MAT2611 SEMESTER 1 ASSIGNMENT 8 2022
Problem 27
〈 , 〉: ℝ3 × ℝ3 → ℝ
〈(𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ), (𝑦1 , 𝑦2 , 𝑦3 )〉 = 𝑥1 𝑦1 + 𝑥3 𝑦3
𝐴 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑠 𝑎𝑛 𝑖𝑛𝑛𝑒𝑟 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡 𝑖𝑓 𝑖𝑡 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑖𝑒𝑠 𝑎𝑙𝑙 𝑡ℎ𝑒 𝑎𝑏𝑜𝑣𝑒 𝑓𝑜𝑢𝑟 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑒𝑟𝑡𝑖𝑒𝑠.
𝐼𝑓 𝑜𝑛𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑒𝑟𝑡𝑦 𝑖𝑠 𝑛𝑜𝑡 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑖𝑒𝑑 𝑡ℎ𝑒𝑛 𝑡ℎ𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑠 𝑛𝑜𝑡 𝑎𝑛 𝑖𝑛𝑛𝑒𝑟 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡.
𝑉𝑒𝑟𝑖𝑓𝑦 𝐼𝑃4 𝑝𝑎𝑟𝑡 𝑏):
𝐿𝑒𝑡 𝑢 = (0, 3, 0)
〈(𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ), (𝑦1 , 𝑦2 , 𝑦3 )〉 = 𝑥1 𝑦1 + 𝑥3 𝑦3
〈𝑢, 𝑢〉 = 〈(0, 3, 0), (0, 3, 0)〉
〈𝑢, 𝑢〉 = 0 × 0 + 0 × 0
〈𝑢, 𝑢〉 = 0 + 0
〈𝑢, 𝑢〉 = 0
𝐵𝑢𝑡 𝑢 = (0, 3, 0) ≠ (0, 0, 0)
𝑢 ≠ (0, 0, 0)
Problem 27
〈 , 〉: ℝ3 × ℝ3 → ℝ
〈(𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ), (𝑦1 , 𝑦2 , 𝑦3 )〉 = 𝑥1 𝑦1 + 𝑥3 𝑦3
𝐴 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑠 𝑎𝑛 𝑖𝑛𝑛𝑒𝑟 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡 𝑖𝑓 𝑖𝑡 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑖𝑒𝑠 𝑎𝑙𝑙 𝑡ℎ𝑒 𝑎𝑏𝑜𝑣𝑒 𝑓𝑜𝑢𝑟 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑒𝑟𝑡𝑖𝑒𝑠.
𝐼𝑓 𝑜𝑛𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑒𝑟𝑡𝑦 𝑖𝑠 𝑛𝑜𝑡 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑖𝑒𝑑 𝑡ℎ𝑒𝑛 𝑡ℎ𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑠 𝑛𝑜𝑡 𝑎𝑛 𝑖𝑛𝑛𝑒𝑟 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡.
𝑉𝑒𝑟𝑖𝑓𝑦 𝐼𝑃4 𝑝𝑎𝑟𝑡 𝑏):
𝐿𝑒𝑡 𝑢 = (0, 3, 0)
〈(𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ), (𝑦1 , 𝑦2 , 𝑦3 )〉 = 𝑥1 𝑦1 + 𝑥3 𝑦3
〈𝑢, 𝑢〉 = 〈(0, 3, 0), (0, 3, 0)〉
〈𝑢, 𝑢〉 = 0 × 0 + 0 × 0
〈𝑢, 𝑢〉 = 0 + 0
〈𝑢, 𝑢〉 = 0
𝐵𝑢𝑡 𝑢 = (0, 3, 0) ≠ (0, 0, 0)
𝑢 ≠ (0, 0, 0)
