Apuntes de Matemáticas UCM (Tema 1)
Germán Cousillas Martı́nez
September 23, 2022
Contents
1 Introducción 2
2 Tema 1 - Preliminares 2
2.1 Conjuntos y Lenguaje Matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.1.1 Sı́mbolos matemáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.1.2 Funciones y conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Lógica proposicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 Demostraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.4 MCD y MCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.5 Progresiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.5.1 Progresiones Aritméticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.5.2 Progresiones Geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.5.3 Técnica útil para hallar la suma de una progresión . . . . 8
2.6 Factoriales y Binomio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.7 Desigualdades y Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.7.1 Propiedades de las desigualdades . . . . . . . . . . . . . . 10
2.7.2 Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.8 Polinomios y sus raı́ces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.8.1 Métodos de resolución de polinomios . . . . . . . . . . . . 12
2.9 Acotaciones e Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.9.1 Acotaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.9.2 Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.10 Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.10.1 Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.10.2 Funciones hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.10.3 Cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Bibliografı́a 17
1
,1 Introducción
Con este documento de apuntes se pretende dar al lector una visión holı́stica
de las matemáticas de primer año de Fı́sica en la Universidad Complutense de
Madrid, reforzada a su vez con la información pertinente de otros documentos,
todos ellos citados en la bibliografı́a al final del documento.
Nótese que estos no son unos apuntes tan exhaustivos como los que el
centro proporciona a los estudiantes, sino que más bien se trata de una revisión
por y para alumnos de las clases, lo que implica que el material dado se expresa
aquı́ de una forma más directa y compacta.
Al ser el autor un estudiante de Fı́sica, estos apuntes no estarán dirigi-
dos especialmente hacia las demostraciones sino hacia la presentación de las
herramientas matemáticas necesarias para la asignatura y la Fı́sica en general.
2 Tema 1 - Preliminares
En esta sección se tratan las bases de las matemáticas que más tarde serán
de gran uso en otras asignaturas y, por supuesto, en esta misma.
2.1 Conjuntos y Lenguaje Matemático
Los conjuntos son colecciones de objetos (elementos) que pueden ser finitas
o infinitas. De una forma poco rigurosa, los conjuntos son análogos a apilar
varios libros en una estanterı́a. La notación correspondiente a los conjuntos es
la siguiente: V ≡ {x : condicion}. Esto se lee ”el conjunto V se compone de
aquellos elementos x que cumplan una condición. A esto se le pueden aplicar
restricciones, como que los elementos x puedan deban pertenecer a un conjunto
para ser parte del nuestro: V ≡ {x ∈ A : condicion}
2.1.1 Sı́mbolos matemáticos
Existe una gran variedad de sı́mbolos matemáticos en lo que a conjuntos se
refiere. Seguidamente se expone una lista de los más relevantes:
• ≡ : definición de una constante según una expresión matemática
• : ó | ó \ : ”tal que” (e.g: de forma que un elemento cumpla la condición)
• ∀ : ”para todo” (significa que algo se cumple para todos los valores que
pueda adoptar una variable concreta)
• ∃ : existe
2
, • ∅ : Conjunto vaı́o ({}) (se trata de un conjunto que no contiene ningún
elemento. Está incluido en todos los conjuntos y cumple todas las
condiciones
• ∪ : Unión de 2 conjuntos (crea un tercer conjunto compuesto por los
elementos compartidos y sin compartir del primer y segundo conjunto.
Ahora bien, si un elemento está incluido en ambos conjuntos, no se pone
en C 2 veces)
• ∩ : Intersección de 2 conjuntos (crea un tercer conjunto con los elementos
compartidos por ambos conjuntos)
• − : En el caso de los conjuntos, el sı́mbolo ”resta” crea un tercer conjunto
con aquellos elementos del primer conjunto que no se hallen en el segundo
• × : Producto de 2 conjuntos (crea un tercer conjunto constituido por
todos los posibles pares ordenados de los elementos de ambos
conjuntos. Nótese que esta operación no cumple la propiedad conmuta-
tiva, ya que A × B ̸= B × A). Por ejemplo:
– A = {a, b}
– B = {0, 1}
– C = A × B = {(a, 0), (a, 1), (b, 0), (b, 1)}
Atención!: Si A y B no comparten ningún elemento (A ∩ B = ∅) se dice que
A y B son disjuntos.
2.1.2 Funciones y conjuntos
Definición: Una función es una regla que asigna a cada elemento del Do-
minio un único elemento de la Imagen.
Notación: f : A −→ B; a −→ b
Si vemos el dominio de una función como un conjunto D y la imagen o recorrido
de dicha función como otro conjunto I, entonces la función no es más que una
regla que relaciona valores de un conjunto con el de otro.
El requisito que debe cumplir una función es que a cada valor del Dominio
no le asigne más de un valor de la Imagen. De lo contrario, imaginándonos la
gráfica de la regla, para cada valor del eje de abscisas (x) habrı́a dos o más
valores de ordenadas (y).
Tipos de funciones
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Germán Cousillas Martı́nez
September 23, 2022
Contents
1 Introducción 2
2 Tema 1 - Preliminares 2
2.1 Conjuntos y Lenguaje Matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.1.1 Sı́mbolos matemáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.1.2 Funciones y conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Lógica proposicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 Demostraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.4 MCD y MCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.5 Progresiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.5.1 Progresiones Aritméticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.5.2 Progresiones Geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.5.3 Técnica útil para hallar la suma de una progresión . . . . 8
2.6 Factoriales y Binomio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.7 Desigualdades y Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.7.1 Propiedades de las desigualdades . . . . . . . . . . . . . . 10
2.7.2 Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.8 Polinomios y sus raı́ces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.8.1 Métodos de resolución de polinomios . . . . . . . . . . . . 12
2.9 Acotaciones e Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.9.1 Acotaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.9.2 Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.10 Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.10.1 Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.10.2 Funciones hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.10.3 Cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Bibliografı́a 17
1
,1 Introducción
Con este documento de apuntes se pretende dar al lector una visión holı́stica
de las matemáticas de primer año de Fı́sica en la Universidad Complutense de
Madrid, reforzada a su vez con la información pertinente de otros documentos,
todos ellos citados en la bibliografı́a al final del documento.
Nótese que estos no son unos apuntes tan exhaustivos como los que el
centro proporciona a los estudiantes, sino que más bien se trata de una revisión
por y para alumnos de las clases, lo que implica que el material dado se expresa
aquı́ de una forma más directa y compacta.
Al ser el autor un estudiante de Fı́sica, estos apuntes no estarán dirigi-
dos especialmente hacia las demostraciones sino hacia la presentación de las
herramientas matemáticas necesarias para la asignatura y la Fı́sica en general.
2 Tema 1 - Preliminares
En esta sección se tratan las bases de las matemáticas que más tarde serán
de gran uso en otras asignaturas y, por supuesto, en esta misma.
2.1 Conjuntos y Lenguaje Matemático
Los conjuntos son colecciones de objetos (elementos) que pueden ser finitas
o infinitas. De una forma poco rigurosa, los conjuntos son análogos a apilar
varios libros en una estanterı́a. La notación correspondiente a los conjuntos es
la siguiente: V ≡ {x : condicion}. Esto se lee ”el conjunto V se compone de
aquellos elementos x que cumplan una condición. A esto se le pueden aplicar
restricciones, como que los elementos x puedan deban pertenecer a un conjunto
para ser parte del nuestro: V ≡ {x ∈ A : condicion}
2.1.1 Sı́mbolos matemáticos
Existe una gran variedad de sı́mbolos matemáticos en lo que a conjuntos se
refiere. Seguidamente se expone una lista de los más relevantes:
• ≡ : definición de una constante según una expresión matemática
• : ó | ó \ : ”tal que” (e.g: de forma que un elemento cumpla la condición)
• ∀ : ”para todo” (significa que algo se cumple para todos los valores que
pueda adoptar una variable concreta)
• ∃ : existe
2
, • ∅ : Conjunto vaı́o ({}) (se trata de un conjunto que no contiene ningún
elemento. Está incluido en todos los conjuntos y cumple todas las
condiciones
• ∪ : Unión de 2 conjuntos (crea un tercer conjunto compuesto por los
elementos compartidos y sin compartir del primer y segundo conjunto.
Ahora bien, si un elemento está incluido en ambos conjuntos, no se pone
en C 2 veces)
• ∩ : Intersección de 2 conjuntos (crea un tercer conjunto con los elementos
compartidos por ambos conjuntos)
• − : En el caso de los conjuntos, el sı́mbolo ”resta” crea un tercer conjunto
con aquellos elementos del primer conjunto que no se hallen en el segundo
• × : Producto de 2 conjuntos (crea un tercer conjunto constituido por
todos los posibles pares ordenados de los elementos de ambos
conjuntos. Nótese que esta operación no cumple la propiedad conmuta-
tiva, ya que A × B ̸= B × A). Por ejemplo:
– A = {a, b}
– B = {0, 1}
– C = A × B = {(a, 0), (a, 1), (b, 0), (b, 1)}
Atención!: Si A y B no comparten ningún elemento (A ∩ B = ∅) se dice que
A y B son disjuntos.
2.1.2 Funciones y conjuntos
Definición: Una función es una regla que asigna a cada elemento del Do-
minio un único elemento de la Imagen.
Notación: f : A −→ B; a −→ b
Si vemos el dominio de una función como un conjunto D y la imagen o recorrido
de dicha función como otro conjunto I, entonces la función no es más que una
regla que relaciona valores de un conjunto con el de otro.
El requisito que debe cumplir una función es que a cada valor del Dominio
no le asigne más de un valor de la Imagen. De lo contrario, imaginándonos la
gráfica de la regla, para cada valor del eje de abscisas (x) habrı́a dos o más
valores de ordenadas (y).
Tipos de funciones
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