Kansrekenen samenvatting
Hoofdstuk 1: Kansrekenen p. 3 - 43
Kanslimieten = aantal gegevens in statistiek is vaak heel groot
Voorwaardelijke kans = kansen veranderen door bijkomende info
Onafhankelijkheid = kans op 1 verschijnsel niet beïnvloed door een ander fenomeen
Kanstheorie = beschrijft op wiskundige wijze de wetmatigheden die dit toeval beheersen.
Voorbeelden stochastisch experiment:
Ω is de verzameling van alle mogelijke uitkomsten. Bij een dobbelsteen is dit bv, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Indien we twee keer
werpen met een dobbelsteen krijg je 6x6=36 koppels, Ω = {(1,1), (1,2), ...}.
Elke deelverzameling A van Ω is een gebeurtenis, bv de gebeurtenis ‘hoger dan 4’ werpen met een dobbelsteen is: A = {5,6}.
Indien we de verzameling van alle mogelijke gebeurtenissen willen bekijken: A ⊂ Ω.
Soorten gebeurtenissen:
- Omega is een zekere gebeurtenis, want Ω ⊂ Ω (bv dobbelsteen gooien)
- Een lege verzameling is een onzekere gebeurtenis want ø ⊂ Ω
- Een enkelvoudige gebeurtenis is wanneer #A = 1
𝑆(𝑛)
Kans als relatieve frequentie: P(A) = lim 𝑛
𝑛→∞
met P(A) de kans op A, S(n) het # geslaagde experimenten en n het # uitgevoerde experimenten
#𝐴
Definitie Laplace: P(A) = #Ω
voorwaarde: alle enkelvoudige gebeurtenissen zijn even waarschijnlijk
Axiomatische benadering:
1. Positiviteit: kans is altijd groter dan of gelijk aan 0
2. Kans op zekere gebeurtenis: P(Ω) = 1 = 100%
3. Additiviteit en continuïteit
a. Additiviteit: P(A∪B) = P(A) + P(B) indien ∀A,B ⊂ Ω: A ∩B = ø
b. Continuïteit: P( lim 𝐴𝑛) = lim P(𝐴𝑛) indien 𝐴𝑛 ⊂ 𝐴𝑛 + 1
𝑛→∞ 𝑛→∞
Toepassing 1: kans op onmogelijke gebeurtenissen
Te bewijzen: P(ø) = 0
Bewijs: ø ∩ ø = ø en ø ∪ ø = ø
Ax 3a P(ø ∪ ø) = P(ø) + P(ø)
⇔ P(ø) = P(ø) + P(ø)
⇔ P(ø) = 0
1
Hoofdstuk 1: Kansrekenen p. 3 - 43
Kanslimieten = aantal gegevens in statistiek is vaak heel groot
Voorwaardelijke kans = kansen veranderen door bijkomende info
Onafhankelijkheid = kans op 1 verschijnsel niet beïnvloed door een ander fenomeen
Kanstheorie = beschrijft op wiskundige wijze de wetmatigheden die dit toeval beheersen.
Voorbeelden stochastisch experiment:
Ω is de verzameling van alle mogelijke uitkomsten. Bij een dobbelsteen is dit bv, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Indien we twee keer
werpen met een dobbelsteen krijg je 6x6=36 koppels, Ω = {(1,1), (1,2), ...}.
Elke deelverzameling A van Ω is een gebeurtenis, bv de gebeurtenis ‘hoger dan 4’ werpen met een dobbelsteen is: A = {5,6}.
Indien we de verzameling van alle mogelijke gebeurtenissen willen bekijken: A ⊂ Ω.
Soorten gebeurtenissen:
- Omega is een zekere gebeurtenis, want Ω ⊂ Ω (bv dobbelsteen gooien)
- Een lege verzameling is een onzekere gebeurtenis want ø ⊂ Ω
- Een enkelvoudige gebeurtenis is wanneer #A = 1
𝑆(𝑛)
Kans als relatieve frequentie: P(A) = lim 𝑛
𝑛→∞
met P(A) de kans op A, S(n) het # geslaagde experimenten en n het # uitgevoerde experimenten
#𝐴
Definitie Laplace: P(A) = #Ω
voorwaarde: alle enkelvoudige gebeurtenissen zijn even waarschijnlijk
Axiomatische benadering:
1. Positiviteit: kans is altijd groter dan of gelijk aan 0
2. Kans op zekere gebeurtenis: P(Ω) = 1 = 100%
3. Additiviteit en continuïteit
a. Additiviteit: P(A∪B) = P(A) + P(B) indien ∀A,B ⊂ Ω: A ∩B = ø
b. Continuïteit: P( lim 𝐴𝑛) = lim P(𝐴𝑛) indien 𝐴𝑛 ⊂ 𝐴𝑛 + 1
𝑛→∞ 𝑛→∞
Toepassing 1: kans op onmogelijke gebeurtenissen
Te bewijzen: P(ø) = 0
Bewijs: ø ∩ ø = ø en ø ∪ ø = ø
Ax 3a P(ø ∪ ø) = P(ø) + P(ø)
⇔ P(ø) = P(ø) + P(ø)
⇔ P(ø) = 0
1
