examen de matemáticas con soluciones

Departamento de Matemática Aplicada
GRADO EN INGENIERÍA GEOLÓGICA.
Matemáticas I.



Control: Complejos. Álgebra. 20 de noviembre de 2020. Soluciones
1 (2 puntos) Resolver las siguientes ecuaciones en C
I:

a) x4 + 1 = 0
√
x4 + 1 = 0 ⇒ x = 4 −1 = reiθ ⇒ 1eπi = r4 ei4θ
 4
r = 1, r=1
4θ = π + 2π · k, θ = π4 + π·k
2
π 3π 5π 7π
Soluciones: x1 = e 4 i x2 = e 4 i x3 = e 4 i x4 = e 4 i

b) z 3 − 2z − 4 = 0

Utilizando la regla de Ruffini, factorizamos:

 z − 2 = 0 ⇒ z1 = 2 
3 2 √
z −2z−4 = 0 ⇒ (z−2)(z +2z+2) = 0 ⇒ −2± 4−8 −2±2i z2 = −1 +
 z 2 + 2z + 2 = 0 ⇒ z = = =
2 2 z3 = −1 −


2 (3 puntos) Hallar la forma diagonal y la base correspondiente, si es posible de la aplicación
lineal correspondiente a la siguiente matriz. En ese caso, escribir matriz de paso y la relación
que se cumple entre estas matrices.
 
−1 1 1
A =  1 −1 1 
1 1 −1

−1 − λ 1 1
Resolvemos la ecuación característica: |A − λI| = 0 ⇒ 1 −1 − λ 1 =0⇒
1 1 −1 − λ
−λ3 − 3λ2 + 4 = 0 ⇒ −(λ − 1)(λ + 2)2 = 0

La matriz A tiene como autovalores 1 y −2, doble. Buscamos una posible base de autovec-
tores:

 λ = 1:
Para     
−2 1 1 a 0  −2a + b + c = 0,
 1 −2 1   b  =  0  ⇒ a − 2b + c = 0, ⇒a=b=c
1 1 −2 c 0 a + b − 2c = 0,

Soluciones: (λ, λ, λ), λ ∈ IR Autovector: ~u1 = (1, 1, 1)

Para λ = −2: