ALG2. José Martı́nez Suárez
Tema 1
El espacio proyectivo. El espacio afı́n como subespacio del proyectivo. Sistemas de
referencia. Dualidad.
1. El espacio proyectivo
Sean K un cuerpo y n ≥ 0 un entero. Se considera Kn+1 con su estructura de espacio
vectorial y se define la siguiente relación binaria en Kn+1 \{0}:
u ∼ v ⇔ ∃α ∈ K tal que u = αv
Si u ∈ Kn+1 es un vector no nulo, su clase de equivalencia se denota [u]. Se tiene por
tanto la igualdad
[u] = {αu : α ∈ K, α 6= 0}
Definición
Se llama espacio proyectivo n-dimensional definido sobre K, y se denota Pn (K),
al conjunto de las clases de equivalencia de la relación ∼, es decir
Kn+1 \{0}
Pn (K) :=
∼
Notemos que la relación ∼ es una relación de equivalencia. Los elementos de Pn (K) serán
llamados puntos.
Un punto de Pn (K) es la clase de equivalencia de un vector no nulo u = (u0 , . . . , un ). Dicha
clase de equivalencia se notará indistintamente [u], [u0 : · · · : un ], o bien (u0 : · · · : un ).
Las letras P, Q, R, . . . denotarán usualmente puntos proyectivos. Notemos que para cual-
quier escalar α no nulo y para cualquier vector u = (u0 , . . . , un ) no nulo se tiene
[u] = [u0 : · · · : un ] = [αu0 : · · · : αun ] = [αu]
Además, si P = [u0 : · · · : un ] y Q = [v0 : · · · : vn ], entonces P = Q si y sólo si los vectores
(u0 , . . . , un ) y (v0 , . . . , vn ) son proporcionales.
Nota Existe una correspondencia biyectiva natural entre los siguientes conjuntos:
ρ : Pn (K) → {r ⊆ Kn+1 : r recta vectorial}
definida por ρ([u]) =< u >. Esta correspondencia biyectiva identifica los puntos de Pn (K)
con las rectas del espacio vectorial Kn+1 .
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, ALG2. José Martı́nez Suárez
Definición
La aplicación de paso al cociente
π : Kn+1 \{0} −→ Pn (K)
(a0 , . . . , an ) 7−→ [a0 : · · · : an ]
se denomina proyección natural de Kn+1 \{0} en el espacio proyectivo Pn (K).
1.1. Dependencia lineal proyectiva de puntos
Definición
Sea m ≥ 1 un entero y S = {P1 , . . . , Pm } ⊂ Pn (K). Diremos que S es un conjunto
proyectivamente linealmente independiente (resp. independiente) si, dados
v1 , . . . , vm ∈ Kn+1 cualesquiera verificando que π(vi ) = Pi , el conjunto {v1 , . . . , vm }
es linealmente dependiente (resp. independiente) en Kn+1 .
Si P ∈ Pn (K), diremos que P depende proyectivamente linealmente del conjunto S
si dados v, v1 , . . . , vm ∈ Kn+1 cualesquiera, verificando que π(v) = P, π(vi ) = Pi , el
vector v depende linealmente del conjunto {v1 , . . . , vm }.
1.2. El espacio afı́n como subespacio del espacio proyectivo
Consideremos la aplicación ϕ dada por
ϕ : An (K) −→ Pn (K)
(a1 , . . . , an ) 7−→ [1 : a1 : · · · : an ]
Se denota por Img(ϕ) la imagen de la aplicación anterior.
Proposición
La aplicación ϕ es biyectiva de An (K) en Img(ϕ).
Demostración. Sólo se necesita probar la inyectividad. Si [1 : a1 : · · · : an ] = [1 : b1 :
· · · : bn ] entonces existe un escalar α no nulo tal que (1, a1 , . . . , an ) = α(1, b1 , . . . , bn ). Esto
implica 1 = α · 1 = α. Por tanto, (a1 , . . . , an ) = (b1 , . . . , bn ).
Notemos H∞ = Pn (K)\Img(ϕ)
Proposición
Se tiene la igualdad
Img(ϕ) = {[a0 : · · · : an ] ∈ Pn (K) : a0 6= 0}
Equivalentemente, H∞ es el conjunto de puntos de Pn (K) cuya primera coordenada
es nula.
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, ALG2. José Martı́nez Suárez
Demostración. En efecto, si P = [a0 : · · · : an ] y a0 6= 0 entonces P = [1 : a1 /a0 : · · · :
an /a0 ] = ϕ(a1 /a0 , . . . , an /a0 ) ∈ Img(ϕ)
Notemos que H∞ se puede identificar con el espacio proyectivo Pn−1 (K) mediante la
aplicación biyectiva
H∞ −→ Pn−1 (K)
[0 : a1 : · · · : an ] 7−→ [a1 : · · · : an ]
Proposición
La aplicación biyectiva anterior preserva la dependencia e independencia lineal pro-
yectiva.
Podemos identificar, vı́a la aplicación inyectiva ϕ, el espacio afı́n An (K) con Img(ϕ) que
es el subconjunto complementario de H∞ en Pn (K), y esta identificación se usará a veces
sin mención explicita.
La aplicación de paso al cociente
(a1 , . . . , an ) ∈ Kn+1 \{0} 7−→ [a1 : · · · : an ] ∈ Pn−1 (K)
se denotará π∞ . Si no hay lugar a confusión, se denota también π∞ a la aplicación
(a1 , . . . , an ) ∈ Kn+1 \{0} 7−→ [0 : a1 : · · · : an ] ∈ H∞
El siguiente diagrama resume los espacios y las relaciones entre ellos:
1.3. Dependencia lineal afı́n y dependencia lineal proyectiva
La aplicación ϕ convierte la dependencia afı́n (resp. independencia afı́n) en dependencia
proyectiva (resp. independencia proyectiva). Concretamente se tiene la siguiente proposi-
ción:
Proposición
Sea T := {P1 , . . . , Pm } un subconjunto de An (K). El conjunto T es afı́nmente
independiente si y sólo si ϕ(T ) ⊂ Pn (K) es proyectivamente independiente. Además,
si P ∈ An (K), P depende afı́nmente de T si y sólo si ϕ(P ) depende proyectivamente
de ϕ(T ).
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Tema 1
El espacio proyectivo. El espacio afı́n como subespacio del proyectivo. Sistemas de
referencia. Dualidad.
1. El espacio proyectivo
Sean K un cuerpo y n ≥ 0 un entero. Se considera Kn+1 con su estructura de espacio
vectorial y se define la siguiente relación binaria en Kn+1 \{0}:
u ∼ v ⇔ ∃α ∈ K tal que u = αv
Si u ∈ Kn+1 es un vector no nulo, su clase de equivalencia se denota [u]. Se tiene por
tanto la igualdad
[u] = {αu : α ∈ K, α 6= 0}
Definición
Se llama espacio proyectivo n-dimensional definido sobre K, y se denota Pn (K),
al conjunto de las clases de equivalencia de la relación ∼, es decir
Kn+1 \{0}
Pn (K) :=
∼
Notemos que la relación ∼ es una relación de equivalencia. Los elementos de Pn (K) serán
llamados puntos.
Un punto de Pn (K) es la clase de equivalencia de un vector no nulo u = (u0 , . . . , un ). Dicha
clase de equivalencia se notará indistintamente [u], [u0 : · · · : un ], o bien (u0 : · · · : un ).
Las letras P, Q, R, . . . denotarán usualmente puntos proyectivos. Notemos que para cual-
quier escalar α no nulo y para cualquier vector u = (u0 , . . . , un ) no nulo se tiene
[u] = [u0 : · · · : un ] = [αu0 : · · · : αun ] = [αu]
Además, si P = [u0 : · · · : un ] y Q = [v0 : · · · : vn ], entonces P = Q si y sólo si los vectores
(u0 , . . . , un ) y (v0 , . . . , vn ) son proporcionales.
Nota Existe una correspondencia biyectiva natural entre los siguientes conjuntos:
ρ : Pn (K) → {r ⊆ Kn+1 : r recta vectorial}
definida por ρ([u]) =< u >. Esta correspondencia biyectiva identifica los puntos de Pn (K)
con las rectas del espacio vectorial Kn+1 .
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Definición
La aplicación de paso al cociente
π : Kn+1 \{0} −→ Pn (K)
(a0 , . . . , an ) 7−→ [a0 : · · · : an ]
se denomina proyección natural de Kn+1 \{0} en el espacio proyectivo Pn (K).
1.1. Dependencia lineal proyectiva de puntos
Definición
Sea m ≥ 1 un entero y S = {P1 , . . . , Pm } ⊂ Pn (K). Diremos que S es un conjunto
proyectivamente linealmente independiente (resp. independiente) si, dados
v1 , . . . , vm ∈ Kn+1 cualesquiera verificando que π(vi ) = Pi , el conjunto {v1 , . . . , vm }
es linealmente dependiente (resp. independiente) en Kn+1 .
Si P ∈ Pn (K), diremos que P depende proyectivamente linealmente del conjunto S
si dados v, v1 , . . . , vm ∈ Kn+1 cualesquiera, verificando que π(v) = P, π(vi ) = Pi , el
vector v depende linealmente del conjunto {v1 , . . . , vm }.
1.2. El espacio afı́n como subespacio del espacio proyectivo
Consideremos la aplicación ϕ dada por
ϕ : An (K) −→ Pn (K)
(a1 , . . . , an ) 7−→ [1 : a1 : · · · : an ]
Se denota por Img(ϕ) la imagen de la aplicación anterior.
Proposición
La aplicación ϕ es biyectiva de An (K) en Img(ϕ).
Demostración. Sólo se necesita probar la inyectividad. Si [1 : a1 : · · · : an ] = [1 : b1 :
· · · : bn ] entonces existe un escalar α no nulo tal que (1, a1 , . . . , an ) = α(1, b1 , . . . , bn ). Esto
implica 1 = α · 1 = α. Por tanto, (a1 , . . . , an ) = (b1 , . . . , bn ).
Notemos H∞ = Pn (K)\Img(ϕ)
Proposición
Se tiene la igualdad
Img(ϕ) = {[a0 : · · · : an ] ∈ Pn (K) : a0 6= 0}
Equivalentemente, H∞ es el conjunto de puntos de Pn (K) cuya primera coordenada
es nula.
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Demostración. En efecto, si P = [a0 : · · · : an ] y a0 6= 0 entonces P = [1 : a1 /a0 : · · · :
an /a0 ] = ϕ(a1 /a0 , . . . , an /a0 ) ∈ Img(ϕ)
Notemos que H∞ se puede identificar con el espacio proyectivo Pn−1 (K) mediante la
aplicación biyectiva
H∞ −→ Pn−1 (K)
[0 : a1 : · · · : an ] 7−→ [a1 : · · · : an ]
Proposición
La aplicación biyectiva anterior preserva la dependencia e independencia lineal pro-
yectiva.
Podemos identificar, vı́a la aplicación inyectiva ϕ, el espacio afı́n An (K) con Img(ϕ) que
es el subconjunto complementario de H∞ en Pn (K), y esta identificación se usará a veces
sin mención explicita.
La aplicación de paso al cociente
(a1 , . . . , an ) ∈ Kn+1 \{0} 7−→ [a1 : · · · : an ] ∈ Pn−1 (K)
se denotará π∞ . Si no hay lugar a confusión, se denota también π∞ a la aplicación
(a1 , . . . , an ) ∈ Kn+1 \{0} 7−→ [0 : a1 : · · · : an ] ∈ H∞
El siguiente diagrama resume los espacios y las relaciones entre ellos:
1.3. Dependencia lineal afı́n y dependencia lineal proyectiva
La aplicación ϕ convierte la dependencia afı́n (resp. independencia afı́n) en dependencia
proyectiva (resp. independencia proyectiva). Concretamente se tiene la siguiente proposi-
ción:
Proposición
Sea T := {P1 , . . . , Pm } un subconjunto de An (K). El conjunto T es afı́nmente
independiente si y sólo si ϕ(T ) ⊂ Pn (K) es proyectivamente independiente. Además,
si P ∈ An (K), P depende afı́nmente de T si y sólo si ϕ(P ) depende proyectivamente
de ϕ(T ).
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