Systematische Natuurkunde 5 VWO ||| Samenvatting Hoofdstuk 9: Trillingen en golven
H9 | Trillingen en golven
9.1 Trillingen
Periodieke beweging, trilling
Een beweging die zich regelmatig herhaalt, heet een periodieke beweging. Als een blokje aan een
veer hangt komt deze in een evenwichtsstand. Een periodieke beweging om een vaste
evenwichtsstand noem je een trilling.
De herhaaltijd noem je de trillingstijd of periode (symbool: 𝑇). Het aantal herhalingen in één
seconde heet de frequentie (symbool 𝑓). Er geldt:
1
𝑓= 𝑇
■ 𝑓 is de frequentie in s-1 (Hz).
■ 𝑇 is de trillingstijd of periode in s.
Uitwijking en amplitude
De afstand tot de evenwichtsstand noem je de uitwijking met symbool 𝑢. De uitwijking kan zowel
positief als negatief zijn.
De maximale afstand tot de evenwichtsstand heet de amplitude (𝐴). Er geldt A = |u max|
Het (uitwijking, tijd)-diagram
In een (uitwijking, tijd)-diagram, ook wel (𝑢, 𝑡)-diagram is de uitwijking tegen de tijd uitgezet. Uit
een (𝑢, 𝑡)-diagram kun je de trillingstijd en daarmee de frequentie afleiden. Neem altijd zo veel
mogelijk perioden voor een zo klein mogelijke meetonzekerheid.
Fase en gereduceerde fase
De fase van een periodieke beweging is het aantal trillingen dat is uitgevoerd sinds de
evenwichtsstand voor het eerst in de richting van de positieve uitwijking is gepasseerd. Het aantal
uitgevoerde trillingen noem je de fase φ. Er geldt:
𝑡
φ = 𝑇
■φ is de fase.
■ 𝑡 is de tijd in s vanaf het moment dat φ = 0.
■ 𝑇 is de periode of trillingstijd in s.
De fase is meestal geen geheel getal. Eén waarde is meestal voldoende om vast te stellen welk deel
van de trilling is uitgevoerd. Dit getal noem je de gereduceerde fase φr.
Metingen aan periodieke bewegingen
Elektrische spanningen van het hart kunnen worden gemeten met elektroden. Deze staat verbonden
met een spanningsmeter en een computer. Het (spanning, tijd)-diagram dat ontstaat, noem je een
cardiogram (hartfilmpje).
Een apparaat dat de elektrische spanning weergeeft als functie van tijd, is een oscilloscoop.
Spanning wordt hiermee zichtbaar gemaakt door stippen, deze zijn samen een oscillogram. Het
scherm van de oscilloscoop is verdeeld in hokjes. De tijdbasis geeft aan in hoeveel tijd de stip één
schaaldeel doorloopt.
De gevoeligheid is de spanning die hoort bij de hoogte van één hokje, uitgedrukt in V/div.
Een microfoon zet een geluidstrilling om in een spanning die een oscilloscoop of een computer
zichtbaar kan maken.
9.2 Harmonische trilling
Krachten bij trillingen
De resulterende kracht van krachten is gericht naar een evenwichtsstand. Is de resulterende
kracht recht evenredig met de uitwijking, dan geldt:
, Systematische Natuurkunde 5 VWO ||| Samenvatting Hoofdstuk 9: Trillingen en golven
→ →
𝐹𝑟𝑒𝑠
= −𝐶 · 𝑢
→
■ 𝐹𝑟𝑒𝑠
is de resulterende kracht in N.
■ 𝐶 is de krachtconstante in Nm-1.
→
■ 𝑢
is de uitwijking in m.
Het minteken geeft aan resulterende kracht ↔ uitwijking.
De harmonische trilling
De grafiek in het (uitwijking, tijd)-diagram is sinusvormig. Een trilling met zo’n (𝑢, 𝑡)-grafiek noem
je een harmonische trilling.
Voor de uitwijking van een een harmonische trilling geldt:
𝑢 = 𝐴 · 𝑠𝑖𝑛 ( 2π
𝑇
· 𝑡 )
■ 𝑢 is de uitwijking in m.
■ 𝐴 is de amplitude in m.
■ 𝑇 is de trillingstijd in s.
■ 𝑡 is de tijd in s, vanaf het moment dat φ= 0.
Bij natuurkunde ben je gewend een hoek in graden uit te drukken. Een andere hoekmaat is radiaal
met symbool rad. Een hele cirkel kun je verdelen in 2π radialen.
Trillingstijd van een massa-veersysteem
Een voorbeeld van een massa-veersysteem is een ruiter op een luchtkussen. Een vier keer zo kleine
massa geeft een twee keer zo kleine trillingstijd. Je kan vinden dat de trillingstijd 𝑇 recht
evenredig is met 𝑚.
De trillingstijd van een massa-veersysteem bereken je met:
𝑚
𝑇 = 2π 𝐶
■ 𝑇 is de trillingstijd in s.
■ 𝑚 is de massa in kg.
■ 𝐶 is de krachtconstante in Nm-1.
Faseverschil en gereduceerd faseverschil
Het faseverschil ∆φ is het verschil in fase van twee punten. Het faseverschil geeft aan in hoeverre
trillingen ‘in de pas lopen’. Als het gereduceerd faseverschil (∆φr) 0 is trillen de twee punten in
fase. Bij een gereduceerd faseverschil (∆φr) van 0,5 zijn de twee punten in tegenfase.
Voor het faseverschil op twee tijdstippen van een trillingstijd geldt dus:
∆𝑡
∆φ = 𝑇
■ ∆φ is het faseverschil.
■ ∆𝑡 is het tijdsverschil in s.
■ T is de periode of trillingstijd in s.
9.3 Trillingsenergie en resonantie
Energieomzettingen bij een trilling
Bij een harmonische trillingen (de beweging) spelen twee energievormen een rol:
1 2
1. De kinetische energie 𝐸𝑘 = 2
𝑚 · 𝑣 → Wanneer de ruiter een snelheid heeft.
1 2
2. De veerenergie 𝐸𝑣 = 2
𝐶 · 𝑢 → Hiervoor geldt: uitrekking ≠ 0
De som van deze twee energievormen noem je de trillingsenergie. Er geldt:
1 2 1 2
𝐸𝑡𝑟𝑖𝑙 = 2
𝐶 ·𝑢 + 2
𝑚 ·𝑣
■ 𝐸𝑡𝑟𝑖𝑙 is de trillingsenergie in J.
H9 | Trillingen en golven
9.1 Trillingen
Periodieke beweging, trilling
Een beweging die zich regelmatig herhaalt, heet een periodieke beweging. Als een blokje aan een
veer hangt komt deze in een evenwichtsstand. Een periodieke beweging om een vaste
evenwichtsstand noem je een trilling.
De herhaaltijd noem je de trillingstijd of periode (symbool: 𝑇). Het aantal herhalingen in één
seconde heet de frequentie (symbool 𝑓). Er geldt:
1
𝑓= 𝑇
■ 𝑓 is de frequentie in s-1 (Hz).
■ 𝑇 is de trillingstijd of periode in s.
Uitwijking en amplitude
De afstand tot de evenwichtsstand noem je de uitwijking met symbool 𝑢. De uitwijking kan zowel
positief als negatief zijn.
De maximale afstand tot de evenwichtsstand heet de amplitude (𝐴). Er geldt A = |u max|
Het (uitwijking, tijd)-diagram
In een (uitwijking, tijd)-diagram, ook wel (𝑢, 𝑡)-diagram is de uitwijking tegen de tijd uitgezet. Uit
een (𝑢, 𝑡)-diagram kun je de trillingstijd en daarmee de frequentie afleiden. Neem altijd zo veel
mogelijk perioden voor een zo klein mogelijke meetonzekerheid.
Fase en gereduceerde fase
De fase van een periodieke beweging is het aantal trillingen dat is uitgevoerd sinds de
evenwichtsstand voor het eerst in de richting van de positieve uitwijking is gepasseerd. Het aantal
uitgevoerde trillingen noem je de fase φ. Er geldt:
𝑡
φ = 𝑇
■φ is de fase.
■ 𝑡 is de tijd in s vanaf het moment dat φ = 0.
■ 𝑇 is de periode of trillingstijd in s.
De fase is meestal geen geheel getal. Eén waarde is meestal voldoende om vast te stellen welk deel
van de trilling is uitgevoerd. Dit getal noem je de gereduceerde fase φr.
Metingen aan periodieke bewegingen
Elektrische spanningen van het hart kunnen worden gemeten met elektroden. Deze staat verbonden
met een spanningsmeter en een computer. Het (spanning, tijd)-diagram dat ontstaat, noem je een
cardiogram (hartfilmpje).
Een apparaat dat de elektrische spanning weergeeft als functie van tijd, is een oscilloscoop.
Spanning wordt hiermee zichtbaar gemaakt door stippen, deze zijn samen een oscillogram. Het
scherm van de oscilloscoop is verdeeld in hokjes. De tijdbasis geeft aan in hoeveel tijd de stip één
schaaldeel doorloopt.
De gevoeligheid is de spanning die hoort bij de hoogte van één hokje, uitgedrukt in V/div.
Een microfoon zet een geluidstrilling om in een spanning die een oscilloscoop of een computer
zichtbaar kan maken.
9.2 Harmonische trilling
Krachten bij trillingen
De resulterende kracht van krachten is gericht naar een evenwichtsstand. Is de resulterende
kracht recht evenredig met de uitwijking, dan geldt:
, Systematische Natuurkunde 5 VWO ||| Samenvatting Hoofdstuk 9: Trillingen en golven
→ →
𝐹𝑟𝑒𝑠
= −𝐶 · 𝑢
→
■ 𝐹𝑟𝑒𝑠
is de resulterende kracht in N.
■ 𝐶 is de krachtconstante in Nm-1.
→
■ 𝑢
is de uitwijking in m.
Het minteken geeft aan resulterende kracht ↔ uitwijking.
De harmonische trilling
De grafiek in het (uitwijking, tijd)-diagram is sinusvormig. Een trilling met zo’n (𝑢, 𝑡)-grafiek noem
je een harmonische trilling.
Voor de uitwijking van een een harmonische trilling geldt:
𝑢 = 𝐴 · 𝑠𝑖𝑛 ( 2π
𝑇
· 𝑡 )
■ 𝑢 is de uitwijking in m.
■ 𝐴 is de amplitude in m.
■ 𝑇 is de trillingstijd in s.
■ 𝑡 is de tijd in s, vanaf het moment dat φ= 0.
Bij natuurkunde ben je gewend een hoek in graden uit te drukken. Een andere hoekmaat is radiaal
met symbool rad. Een hele cirkel kun je verdelen in 2π radialen.
Trillingstijd van een massa-veersysteem
Een voorbeeld van een massa-veersysteem is een ruiter op een luchtkussen. Een vier keer zo kleine
massa geeft een twee keer zo kleine trillingstijd. Je kan vinden dat de trillingstijd 𝑇 recht
evenredig is met 𝑚.
De trillingstijd van een massa-veersysteem bereken je met:
𝑚
𝑇 = 2π 𝐶
■ 𝑇 is de trillingstijd in s.
■ 𝑚 is de massa in kg.
■ 𝐶 is de krachtconstante in Nm-1.
Faseverschil en gereduceerd faseverschil
Het faseverschil ∆φ is het verschil in fase van twee punten. Het faseverschil geeft aan in hoeverre
trillingen ‘in de pas lopen’. Als het gereduceerd faseverschil (∆φr) 0 is trillen de twee punten in
fase. Bij een gereduceerd faseverschil (∆φr) van 0,5 zijn de twee punten in tegenfase.
Voor het faseverschil op twee tijdstippen van een trillingstijd geldt dus:
∆𝑡
∆φ = 𝑇
■ ∆φ is het faseverschil.
■ ∆𝑡 is het tijdsverschil in s.
■ T is de periode of trillingstijd in s.
9.3 Trillingsenergie en resonantie
Energieomzettingen bij een trilling
Bij een harmonische trillingen (de beweging) spelen twee energievormen een rol:
1 2
1. De kinetische energie 𝐸𝑘 = 2
𝑚 · 𝑣 → Wanneer de ruiter een snelheid heeft.
1 2
2. De veerenergie 𝐸𝑣 = 2
𝐶 · 𝑢 → Hiervoor geldt: uitrekking ≠ 0
De som van deze twee energievormen noem je de trillingsenergie. Er geldt:
1 2 1 2
𝐸𝑡𝑟𝑖𝑙 = 2
𝐶 ·𝑢 + 2
𝑚 ·𝑣
■ 𝐸𝑡𝑟𝑖𝑙 is de trillingsenergie in J.
