Apuntes de Matemáticas
Bloque III
Álgebra Lineal I
Raúl Fernández Clement
,Índice
Introducción 1
1. Tema 1: ¿Qué es el álgebra? 1
2. Tema 2: Vectores 1
2.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2.2. Operaciones con vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3. Sistemas de referencia: Bases y Subespacios vectoriales . . . . . . . . . . . . 13
2.4. Aplicaciones de los vectores a la geometría analítica . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4.1. Rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4.2. Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4.3. Posiciones relativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.4. Distancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3. Tema 3: Números complejos 32
3.1. Definición del cuerpo C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2. Operaciones con números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3. Propiedades de los números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4. Formas de expresar los números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.5. Raíces n-ésimas de un número complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4. Tema 4: Matrices 39
4.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2. Clasificación de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3. Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3.1. Definición formal del producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5. Tema 5: Sistemas de ecuaciones lineales 51
5.1. Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.2. Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.3. Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
,Introducción
En estos apuntes se van a explicar los conceptos básicos del álgebra lineal. Además, se va a
profundizar más en los cálculos de la geometría analítica, que ya se introdujo en el bloque II.
Estos apuntes sirven para el estudiante para tener un primer contacto con la geometría
de manera formal. Por tanto, sirven como material de apoyo y de estudio, pero se recomien-
da al alumno que, además de observar y entender los conceptos con los ejemplos presentes
en estos apuntes, realice ejercicios nuevos para poner a prueba su comprensión sobre los
contenidos aquí explicados.
Con eso en mente, espero que estos apuntes sean de ayuda para el avance del alumno
en su adquisición de conocimientos. Los conceptos han sido ordenados y organizados de
una forma que, personalmente, me parece correcta y progresiva, para facilitar al alumno el
seguimiento de los apuntes.
1. Tema 1: ¿Qué es el álgebra?
En este tema vamos a definir qué es el álgebra, lo cual es fundamental para entender
mejor los conceptos de geometría, así como adquirir una mayor soltura con operaciones ma-
temáticas.
Definición
El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia la combinación de elementos de
estructuras abstractas acorde a ciertas reglas. Originalmente esos elementos podían ser in-
terpretados como números o cantidades, por lo que el álgebra en cierto modo originalmente
fue una generalización y extensión de la aritmética.
Es decir, el álgebra se encarga de relacionar diferentes estructuras, que pueden ser nú-
meros o cualquier otra cosa (como vectores, matrices, polinomios, etc.), como veremos a lo
largo de este bloque.
2. Tema 2: Vectores
En este tema vamos a definir uno de los conceptos más básicos del álgbera, así como de
la geometría, que se trata de los vectores.
2.1. Definición
Un vector es un ente matemático como la recta o el plano. Un vector se representa me-
diante un segmento de recta, orientado dentro del espacio euclidiano tridimensional. Para
hacerse con una idea intuitiva, es como una flecha que apunta en un sentido, que tiene una
1
, longitud determinada.
Un vector se representa con una letra, generalmente minúscula, con una flecha encima (o
en negrita). Es decir, un vector se representaría así: →
−
v ó v (la más habitual es la primera,
la segunda se utiliza en libros o apuntes donde no se puede poner una flecha encima de la
letra, por tanto, nosotros usaremos la primera).
Un vector posee componentes, de forma que el número de componentes que posee de-
termina la dimensión del espacio en la que se encuentra. De esta manera, si sólo posee una
componente el vector está en una dimensión, y por tanto, sería equivalente a un escalar (un
número). Si el vector posee dos componentes, el vector se encuentra en un plano de dos di-
mensiones; si tiene tres, se encuentra en un espacio de tres dimensiones, y así sucesivamente.
Por tanto, un vector de N componentes se representa de la siguiente manera:
→
−
v = (v1 , v2 , v3 , ..., vN )
Por ejemplo, un vector de dos componentes sería →
−
v = (3, 4). Un vector de tres componentes
→
− 0
podría ser v = (−3, 8, 15 4).
El significado de las componentes de un vector lo explicaremos de manera formal y ge-
neral más adelante, de momento bastará decir que las componentes de un vector hacen
referencia a cuánto se prolonga el vector en la direeción de la dimensión correspondiente
a cada componente. En el espacio bidimiensional, la correspondencia entre componentes y
dimensiones es la siguiente: →
−
v = (x, y), con x, y ∈ R. Para tres dimensiones es →
−
v = (x, y, z),
con x, y, z ∈ R .
Es decir, las componentes de un vector se interpretan como coordenadas en el espacio
considerado. El vector es el resultado de unir el origen de coordenadas con el punto cuyas
coordenadas coincidan con las del vector. Esto se puede observar en la figura 1.
Figura 1: Representación de un vector con sus componentes.
Un vector tiene tres propiedades o características: módulo, dirección y sentido.
1) Módulo: Hace referencia a la longitud del segmento de recta que representa al vector.
Es decir, es la longitud del vector.
2
Bloque III
Álgebra Lineal I
Raúl Fernández Clement
,Índice
Introducción 1
1. Tema 1: ¿Qué es el álgebra? 1
2. Tema 2: Vectores 1
2.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2.2. Operaciones con vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3. Sistemas de referencia: Bases y Subespacios vectoriales . . . . . . . . . . . . 13
2.4. Aplicaciones de los vectores a la geometría analítica . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4.1. Rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4.2. Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4.3. Posiciones relativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.4. Distancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3. Tema 3: Números complejos 32
3.1. Definición del cuerpo C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2. Operaciones con números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3. Propiedades de los números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4. Formas de expresar los números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.5. Raíces n-ésimas de un número complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4. Tema 4: Matrices 39
4.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2. Clasificación de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3. Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3.1. Definición formal del producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5. Tema 5: Sistemas de ecuaciones lineales 51
5.1. Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.2. Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.3. Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
,Introducción
En estos apuntes se van a explicar los conceptos básicos del álgebra lineal. Además, se va a
profundizar más en los cálculos de la geometría analítica, que ya se introdujo en el bloque II.
Estos apuntes sirven para el estudiante para tener un primer contacto con la geometría
de manera formal. Por tanto, sirven como material de apoyo y de estudio, pero se recomien-
da al alumno que, además de observar y entender los conceptos con los ejemplos presentes
en estos apuntes, realice ejercicios nuevos para poner a prueba su comprensión sobre los
contenidos aquí explicados.
Con eso en mente, espero que estos apuntes sean de ayuda para el avance del alumno
en su adquisición de conocimientos. Los conceptos han sido ordenados y organizados de
una forma que, personalmente, me parece correcta y progresiva, para facilitar al alumno el
seguimiento de los apuntes.
1. Tema 1: ¿Qué es el álgebra?
En este tema vamos a definir qué es el álgebra, lo cual es fundamental para entender
mejor los conceptos de geometría, así como adquirir una mayor soltura con operaciones ma-
temáticas.
Definición
El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia la combinación de elementos de
estructuras abstractas acorde a ciertas reglas. Originalmente esos elementos podían ser in-
terpretados como números o cantidades, por lo que el álgebra en cierto modo originalmente
fue una generalización y extensión de la aritmética.
Es decir, el álgebra se encarga de relacionar diferentes estructuras, que pueden ser nú-
meros o cualquier otra cosa (como vectores, matrices, polinomios, etc.), como veremos a lo
largo de este bloque.
2. Tema 2: Vectores
En este tema vamos a definir uno de los conceptos más básicos del álgbera, así como de
la geometría, que se trata de los vectores.
2.1. Definición
Un vector es un ente matemático como la recta o el plano. Un vector se representa me-
diante un segmento de recta, orientado dentro del espacio euclidiano tridimensional. Para
hacerse con una idea intuitiva, es como una flecha que apunta en un sentido, que tiene una
1
, longitud determinada.
Un vector se representa con una letra, generalmente minúscula, con una flecha encima (o
en negrita). Es decir, un vector se representaría así: →
−
v ó v (la más habitual es la primera,
la segunda se utiliza en libros o apuntes donde no se puede poner una flecha encima de la
letra, por tanto, nosotros usaremos la primera).
Un vector posee componentes, de forma que el número de componentes que posee de-
termina la dimensión del espacio en la que se encuentra. De esta manera, si sólo posee una
componente el vector está en una dimensión, y por tanto, sería equivalente a un escalar (un
número). Si el vector posee dos componentes, el vector se encuentra en un plano de dos di-
mensiones; si tiene tres, se encuentra en un espacio de tres dimensiones, y así sucesivamente.
Por tanto, un vector de N componentes se representa de la siguiente manera:
→
−
v = (v1 , v2 , v3 , ..., vN )
Por ejemplo, un vector de dos componentes sería →
−
v = (3, 4). Un vector de tres componentes
→
− 0
podría ser v = (−3, 8, 15 4).
El significado de las componentes de un vector lo explicaremos de manera formal y ge-
neral más adelante, de momento bastará decir que las componentes de un vector hacen
referencia a cuánto se prolonga el vector en la direeción de la dimensión correspondiente
a cada componente. En el espacio bidimiensional, la correspondencia entre componentes y
dimensiones es la siguiente: →
−
v = (x, y), con x, y ∈ R. Para tres dimensiones es →
−
v = (x, y, z),
con x, y, z ∈ R .
Es decir, las componentes de un vector se interpretan como coordenadas en el espacio
considerado. El vector es el resultado de unir el origen de coordenadas con el punto cuyas
coordenadas coincidan con las del vector. Esto se puede observar en la figura 1.
Figura 1: Representación de un vector con sus componentes.
Un vector tiene tres propiedades o características: módulo, dirección y sentido.
1) Módulo: Hace referencia a la longitud del segmento de recta que representa al vector.
Es decir, es la longitud del vector.
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