversibele en irreversibele toestandsveranderingen adhv een indicatordiagramma
Reversibele toestandsverandering
• De toestandsverandering is een quasi-statisch proces: de uitwendige condities worden zo
langzaam veranderd dat het systeem tijd heeft om zich aan te passen
• Kan op elk moment omgekeerd worden door de (oneindig kleine) intermediaire toestanden
in omgekeerde volgorde te doorlopen
• Indicatordiagramma:
• Arbeid bij een reversibele toestandsverandering (met 𝑝𝑖𝑛 = 𝑝𝑢𝑖𝑡 ):
𝑉
o Expansie in oneindig veel stappen: 𝑊𝑒𝑥𝑝𝑎𝑛𝑠𝑖𝑒 = − ∫𝑉 2 𝑝𝑖𝑛 𝑑𝑉
1
𝑉
o Compressie in oneindig veel stappen: 𝑊𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑒 = − ∫𝑉 1 𝑝𝑖𝑛 𝑑𝑉
2
• Netto arbeid bij een reversibele cyclus is nul:
𝑊𝑐𝑦𝑐𝑙𝑢𝑠 = 𝑊𝑒𝑥𝑝𝑎𝑛𝑠𝑖𝑒 + 𝑊𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑒 = 0
• Begin- en eindtoestand zijn evenwichtstoestanden
Irreversibele toestandsverandering
• De toestandsverandering gebeurt in 1 stap: uitwendige condities worden snel veranderd
• Arbeid bij een irreversibele toestandsverandering
o Expansie in 1 stap: 𝑊𝑒𝑥𝑝𝑎𝑛𝑠𝑖𝑒 = −𝑝2 (𝑉2 − 𝑉1 )
o Compressie in 1 stap: 𝑊𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑒 = −𝑝1 (𝑉1 − 𝑉2 )
• Netto arbeid bij een irreversibele cyclus:
𝑊𝑐𝑦𝑐𝑙𝑢𝑠 = −𝑝2 (𝑉2 − 𝑉1 ) − 𝑝1 (𝑉1 − 𝑉2 ) = (𝑝1 − 𝑝2 )(𝑉2 − 𝑉1 ) > 0
Met 𝑝1 > 𝑝2 en 𝑉2 > 𝑉1
• Omgeving moet arbeid leveren om het systeem terug in oorspronkelijke toestand te brengen
• Zie 2e HW van de thermodynamica
3
, Toon aan dat bij adiabatische toestandsveranderingen de druk sneller afneemt bij expansie dan bij
isotherme expansie voor een ideaal gas
Adiabatische toestandsverandering van een ideaal gas
• 𝑑𝑄 = 0 ⇔ 𝑑𝑈 = 𝑑𝑊 = −𝑝𝑑𝑉 (niet 𝑝𝑢𝑖𝑡 want reversibel: 𝑝𝑢𝑖𝑡 = 𝑝𝑖𝑛 = 𝑝)
• Voor een ideaal gas is de interne energie U enkel afhankelijk van de temperatuur:
𝜕𝑈 𝜕𝑈 𝜕𝑈 𝜕𝑈
𝑑𝑈 = ( 𝜕𝑇 ) 𝑑𝑇 + (𝜕𝑉 ) 𝑑𝑉 = ( 𝜕𝑇 ) 𝑑𝑇 met 𝐶𝑉 = ( 𝜕𝑇 )
𝑉 𝑇 𝑉 𝑉
⇒ 𝑑𝑈 = 𝐶𝑉 𝑑𝑇
• Stel beide vergelijkingen aan elkaar gelijk
𝑑𝑉
𝐶𝑉 𝑑𝑇 = −𝑝𝑑𝑉 = −𝑛𝑅𝑇
𝑉
• Integreer
𝑇2 𝑉2
𝑑𝑇 𝑑𝑉 𝑇2 𝑉2 𝑉1
𝐶𝑉 ∫ = −𝑛𝑅 ∫ ⇔ 𝐶𝑉 ln ( ) = −𝑛𝑅 ln ( ) = 𝑛𝑅 ln ( )
𝑇1 𝑇 𝑉1 𝑉 𝑇1 𝑉1 𝑉2
𝐶
• Stel 𝛼 = 𝑛𝑅𝑉
𝑇2 𝛼 𝑉1 1 1
ln ( ) = ln ( ) ⇔ 𝑇2𝛼 𝑉2 = 𝑇1𝛼 𝑉1 ⇔ 𝑉2𝛼 𝑇2 = 𝑉1𝛼 𝑇1 = 𝑐𝑡𝑒
𝑇1 𝑉2
𝐶 𝐶𝑉 1 𝐶𝑝 −𝐶𝑉
• Stel 𝛾 = 𝐶𝑝 en 𝐶𝑝 − 𝐶𝑉 = 𝑛𝑅 ⇒ 𝛼 = 𝐶 ⇒𝛼= =𝛾−1
𝑉 𝑝 −𝐶𝑉 𝐶𝑉
𝛾 𝛾
𝑝1 𝑉1 = 𝑝2 𝑉2 = 𝑐𝑡𝑒
Isotherme toestandsverandering van een ideaal gas
• T = cte → 𝑝𝑉 = cte
4
H1
Op welke ervaringsfeiten zijn de 1e en 2e HW gebaseerd?
• 1e HW: de energie van het universum is constant (wet van behoud van energie), ervaring:
o Perpetua mobile zijn onmogelijk (je kan niet uit het niets energie opwekken)
• 2 HW: de entropie van het universum neemt altijd toe, ervaring:
e
o Warmte is niet zomaar volledig om te zetten in arbeid
o Sommige processen zijn spontaan, andere niet
Wat zijn extensieve en intensieve variabelen? Geef voorbeelden
• Extensieve variabelen: variabelen die recht evenredig zijn met de hoeveelheid stof waaruit
een systeem bestaat (bv: V, E, m, warmtecapaciteit)
• Intensieve variabelen: variabelen die onafhankelijk zijn van de hoeveelheid stof waaruit een
systeem bestaat (bv: T, p, massadichtheid)
1
,H2
Definitie van arbeid, energie en warmte
Arbeid
• Definitie: energie geleverd door een systeem dat ergens in de omgeving een gewicht van
hoogte wil doen veranderen
o 𝑊 > 0: gewicht wordt naar beneden gebracht (systeem krijgt arbeid)
o 𝑊 < 0: gewicht wordt naar boven gebracht (systeem levert arbeid)
• Komt enkel voor bij toestandsveranderingen
• 𝑊 = 𝐹 ⋅ Δ𝑥
Energie
• Definitie: de mogelijkheid om arbeid te verrichten
• Arbeid op een systeem → energie van het systeem neemt toe (en andersom)
Warmte
• Definitie: vorm van energie-uitwisseling tussen systemen die in thermisch contact staan,
maar niet in thermisch evenwicht zijn
o 𝑄 > 0: warmte komt toe in systeem
o 𝑄 < 0: Warmte vloeit weg uit systeem
• Diathermisch reservoir: laat overdracht van warmte toe
• Adiabatisch reservoir: laat GEEN overdracht van warmte toe
• Komt enkel voor bij toestandsveranderingen
Wat is een indicatordiagramma
• Indicatordiagramma: p(V)-grafiek die de formule 𝑊 = −𝑝𝑒𝑥𝑡 𝑉 grafisch voorstelt
→ manier om de geleverde arbeid van een cilinder met een zuiger vast te stellen
• 𝑊 = 𝐹 ⋅ Δ𝑥 = −𝑀𝑔ℎ = −𝑝𝑢𝑖𝑡 𝐴ℎ = −𝑝𝑢𝑖𝑡 Δ𝑉
Voorbeeld
• 𝑝𝑢𝑖𝑡 = de naar beneden gerichte uitwendige druk
o 0 ≤ 𝑝𝑢𝑖𝑡 ≤ 𝑝2 (𝑝2 = bovenlimiet = druk als de zuiger het blokje heft tot 𝑆 ′ )
o 0 ≤ 𝑊 ≤ 𝑊𝑚𝑎𝑥 (𝑊𝑚𝑎𝑥 = arbeid als de zuiger het blokje heft tot 𝑆′)
• In dit voorbeeld is er een expansie → 𝑝𝑢𝑖𝑡 ≤ 𝑝2 < 𝑝1
2
,Verschil tussen reversibele en irreversibele toestandsveranderingen adhv een indicatordiagramma
Reversibele toestandsverandering
• De toestandsverandering is een quasi-statisch proces: de uitwendige condities worden zo
langzaam veranderd dat het systeem tijd heeft om zich aan te passen
• Kan op elk moment omgekeerd worden door de (oneindig kleine) intermediaire toestanden
in omgekeerde volgorde te doorlopen
• Indicatordiagramma:
• Arbeid bij een reversibele toestandsverandering (met 𝑝𝑖𝑛 = 𝑝𝑢𝑖𝑡 ):
𝑉
o Expansie in oneindig veel stappen: 𝑊𝑒𝑥𝑝𝑎𝑛𝑠𝑖𝑒 = − ∫𝑉 2 𝑝𝑖𝑛 𝑑𝑉
1
𝑉
o Compressie in oneindig veel stappen: 𝑊𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑒 = − ∫𝑉 1 𝑝𝑖𝑛 𝑑𝑉
2
• Netto arbeid bij een reversibele cyclus is nul:
𝑊𝑐𝑦𝑐𝑙𝑢𝑠 = 𝑊𝑒𝑥𝑝𝑎𝑛𝑠𝑖𝑒 + 𝑊𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑒 = 0
• Begin- en eindtoestand zijn evenwichtstoestanden
Irreversibele toestandsverandering
• De toestandsverandering gebeurt in 1 stap: uitwendige condities worden snel veranderd
• Arbeid bij een irreversibele toestandsverandering
o Expansie in 1 stap: 𝑊𝑒𝑥𝑝𝑎𝑛𝑠𝑖𝑒 = −𝑝2 (𝑉2 − 𝑉1 )
o Compressie in 1 stap: 𝑊𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑒 = −𝑝1 (𝑉1 − 𝑉2 )
• Netto arbeid bij een irreversibele cyclus:
𝑊𝑐𝑦𝑐𝑙𝑢𝑠 = −𝑝2 (𝑉2 − 𝑉1 ) − 𝑝1 (𝑉1 − 𝑉2 ) = (𝑝1 − 𝑝2 )(𝑉2 − 𝑉1 ) > 0
Met 𝑝1 > 𝑝2 en 𝑉2 > 𝑉1
• Omgeving moet arbeid leveren om het systeem terug in oorspronkelijke toestand te brengen
• Zie 2e HW van de thermodynamica
3
, Toon aan dat bij adiabatische toestandsveranderingen de druk sneller afneemt bij expansie dan bij
isotherme expansie voor een ideaal gas
Adiabatische toestandsverandering van een ideaal gas
• 𝑑𝑄 = 0 ⇔ 𝑑𝑈 = 𝑑𝑊 = −𝑝𝑑𝑉 (niet 𝑝𝑢𝑖𝑡 want reversibel: 𝑝𝑢𝑖𝑡 = 𝑝𝑖𝑛 = 𝑝)
• Voor een ideaal gas is de interne energie U enkel afhankelijk van de temperatuur:
𝜕𝑈 𝜕𝑈 𝜕𝑈 𝜕𝑈
𝑑𝑈 = ( 𝜕𝑇 ) 𝑑𝑇 + (𝜕𝑉 ) 𝑑𝑉 = ( 𝜕𝑇 ) 𝑑𝑇 met 𝐶𝑉 = ( 𝜕𝑇 )
𝑉 𝑇 𝑉 𝑉
⇒ 𝑑𝑈 = 𝐶𝑉 𝑑𝑇
• Stel beide vergelijkingen aan elkaar gelijk
𝑑𝑉
𝐶𝑉 𝑑𝑇 = −𝑝𝑑𝑉 = −𝑛𝑅𝑇
𝑉
• Integreer
𝑇2 𝑉2
𝑑𝑇 𝑑𝑉 𝑇2 𝑉2 𝑉1
𝐶𝑉 ∫ = −𝑛𝑅 ∫ ⇔ 𝐶𝑉 ln ( ) = −𝑛𝑅 ln ( ) = 𝑛𝑅 ln ( )
𝑇1 𝑇 𝑉1 𝑉 𝑇1 𝑉1 𝑉2
𝐶
• Stel 𝛼 = 𝑛𝑅𝑉
𝑇2 𝛼 𝑉1 1 1
ln ( ) = ln ( ) ⇔ 𝑇2𝛼 𝑉2 = 𝑇1𝛼 𝑉1 ⇔ 𝑉2𝛼 𝑇2 = 𝑉1𝛼 𝑇1 = 𝑐𝑡𝑒
𝑇1 𝑉2
𝐶 𝐶𝑉 1 𝐶𝑝 −𝐶𝑉
• Stel 𝛾 = 𝐶𝑝 en 𝐶𝑝 − 𝐶𝑉 = 𝑛𝑅 ⇒ 𝛼 = 𝐶 ⇒𝛼= =𝛾−1
𝑉 𝑝 −𝐶𝑉 𝐶𝑉
𝛾 𝛾
𝑝1 𝑉1 = 𝑝2 𝑉2 = 𝑐𝑡𝑒
Isotherme toestandsverandering van een ideaal gas
• T = cte → 𝑝𝑉 = cte
4
