Samenvatting Analyse (FEB21021)

Week 1
Functie
f : A → B zodat 𝑎 ↦ 𝑓(𝑎) is gegeven door het domein A, co-domein B en de regel
𝑎 ↦ 𝑓(𝑎)
Elementaire functies
𝑥 ↦ 𝑥 ! , 𝑣𝑜𝑜𝑟 𝑝 ∈ ℤ
𝑥 ↦ 𝑎 " , 𝑣𝑜𝑜𝑟 𝑎 > 0
𝑥 ↦ sin(𝑥) , 𝑥 ↦ cos (𝑥)
Nieuwe functies opstellen voor een gegeven f en g
- Som f + g
- Scalaire vermenigvuldiging c x f voor een constante c ∈ ℝ
- Product f x g
- Compositie f ∘ g
- Inverse f-1 (als f inverteerbaar is)
Compositie
2 functies 𝑓: 𝐴 → 𝐵 en 𝑔: 𝐶 → 𝐷, neem aan dat 𝐷 ⊆ 𝐴
De compositie 𝑓 ∘ 𝑔: 𝐶 → 𝐵 is gegeven door (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓A𝑔(𝑥)B voor alle 𝑥 ∈ ℂ
Identiteitsfunctie
𝑖𝑑# : 𝐴 → 𝐴, 𝑎 ↦ 𝑎
Inverse functie
2 functies 𝑓: 𝐴 → 𝐵 en 𝑔: 𝐵 → 𝐴
f en g zijn elkaar inverse functies als 𝑓 ∘ 𝑔 = 𝑖𝑑$ en 𝑔 ∘ 𝑓 = 𝑖𝑑#
Dat betekent 𝑓A𝑔(𝑏)B = 𝑏, ∀𝑏 ∈ 𝐵 en 𝑔A𝑓(𝑎)B = 𝑎, ∀𝑎 ∈ 𝐴
Als een functie inverteerbaar is, dan is de inverse uniek
Injectieve functie
𝑓: 𝐴 → 𝐵 is injectief als voor " x1, x2 Î A zodat x1 ¹ x2 Þ f(x1) ¹ f(x2)
Û f is injectief als voor " x1, x2 Î A zodat f(x1) = f(x2) Þ x1 = x2
Surjectieve functie
𝑓: 𝐴 → 𝐵 is surjectief als " y Î B, $ x Î A zodat f(x) = y
Bijectieve functie
f is bijectief als het injectief én surjectief is
Bijectieve en inverteerbare functie
𝑓: 𝐴 → 𝐵, dan is f inverteerbaar Û f is bijectief
Monotone functie
𝑓: 𝐴 → 𝐵 is strikt stijgend als voor elke 𝑥% , 𝑥& ∈ 𝐴 𝑚𝑒𝑡 𝑥% < 𝑥& geldt dat 𝑓(𝑥% ) < 𝑓(𝑥& )
𝑓: 𝐴 → 𝐵 is strikt dalend als voor elke 𝑥% , 𝑥& ∈ 𝐴 𝑚𝑒𝑡 𝑥% < 𝑥& geldt dat 𝑓(𝑥% ) > 𝑓(𝑥& )
𝑓 is strikt monotoon als het strikt stijgend of strikt dalend is
Symmetrische functie
f is even als 𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥) voor alle 𝑥 ∈ 𝐴
f is oneven als −𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥) voor alle 𝑥 ∈ 𝐴
Strikt monotoon en injectief
Als f strikt monotoon is, dan is f injectief
Definitie limiet
𝑓: 𝐴 → 𝐵 met 𝐴 ∈ ℝ open en 𝐵 ∈ ℝ, dan lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 als voor elke 𝜀 > 0, er een 𝛿 > 0
"→(
bestaat zodat voor elke 𝑥 ∈ 𝐴, als 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿, impliceert dat |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀
Limiet bij oneindigheid
𝑓: 𝐴 → 𝐵 met 𝐴 ∈ ℝ en 𝐵 ∈ ℝ, dan lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 als voor elke 𝜀 > 0, er een M > 0
"→)
bestaat, zodat x > M impliceert dat |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀

, Oneindig limiet
𝑓: 𝐴 → 𝐵 met 𝐴 ∈ ℝ open en 𝐵 ∈ ℝ, dan lim 𝑓(𝑥) = ∞ als voor elke 𝑀 > 0, er een 𝛿 > 0
"→(
bestaat, zodat 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 impliceert dat 𝑓(𝑥) > 𝑀
Somregel limieten
f en g 2 functies van A naar B, als lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 en lim 𝑔(𝑥) = 𝑀 dan
"→( "→(
lim (𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) = 𝐿 + 𝑀
"→(
Limietregels
Als lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 en lim 𝑔(𝑥) = 𝑀 dan
"→( "→(
- lim (𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)) = 𝐿 − 𝑀
"→(
- lim (𝑐 ∗ 𝑓(𝑥)) = 𝑐 ∗ 𝐿 voor elke 𝑐 ∈ ℝ
"→(
- lim (𝑓(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥)) = 𝐿 ∗ 𝑀
"→(
*(") .
- lim = / als 𝑀 ≠ 0
"→( -(")
Limiet ongelijkheid
f en g 2 functies van A naar B, neem aan dat 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) voor alle 𝑥 ∈ 𝐴 en dat
lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 en lim 𝑔(𝑥) = 𝑀, dan 𝐿 ≤ 𝑀
"→( "→(
Insluitstelling (squeeze theorem)
f, g en h functies van A naar B, neem aan dat 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ ℎ(𝑥) voor alle 𝑥 ∈ 𝐴 en dat
lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 en lim ℎ(𝑥) = 𝐿, dan lim 𝑔(𝑥) = 𝐿
"→( "→( "→(
Continuïteit
Een functie f is continu op een punt 𝑎 ∈ 𝐴 als lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)
"→(
Een functie is continu als het continu is op elk punt
Discontinuïteit
Als een functie niet continu is, dan is het 1 van de 3 vormen van discontinuïteit:
- Ophefbare discontinuïteit (gat in de grafiek)
- Essentiële discontinuïteit (oneindig)
- Sprong discontinuïteit (sprong van een punt naar een ander punt)
Regels continuïteit
Als f en g continu zijn, dan zijn f + g, f * g, c * f en f ◦ g ook continu, is f / g continu op x als
𝑔(𝑥) ≠ 0, en als f inverteerbaar is, dan is 𝑓 0% continu
De functies 𝑥 ! , 𝑎 " , sin(𝑥) en cos (𝑥) zijn continu op hun domein
Limieten en functiesymbolen verwisseld
Als h continu is op b en lim 𝑘(𝑥) = 𝑏, dan lim ℎA𝑘(𝑥)B = ℎ \lim 𝑘(𝑥)] = ℎ(𝑏)
"→( "→( "→(
Tussenwaarde stelling
Als f : A à B continu is op [𝑎, 𝑏], 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 en 𝑓(𝑎) ≠ 𝑓(𝑏), dan ∀𝑁 zodat 𝑓(𝑎) < 𝑁 < 𝑓(𝑏)
of 𝑓(𝑏) < 𝑁 < 𝑓(𝑎), ∃𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) zodat 𝑓(𝑐) = 𝑁

Week 2
Afgeleide van een functie
*(")0*(()
𝑓: 𝐴 → 𝐵, dan is de functie differentieerbaar op 𝑎 ∈ 𝐴 als lim "0( bestaat
"→(
In dat geval is de afgeleide van f de limiet en is 𝑓 1 (𝑎)
f is differentieerbaar als f op elke 𝑎 ∈ 𝐴 differentieerbaar is
*((42)0*(()
De afgeleide kan ook verkregen worden met lim 2
(x = a + h)
2→3