Apuntes del programa completo de Álgebra
Lineal
Ricardo Ceballos Sebastián
9 de agosto de 2016
,2 Ricardo Ceballos Sebastián
Agradecimientos
Al Instituto Politécnico Nacional y a la Escuela Superior de Cómputo,
por el apoyo brindado para desarrollar este trabajo.
,Índice general
1. Sistemas de Ecuaciones Lineales 9
1.1. Sistemas de Ecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1. Ecuaciones lineales con dos incógnitas . . . . . . . . . . 9
1.1.2. Ecuaciones lineales con tres incógnitas . . . . . . . . . 10
1.1.3. Sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas . . . 10
1.1.4. Eliminación de Gauss y de Gauss-Jordan con pivoteo . 15
1.1.5. Sistemas homogéneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.2. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.2.1. Definición de matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.2.2. Álgebra matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.2.3. Transpuesta de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.2.4. Representación matricial de un sistema de ecuaciones . 42
1.3. Inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.3.1. Matrices elementales y matrices equivalentes a la ma-
triz identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.3.2. La inversa de una matriz como el producto de matrices
elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.3.3. Solución de un sistema de ecuaciones lineales usando
la inversa de la matriz de coeficientes . . . . . . . . . . 59
1.4. Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.4.1. Definiciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.4.2. Propiedades de las permutaciones . . . . . . . . . . . . 72
1.5. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
1.5.1. Propiedades y cálculo de determinantes . . . . . . . . . 80
1.5.2. Desarrollo por cofactores . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
1.5.3. La inversa de una matriz a través de su adjunta . . . . 100
1.5.4. Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2. Espacios Vectoriales 109
2.1. Espacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.1.1. Definición y propiedades básicas . . . . . . . . . . . . . 109
3
, 4 Ricardo Ceballos Sebastián
2.1.2. Ejemplos de espacios vectoriales de distintos géneros . 110
2.2. Subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
2.2.1. Definición y propiedades básicas . . . . . . . . . . . . . 118
2.2.2. Ejemplos de subespacios vectoriales de distintos géneros 118
2.3. Combinaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2.3.1. Espacio generado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.3.2. Dependencia e independencia lineal . . . . . . . . . . . 126
2.4. Bases de un Espacio Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2.4.1. Dimensión de un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . 133
2.4.2. Rango y nulidad de una matriz . . . . . . . . . . . . . 140
2.5. Espacios con producto interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
2.5.1. Bases ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
2.5.2. Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt . . . . 159
2.6. Cambio de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
2.6.1. Representación de un vector mediante una base ortonor-
mal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
2.6.2. Matriz de cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . 170
3. Transformaciones lineales 181
3.1. Definición y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
3.2. Imagen y kernel de una transformación . . . . . . . . . . . . . 188
3.3. Representación de una transformación lineal . . . . . . . . . . 195
3.4. Cambio de base en la representación matricial de una trans-
formación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
3.5. Isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
3.5.1. Transformación inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
3.5.2. Definición y ejemplos de espacios isomorfos . . . . . . . 217
4. Aplicaciones 221
4.1. Valores y vectores caracterı́stico . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
4.1.1. Definición y polinomio caracterı́stico . . . . . . . . . . 222
4.1.2. Cálculo de vectores caracterı́sticos . . . . . . . . . . . . 224
4.2. Semejanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
4.3. Diagonalización de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
4.4. Matrices simétricas y diagonalización ortogonal . . . . . . . . 237
4.5. Formas cuadráticas y seciones cónicas . . . . . . . . . . . . . . 242
4.6. Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales matriciales . . . . . 253
4.7. Forma canónica de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
Lineal
Ricardo Ceballos Sebastián
9 de agosto de 2016
,2 Ricardo Ceballos Sebastián
Agradecimientos
Al Instituto Politécnico Nacional y a la Escuela Superior de Cómputo,
por el apoyo brindado para desarrollar este trabajo.
,Índice general
1. Sistemas de Ecuaciones Lineales 9
1.1. Sistemas de Ecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1. Ecuaciones lineales con dos incógnitas . . . . . . . . . . 9
1.1.2. Ecuaciones lineales con tres incógnitas . . . . . . . . . 10
1.1.3. Sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas . . . 10
1.1.4. Eliminación de Gauss y de Gauss-Jordan con pivoteo . 15
1.1.5. Sistemas homogéneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.2. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.2.1. Definición de matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.2.2. Álgebra matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.2.3. Transpuesta de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.2.4. Representación matricial de un sistema de ecuaciones . 42
1.3. Inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.3.1. Matrices elementales y matrices equivalentes a la ma-
triz identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.3.2. La inversa de una matriz como el producto de matrices
elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.3.3. Solución de un sistema de ecuaciones lineales usando
la inversa de la matriz de coeficientes . . . . . . . . . . 59
1.4. Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.4.1. Definiciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.4.2. Propiedades de las permutaciones . . . . . . . . . . . . 72
1.5. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
1.5.1. Propiedades y cálculo de determinantes . . . . . . . . . 80
1.5.2. Desarrollo por cofactores . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
1.5.3. La inversa de una matriz a través de su adjunta . . . . 100
1.5.4. Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2. Espacios Vectoriales 109
2.1. Espacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.1.1. Definición y propiedades básicas . . . . . . . . . . . . . 109
3
, 4 Ricardo Ceballos Sebastián
2.1.2. Ejemplos de espacios vectoriales de distintos géneros . 110
2.2. Subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
2.2.1. Definición y propiedades básicas . . . . . . . . . . . . . 118
2.2.2. Ejemplos de subespacios vectoriales de distintos géneros 118
2.3. Combinaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2.3.1. Espacio generado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.3.2. Dependencia e independencia lineal . . . . . . . . . . . 126
2.4. Bases de un Espacio Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2.4.1. Dimensión de un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . 133
2.4.2. Rango y nulidad de una matriz . . . . . . . . . . . . . 140
2.5. Espacios con producto interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
2.5.1. Bases ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
2.5.2. Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt . . . . 159
2.6. Cambio de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
2.6.1. Representación de un vector mediante una base ortonor-
mal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
2.6.2. Matriz de cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . 170
3. Transformaciones lineales 181
3.1. Definición y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
3.2. Imagen y kernel de una transformación . . . . . . . . . . . . . 188
3.3. Representación de una transformación lineal . . . . . . . . . . 195
3.4. Cambio de base en la representación matricial de una trans-
formación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
3.5. Isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
3.5.1. Transformación inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
3.5.2. Definición y ejemplos de espacios isomorfos . . . . . . . 217
4. Aplicaciones 221
4.1. Valores y vectores caracterı́stico . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
4.1.1. Definición y polinomio caracterı́stico . . . . . . . . . . 222
4.1.2. Cálculo de vectores caracterı́sticos . . . . . . . . . . . . 224
4.2. Semejanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
4.3. Diagonalización de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
4.4. Matrices simétricas y diagonalización ortogonal . . . . . . . . 237
4.5. Formas cuadráticas y seciones cónicas . . . . . . . . . . . . . . 242
4.6. Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales matriciales . . . . . 253
4.7. Forma canónica de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
