Samenvatting Inleiding Analyse (FEB21017)

Samenvatting Inleiding Analyse
Hoorcollege 1 + 2
Termen
∞ oneindig (kan −∞ of +∞ zijn)
∀ alle, willekeurig
∃ er bestaat
f lege verzameling { }
Î element van
Ï geen element van
⊆ deelverzameling (kan gelijk zijn)
⊂ echte verzameling (kan niet gelijk zijn)
È vereniging van verzamelingen
Ç doorsnede van verzamelingen
Ac complement van de verzameling A, alles wat buiten A valt
|A| kardinaliteit (= hoeveelheid elementen) in de verzameling A
1A karakteristieke functie voor de verzameling A
S som
⇔ ’dan en slechts dan als’
Þ als… dan…
¬ niet
Ù en
Ú of

U = Universum waarbinnen je moet blijven
P(A) = Powerset van A, deelverzamelingen van A
A = {1,2}
P(A) = {{1,2}, {1}, {2}, f}
A = {1,2} = Lijstnotatie
A = {r Î N | 1 £ r £ 2} = Set builder notatie
Eindige kardinaliteit: A = {1,2,3,4}
Telbaar oneindige kardinaliteit: A = {1,2,3,4,…}, dan |A| = |N| = À0 = alef-nul
Ontelbaar oneindige kardinaliteit A = (1,1), dan |A| = |R| = c = continuüm
Kardinaliteit P(A) is |P(A)| = 2|A|

Definities, wetten en bewijzen te gebruiken
A = D Û (A Í D en D Í A)
A = D Û (" x Î A Û x Î D)

A Í D Û (" x Î A Þ x Î D) def. Í
x Î A Û {x} Í A def. Í
{x} Í A Û {x} Î P(A) def. P
A \ B = {x Î U | x Î A EN x Ï B} def. \
A È B = {x Î U | x Î X OF x Î Y} def. È
A Ç B = {x Î U | x Î X EN x Î Y} def. Ç
Ac = {x Î U | x Ï A} def. c
A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C) distributieve wet (distr.)
A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C) distributieve wet (distr.)
(A È B)c = Ac Ç Bc De Morgan’s law (D.M.)
(A Ç B)c = Ac È Bc De Morgan’s law (D.M.)

A, f Í A
Ac = U \ A

, A \ B = A Ç Bc
Uc = f en fc = U
Ac Ç A = f en Ac È A = U
Als P Í Q, dan P È Q = Q en P Ç Q = P
AÇf=f
AÈf=A
Als A Í B en B Í C dan A Í C

Als |A| = |D| dan A ~ D
Twee verzamelingen aan elkaar koppelen
1. E Ì N met E = {1,3,5,7,…} en N = {0,1,2,3,…}
2. f : N à E
3. f(n) = 2n + 1 (1-op-1 relatie)
4. N ~ E, dus dan zelfde kardinaliteit
Bewijs uit het ongerijmde: neem aan dat de stelling niet waar is en laat zien dat die aanname
tot een tegenspraak leidt
Bewijs dat een verzameling oneindig is: laat zien dat het equivalent is aan een van zijn echte
deelverzamelingen

(¬¬p) Û p dubbele ontkenning
(p ∧ q) Û (q ∧ p) communicativiteit (comm.)
(p ∨ q) Û (q ∨ p) communicativiteit (comm.)
[(p ∧ q) ∧ r] Û [p ∧ (q ∧ r)] associativiteit (ass.)
[(p ∨ q) ∨ r] Û [p ∨ (q ∨ r)] associativiteit (ass.)
[(p ∧ q) ∨ r] Û [(p ∨ r) ∧ (q ∨ r)] distributieve wet logica (d.w.l.)
[(p ∨ q) ∧ r] Û [(p ∧ r) ∨ (q ∧ r)] distributieve wet logica (d.w.l.)
¬(p ∧ q) Û (¬p ∨ ¬q) De Morgan’s wet logica (D.M.l)
¬(p ∨ q) Û (¬p ∧ ¬q) De Morgan’s wet logica (D.M.l)
(p Û q) Û [(p Þq) ∧ (¬p Þ¬q)] voldoende en noodzakelijke conditie
[(p Þ q) ∧ (q Þr)] ⇒ (p Þ r) transitiviteit

p q ¬p ¬q pÙq pÚq pÞq ¬q Þ ¬p ¬( p Ù q) ¬p Ú ¬q
T T F F T T T T F F
T F F T F T F F T T
F T T F F T T T T T
F F T T F F T T T T


Hoorcollege 3 + 4
Wiskundige inductie voor " n Î N, laat P(n) een stelling zijn afhankelijk van n. Ga
ervan uit dat de 2 volgende voorwaardes zijn vervuld
1. P(1) is waar
2. Voor " k Î N, als P(k) waar is dan P(k + 1) is waar. Dan
P(n) is waar voor " n Î N
Stappen wiskundige inductie
1. Basisstap (B.S.)
Laat zien dat de stelling waar is voor het eerste mogelijke getal
2. Inductie hypothese (I.H.)
Selecteer een willekeurige k Î N, k ³ 0 (0 mag ook een ander getal zijn, het laagst
mogelijk getal waarvoor je het gaat bewijzen met k) en neem aan dat de stelling waar
is voor n = k. Deze stelling met n = k is de inductie hypothese.