Hoofdstuk 1: Inleidende begrippen
Logica
Wiskunde is opgebouwd uit logische redeneringen. Wij gebruiken de taal en notatie van de
predicatenlogica om redeneringen neer te schrijven.
• Propositie: een bewering p die ofwel waar, ofwel onwaar is.
• Conjunctie: p ∧ q (”p en q”) en Disjunctie: p ∨ q (”p of q”)
• Implicatie: p ⇒ q (“Als p dan q”)
o Voorbeeld. “x is deelbaar door 10 ⇒ x is even”
• Equivalentie: p ⇔ q (“p is equivalent met q”) betekent (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
o Voorbeeld. “n2 even ⇔ n even”
• Negatie: ¬p
o Voorbeeld. “Het regent niet.”
Opmerking:
De negatie van de implicatie is niet hetzelfde als contrapositie!
• Negatie van de implicatie: ¬(p ⇒ q) is equivalent met p ∧ ¬q
• Contrapositie van de implicatie: p ⇒ q is equivalent met ¬q ⇒ ¬p
• Voorbeeld. Om te bewijzen dat “n 2 even ⇒ n even” is het gemakkelijker te bewijzen
dat “n oneven ⇒ n 2 oneven”.
Verzamelingen
Verzamelingen laten toe alle (wiskundige) objecten met dezelfde kenmerken te groeperen of
te verzamelen. Een object uit een gegeven verzameling heet een element.
Voorbeelden
• De verzameling priemgetallen groepeert alle positieve gehele getallen die juist twee
verschillende delers bezitten.
• N = {0, 1, 2, . . .}: de natuurlijke getallen
• Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, . . .}: de gehele getallen
• Q = { a/b | a, b ∈ Z ∧ b 6= 0}: de rationale getallen
• R = de reële getallen
• C = {a + bi | a, b ∈ R}: de complexe getallen
N, Z, Q = discrete verzamelingen
R, C = continue verzamelingen
Kwantoren
Sommige uitspraken of eigenschappen zijn geldig voor alle objecten in een gegeven
verzameling. Om dit te noteren gebruiken we de kwantor “voor alle”: ∀.
Voorbeeld. ∀ x ∈ R : x 2 ≥ 0
Het dubbelpunt “:” betekent in een logische uitspraak “geldt”.
1
, Er is ook een kwantor “er bestaat” indien men wil zeggen dat een eigenschap geldt voor
minstens een element in een gegeven verzameling.
Voorbeeld. ∃ x ∈ R : x 2 = x.
Soms wil men benadrukken dat er slechts een element bestaat met de gegeven eigenschap.
Voorbeeld. ∃! 𝑥 ∈ ℝ+ 2
0 ∶ 𝑥 =𝑥
De volgorde van kwantoren heeft belang! Bijvoorbeeld
∀ 𝑥 ∈ ℝ ∶ ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ : 𝑥 2 = 𝑦
is waar, terwijl
∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ∶ ∀ 𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 2 = 𝑦
onwaar is.
Negaties van uitspraken zijn zeer belangrijk. Denk bijvoorbeeld aan het bewijs door
contrapositie.
De negatie van ∀ x ∈ X : p(x) is ∃ x ∈ X : ¬p(x) en de negatie van ∃ x ∈ X : p(x) is ∀ x ∈ X :
¬p(x).
Deelverzamelingen
Indien elk element van een verzameling A ook behoort tot een verzameling B, zeggen we dat
A een deelverzameling is van B of dat B de verzameling A omvat.
Symbolisch:
𝐴⊂𝐵⇔∀𝑎∈𝐴∶𝑎∈𝐵
Ook steeds
• 𝐵⊂𝐵
• 𝜙⊂𝐵
Alle andere deelverzamelingen van B noemen we echte deelverzamelingen van B.
Twee verzamelingen A en B zijn gelijk indien ze dezelfde elementen hebben.
Symbolisch:
(𝐴 ⊂ 𝐵) ∧ (𝐵 ⊂ 𝐴)
Gevolg:
𝐴 ≠ 𝐵 ⇔ (𝐴 ⊄ 𝐵) ∨ (𝐵 ⊄ 𝐴)
De verzameling van alle deelverzamelingen van een gegeven verzameling X noteren we
𝒫(𝑋).
Bewerkingen met verzamelingen
A ∩ B = {x ∈ A | x ∈ B} : Doorsnede
A ∪ B = {x | (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)} : Unie
A \ B = {x | (x ∈ A) ∧ (x ∉ B)} : Verschil
2
Logica
Wiskunde is opgebouwd uit logische redeneringen. Wij gebruiken de taal en notatie van de
predicatenlogica om redeneringen neer te schrijven.
• Propositie: een bewering p die ofwel waar, ofwel onwaar is.
• Conjunctie: p ∧ q (”p en q”) en Disjunctie: p ∨ q (”p of q”)
• Implicatie: p ⇒ q (“Als p dan q”)
o Voorbeeld. “x is deelbaar door 10 ⇒ x is even”
• Equivalentie: p ⇔ q (“p is equivalent met q”) betekent (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
o Voorbeeld. “n2 even ⇔ n even”
• Negatie: ¬p
o Voorbeeld. “Het regent niet.”
Opmerking:
De negatie van de implicatie is niet hetzelfde als contrapositie!
• Negatie van de implicatie: ¬(p ⇒ q) is equivalent met p ∧ ¬q
• Contrapositie van de implicatie: p ⇒ q is equivalent met ¬q ⇒ ¬p
• Voorbeeld. Om te bewijzen dat “n 2 even ⇒ n even” is het gemakkelijker te bewijzen
dat “n oneven ⇒ n 2 oneven”.
Verzamelingen
Verzamelingen laten toe alle (wiskundige) objecten met dezelfde kenmerken te groeperen of
te verzamelen. Een object uit een gegeven verzameling heet een element.
Voorbeelden
• De verzameling priemgetallen groepeert alle positieve gehele getallen die juist twee
verschillende delers bezitten.
• N = {0, 1, 2, . . .}: de natuurlijke getallen
• Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, . . .}: de gehele getallen
• Q = { a/b | a, b ∈ Z ∧ b 6= 0}: de rationale getallen
• R = de reële getallen
• C = {a + bi | a, b ∈ R}: de complexe getallen
N, Z, Q = discrete verzamelingen
R, C = continue verzamelingen
Kwantoren
Sommige uitspraken of eigenschappen zijn geldig voor alle objecten in een gegeven
verzameling. Om dit te noteren gebruiken we de kwantor “voor alle”: ∀.
Voorbeeld. ∀ x ∈ R : x 2 ≥ 0
Het dubbelpunt “:” betekent in een logische uitspraak “geldt”.
1
, Er is ook een kwantor “er bestaat” indien men wil zeggen dat een eigenschap geldt voor
minstens een element in een gegeven verzameling.
Voorbeeld. ∃ x ∈ R : x 2 = x.
Soms wil men benadrukken dat er slechts een element bestaat met de gegeven eigenschap.
Voorbeeld. ∃! 𝑥 ∈ ℝ+ 2
0 ∶ 𝑥 =𝑥
De volgorde van kwantoren heeft belang! Bijvoorbeeld
∀ 𝑥 ∈ ℝ ∶ ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ : 𝑥 2 = 𝑦
is waar, terwijl
∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ∶ ∀ 𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 2 = 𝑦
onwaar is.
Negaties van uitspraken zijn zeer belangrijk. Denk bijvoorbeeld aan het bewijs door
contrapositie.
De negatie van ∀ x ∈ X : p(x) is ∃ x ∈ X : ¬p(x) en de negatie van ∃ x ∈ X : p(x) is ∀ x ∈ X :
¬p(x).
Deelverzamelingen
Indien elk element van een verzameling A ook behoort tot een verzameling B, zeggen we dat
A een deelverzameling is van B of dat B de verzameling A omvat.
Symbolisch:
𝐴⊂𝐵⇔∀𝑎∈𝐴∶𝑎∈𝐵
Ook steeds
• 𝐵⊂𝐵
• 𝜙⊂𝐵
Alle andere deelverzamelingen van B noemen we echte deelverzamelingen van B.
Twee verzamelingen A en B zijn gelijk indien ze dezelfde elementen hebben.
Symbolisch:
(𝐴 ⊂ 𝐵) ∧ (𝐵 ⊂ 𝐴)
Gevolg:
𝐴 ≠ 𝐵 ⇔ (𝐴 ⊄ 𝐵) ∨ (𝐵 ⊄ 𝐴)
De verzameling van alle deelverzamelingen van een gegeven verzameling X noteren we
𝒫(𝑋).
Bewerkingen met verzamelingen
A ∩ B = {x ∈ A | x ∈ B} : Doorsnede
A ∪ B = {x | (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)} : Unie
A \ B = {x | (x ∈ A) ∧ (x ∉ B)} : Verschil
2
