Solutionnaire Physique 1, Mécanique, Harris Benson
CHAPITRE 4 CINÉMATIQUE À DEUX DIMENSIONS
4Q3
Les assiettes étant d abord immobiles, leur inertie tend à les garder au repos. Si la nappe est retirée rapidement,
la force qui fait accélérer et déplacer les assiettes ne dure pas assez longtemps pour que leur vitesse n augmente
beaucoup. La nappe aura terminé de glisser sous les assiettes alors que leur vitesse sera encore négligeable.
4Q6
a) Elle retombera dans sa main. La balle aura la même vitesse horizontale que l auto, donc une fois la balle
lancée, la main se déplacera jusqu à l endroit où la balle repasse par la même hauteur durant sa chute.
b) La balle tombera à côté de la main. La parabole suivie par la balle ira dans la direction où la voiture allait lors
du lancer. Si la voiture dévie, la main de la fillette ne sera plus sous la balle lors de sa chute.
4Q10
Plus la vitesse est élevée, plus la résistance de l air est importante et freine l objet, réduisant entre
autres sa vitesse horizontale. À mesure que l objet ralentit, cet effet diminue. L accélération
provoquée par cette résistance de l air n est donc pas constante, ce qui déforme la parabole de la
trajectoire. Par exemple, un ballon de plage lancé très fort à 45° vers le haut retombera avec un angle
beaucoup plus près de la verticale.
4Q11
Il est techniquement en chute libre, puisqu il n est soumis qu à la force gravitationnelle. Cependant, sa vitesse
horizontale fait que la parabole de sa trajectoire a des dimensions aussi importantes que la courbure de la Terre.
Donc elle « rate » la Terre en retombant, et tombe infiniment en contournant la Terre. Aussi, sur son trajet, la
force gravitationnelle change d orientation à mesure que la trajectoire contourne la Terre. C est n est donc plus
une parabole parfaite.
4E1 *Calcul différentiel
a) La vitesse est donnée par la dérivée première de r t . Résoudre ensuite v t pour t = 2 s :
d
vt r t 6t 2 i 3t 2 j v2 10 i 12 j m
s
dt
b) L accélération est donnée par la dérivée seconde de r t . Résoudre ensuite a t pour t = 4 s.
m
at 6i 6t j a4 6i 24 j s2
c) L accélération moyenne est liée à la variation des vitesses instantanées de 1 à 3 s. Il faut donc trouver d abord
v 1 et v 3 : v 1 4 i 3 j ms
m
v3 16 i 27 j s
m m
v v v0 v3 v1 16i 27 j s
4i 3j s m
Ensuite : a 6i 12 j s2
t t t 3s 1s
,4E3
La vitesse moyenne ne dépend que des positions initiale et finale et du temps, même si
l illustration des vitesses ne semble pas décrire une même trajectoire régulière. En effet, la
trajectoire réelle pourrait être tout à fait quelconque entre ces deux points, mais la vitesse
moyenne serait toujours donnée par la relation suivante :
r r r0 20i 35 j m 0 m
v 4i 7j s
t t 5s
D abord, trouver les composantes des vitesses initiale et finale, à partir des modules et orientations :
v0 x v 0 cos 0 15 ms cos 37 12 ms vx v cos 30 m
s
cos 53 18 ms
v0 y v 0 sin 0 15 ms sin 37 9 m
s
vy v sin 30 ms sin 53 24 m
s
Ensuite trouver l accélération :
m m
v v v0 18i 24 j s
12i 9j s m
a 1,21i 2,99 j s2
t t 5s
4E5
S il est à l origine tout en se déplaçant vers l est sur un cercle, il faut
que le cercle soit tangent à l axe x, à l origine. Il n y a que 2
constructions possibles pour illustrer cette situation, dont l une place le
cercle au-dessous de l origine (c est l option retenue par le corrigé du
volume).
a) Si la circonférence fait 8 m et que l enfant se déplace à 1 m/s sur
cette circonférence, à t = 1 s, il aura parcouru 1 m, donc aura fait 1/8 de
tour, donc tourné de = 45° sur le cercle. La position de ce point en
coordonnées x-y sera :
r1 R sin i R 1 cos j m
4
Si la circonférence mesure 8 m, alors R m . Donc :
r1 0,900 i 0,373 j m
b) Après 3 s, = 3/8 de tour, 135° : r3 R sin i R 1 cos j m 0,900 i 2,17 j m
r r3 r0 0,900 i 2,17 j m 0 m
v 0,300 i 0,723 j s
t t 3s 0
c) La vitesse, constante à 1 m/s, change d orientation continuellement. à t = 1 s, la vitesse est vers le sud-est,
2 2 m 2 2 m
donc v1 2
i 2
j s
, et devient v3 2
i 2
j s
à t = 3 s.
2 2 m 2 2 m
v v3 v1 2
i 2
j s 2
i 2
j s 2 m
a 2
i s2
t t 2s
, 4E8
Fixer les paramètres en x et en y, en liant les composantes de vitesse initiale à l angle du lancer.
ATTENTION : si le lancer est à 37° sous l horizontale, il faut considérer un angle négatif pour
l orientation initiale de vitesse : 0 = -37° :
x0 0 y0 40 m
x ? y 0
v0 x v 0 x cos 0 v 0 cos 37 v0 y v 0 sin 0 v 0 sin 37
vx v0 x vy ?
a 0 a g 9,8 sm2
t 2s
a) Équations et solution pour x (isoler v0 dans l équation en y, et remplacer t dans l équation en x pour trouver
x) :
x v0 cos t
x x0 v0 x t 1
2
axt 2 0
1 m 2
1
2 gt 2 y0 2 9,8 s2
2s 40 m
1 2
x 27,1 m
y y0 v0 y t 2
at 2
tan 0 tan 37
1
2
gt y0
0 y0 v 0 sin t 1
gt 2 v0
0 2 t sin 0
b) Trouver l orientation de la vitesse finale. Si on connait les 2 composantes de la vitesse finale, on peut trouver
son orientation. Trouvonsv0 d abord pour trouver les composantes de v final ensuite :
1 2
1
2
gt 2 y0 2
9,8 sm2 2s 40 m
m
Avec l équation développée en a) on a : v0 16,9 s
t sin 0 2 s sin 37
vx v0 x v 0 cos 0 13,5 ms
1
vy
f tan 65,6 (sous l axe x).
m
vx
vy v 0 sin 0 gt 29,8 s
CHAPITRE 4 CINÉMATIQUE À DEUX DIMENSIONS
4Q3
Les assiettes étant d abord immobiles, leur inertie tend à les garder au repos. Si la nappe est retirée rapidement,
la force qui fait accélérer et déplacer les assiettes ne dure pas assez longtemps pour que leur vitesse n augmente
beaucoup. La nappe aura terminé de glisser sous les assiettes alors que leur vitesse sera encore négligeable.
4Q6
a) Elle retombera dans sa main. La balle aura la même vitesse horizontale que l auto, donc une fois la balle
lancée, la main se déplacera jusqu à l endroit où la balle repasse par la même hauteur durant sa chute.
b) La balle tombera à côté de la main. La parabole suivie par la balle ira dans la direction où la voiture allait lors
du lancer. Si la voiture dévie, la main de la fillette ne sera plus sous la balle lors de sa chute.
4Q10
Plus la vitesse est élevée, plus la résistance de l air est importante et freine l objet, réduisant entre
autres sa vitesse horizontale. À mesure que l objet ralentit, cet effet diminue. L accélération
provoquée par cette résistance de l air n est donc pas constante, ce qui déforme la parabole de la
trajectoire. Par exemple, un ballon de plage lancé très fort à 45° vers le haut retombera avec un angle
beaucoup plus près de la verticale.
4Q11
Il est techniquement en chute libre, puisqu il n est soumis qu à la force gravitationnelle. Cependant, sa vitesse
horizontale fait que la parabole de sa trajectoire a des dimensions aussi importantes que la courbure de la Terre.
Donc elle « rate » la Terre en retombant, et tombe infiniment en contournant la Terre. Aussi, sur son trajet, la
force gravitationnelle change d orientation à mesure que la trajectoire contourne la Terre. C est n est donc plus
une parabole parfaite.
4E1 *Calcul différentiel
a) La vitesse est donnée par la dérivée première de r t . Résoudre ensuite v t pour t = 2 s :
d
vt r t 6t 2 i 3t 2 j v2 10 i 12 j m
s
dt
b) L accélération est donnée par la dérivée seconde de r t . Résoudre ensuite a t pour t = 4 s.
m
at 6i 6t j a4 6i 24 j s2
c) L accélération moyenne est liée à la variation des vitesses instantanées de 1 à 3 s. Il faut donc trouver d abord
v 1 et v 3 : v 1 4 i 3 j ms
m
v3 16 i 27 j s
m m
v v v0 v3 v1 16i 27 j s
4i 3j s m
Ensuite : a 6i 12 j s2
t t t 3s 1s
,4E3
La vitesse moyenne ne dépend que des positions initiale et finale et du temps, même si
l illustration des vitesses ne semble pas décrire une même trajectoire régulière. En effet, la
trajectoire réelle pourrait être tout à fait quelconque entre ces deux points, mais la vitesse
moyenne serait toujours donnée par la relation suivante :
r r r0 20i 35 j m 0 m
v 4i 7j s
t t 5s
D abord, trouver les composantes des vitesses initiale et finale, à partir des modules et orientations :
v0 x v 0 cos 0 15 ms cos 37 12 ms vx v cos 30 m
s
cos 53 18 ms
v0 y v 0 sin 0 15 ms sin 37 9 m
s
vy v sin 30 ms sin 53 24 m
s
Ensuite trouver l accélération :
m m
v v v0 18i 24 j s
12i 9j s m
a 1,21i 2,99 j s2
t t 5s
4E5
S il est à l origine tout en se déplaçant vers l est sur un cercle, il faut
que le cercle soit tangent à l axe x, à l origine. Il n y a que 2
constructions possibles pour illustrer cette situation, dont l une place le
cercle au-dessous de l origine (c est l option retenue par le corrigé du
volume).
a) Si la circonférence fait 8 m et que l enfant se déplace à 1 m/s sur
cette circonférence, à t = 1 s, il aura parcouru 1 m, donc aura fait 1/8 de
tour, donc tourné de = 45° sur le cercle. La position de ce point en
coordonnées x-y sera :
r1 R sin i R 1 cos j m
4
Si la circonférence mesure 8 m, alors R m . Donc :
r1 0,900 i 0,373 j m
b) Après 3 s, = 3/8 de tour, 135° : r3 R sin i R 1 cos j m 0,900 i 2,17 j m
r r3 r0 0,900 i 2,17 j m 0 m
v 0,300 i 0,723 j s
t t 3s 0
c) La vitesse, constante à 1 m/s, change d orientation continuellement. à t = 1 s, la vitesse est vers le sud-est,
2 2 m 2 2 m
donc v1 2
i 2
j s
, et devient v3 2
i 2
j s
à t = 3 s.
2 2 m 2 2 m
v v3 v1 2
i 2
j s 2
i 2
j s 2 m
a 2
i s2
t t 2s
, 4E8
Fixer les paramètres en x et en y, en liant les composantes de vitesse initiale à l angle du lancer.
ATTENTION : si le lancer est à 37° sous l horizontale, il faut considérer un angle négatif pour
l orientation initiale de vitesse : 0 = -37° :
x0 0 y0 40 m
x ? y 0
v0 x v 0 x cos 0 v 0 cos 37 v0 y v 0 sin 0 v 0 sin 37
vx v0 x vy ?
a 0 a g 9,8 sm2
t 2s
a) Équations et solution pour x (isoler v0 dans l équation en y, et remplacer t dans l équation en x pour trouver
x) :
x v0 cos t
x x0 v0 x t 1
2
axt 2 0
1 m 2
1
2 gt 2 y0 2 9,8 s2
2s 40 m
1 2
x 27,1 m
y y0 v0 y t 2
at 2
tan 0 tan 37
1
2
gt y0
0 y0 v 0 sin t 1
gt 2 v0
0 2 t sin 0
b) Trouver l orientation de la vitesse finale. Si on connait les 2 composantes de la vitesse finale, on peut trouver
son orientation. Trouvonsv0 d abord pour trouver les composantes de v final ensuite :
1 2
1
2
gt 2 y0 2
9,8 sm2 2s 40 m
m
Avec l équation développée en a) on a : v0 16,9 s
t sin 0 2 s sin 37
vx v0 x v 0 cos 0 13,5 ms
1
vy
f tan 65,6 (sous l axe x).
m
vx
vy v 0 sin 0 gt 29,8 s
