STOCHASTIK
Laplace Experimente -
Zufallsexperiment ,
bei dem jedes Ergebnis die gleiche Wahrscheinlichkeit hat
gehören einem Ereignis E mehrere Ergebnisse so wird die Wahrscheinlichkeit P dieses Ereignisses festgelegt
•
zu ,
als Anzahl der E gehörigen Ergebnisse
:
zu
p E =
Anzahl der möglichen Ergebnisse
Ist
g die Anzahl der dem Ereignis zugehörigen Ergebnisse und n die Anzahl der möglichen Ergebnisse dann schreibt kurz
•
,
man
P E =
G
•
Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist mind 0 und höchstens 1 .
Ereignis aus allen möglichen Ergebnissen dann sicheres Ereignis mit
☐
,
WS von 1
☐
Ereignis hat kein Ergebnis dann unmögliches Ereignis mit
,
WS von 0
•
Beispiel :
15 Schülerinnen und 10 Schüler per Los wird Gewinner gezogen
° WS von Gewinnerin
p f
=
Es =
0,6 ° 60 %
Zufallsexperiment und Wahrscheinlichkeitsverteilung
Alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperimentes bilden die ErgebnisMenges
•
•
durch Wahrscheinlichkeitsverteilung sind die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse festgelegt Dabei gilt .
:
1. Die Wahrscheinlichkeit für ein einzelnes Ergebnis ist größer oder gleich Null
2. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse ergibt 1 oder 100%
Wahrscheinlichlichkeit
Ergebnisses Ergebnis gibt an welche relative Häufigkeit man für das bei vielen
V ersuchs
eines
•
,
wiederholungen etwa erwarten kann in
Häufigkeit erhält man indem man die absolute Häufigkeit durch die Zahl der Versuche dividiert
☐
rel .
,
empirisches Gesetz der großen Zahlen wenn man ein Zufallsexperiment sehr oft durchführt stabilisieren sich
:
•
,
die rd Häufigkeiten für die Ergebnisse
.
Ereignisse und Summenregel
☐
Summen regel :
die Wahrscheinlichkeit PE eines Ereignisses E erhält man , indem man die Wahrscheinlichkeiten der
zugehörigen Ergebnisse addiert
•
alle Ergebnisse die nicht im Ereignis E liegen , ,
bilden das Gegen ereignis E von E ☐
es
gilt :
P E) = 1- PE
•
Beispiel :
in einerTüte Schokolinsen sind 44% blaue , 34 % gelbe und 22% rote Schokolinsen ; es wird eine Linse ohne hin -
zuschauen gezogen ; Wie ist die WS
"
rote Linse , F blaue oder rote Linse
"
groß der Ereignisse E :
„
:
„ ,
keine rote Linse ?
"
G :
„
☐ PE =
22% ; PF = 44 % +22 % =
66% ;
P G =P E =
1 -
P E =
78%
Mehrstufige Zufallsexperimente -
Pfad regel
WS für
Ergebnis erhält indem die
Wahrscheinlichkeiten
•
ein man , man
längs des dazugehörigen Pfades
multipliziert Pfad regel
Wahrscheinlichkeit PE Ereignisses E erhält man eines
•
,
indem man die Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen
Ergebnisse
regel addiert Summen
, Gleichverteilung -
Kombinatorik
alle Ergebnisse eines Zufallsexperimentes gleich wahrscheinlich sind liegt eine Gleichverteilung vor; die
Wahrscheinlichkeit
wenn
☐
,
eines Ereignisses erhält man durch Abzählen von Kombinationen Kombinatorik dabei hilft oft ein
"
☐
„
Baumdiagramm
Fundamental prinzip
Menge 1 mit n, Elementen , Menge 2 mit nz Elementen
☐
Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten der Elemente von Menge 1 und Menge 2 :
R ×
n. . . .
=
Möglichkeiten
Permutationen
☐ Anzahl der Möglichkeiten n Dinge anzuordnen; Auswahl der Objekte erfolgt ohne Zurücklegen und die Reihenfolge
wird berücksichtigt
! " "
n .
n -
1 .
n -
2 .
. . .
.
2 .
1 =
n <
n Fakultät
•
Beachte :
1! =
1 ; O! = 1
Fakultät mit
^
WTR 5 , SHIFT,
-
✗
• :
Ziehen mit Reihenfolge wird berücksichtigt
Zurücklegen -
aus n Elementen wir kk mal ein Element ausgewählt -
☐
Anzahl der Möglichkeiten n n n n nk : . . .
. . .
.
=
mit nummerierten kugeln
'
k mal mit zurücklegen zieht und die Reihenfolge
berücksichtigt
•
wenn man aus einer Urne n -
"
gibt ,
dann es n
mögliche Ergebnisse
☐
wegen der Gleichverteilung ist die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses p
=
Lk
ohne Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge
aus n Elementen werden K Elemente ausgewählt n!
☐
Anzahl der Möglichkeiten :
n -
n -1
.
. . .
'
n -
K -
1 =
n -
k!
1 2 K
Binomialkoeffizient
. . .
Der
aus n Elementen werden k Elemente ausgewählt ; die Auswahl erfolgt ohne Zurücklegen und die Reihenfolge wird
nicht berücksichtigt
n !
☐
Anzahl der Möglichkeiten : =
% <
Binomialkoeffizient
"
n über K
"
n -
K !µ .
n n n n
•
Beachte :
O =
1 ;
Y =
n i
n
=
1
; K =
n -
k °
¥ =
¥-2 =
%
•
Binomialkoeffizient mit WTR ncr :
20 ,
SHIFT ,
÷, 2
Verknüpfen von Ereignissen
•
Zu jedem Ereignis E gibt es ein Gegenereignis E das alle ,
Ergebnisse enthält die nicht zu E gehören Es gilt
,
.
:
P E + PE =
1
Alle Ergebnisse die zugleich in E
,
und in Fliegen bilden
,
die Schnittmenge ENF
•
Alle Ergebnisse die in Eoder ,
in Fliegen , bilden die
VereinigungMenge EUF
Additionssatz
•
für zwei Ereignisse E und Fist
P EUF =P E + P F -
P ENF Es F
Evt
Laplace Experimente -
Zufallsexperiment ,
bei dem jedes Ergebnis die gleiche Wahrscheinlichkeit hat
gehören einem Ereignis E mehrere Ergebnisse so wird die Wahrscheinlichkeit P dieses Ereignisses festgelegt
•
zu ,
als Anzahl der E gehörigen Ergebnisse
:
zu
p E =
Anzahl der möglichen Ergebnisse
Ist
g die Anzahl der dem Ereignis zugehörigen Ergebnisse und n die Anzahl der möglichen Ergebnisse dann schreibt kurz
•
,
man
P E =
G
•
Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist mind 0 und höchstens 1 .
Ereignis aus allen möglichen Ergebnissen dann sicheres Ereignis mit
☐
,
WS von 1
☐
Ereignis hat kein Ergebnis dann unmögliches Ereignis mit
,
WS von 0
•
Beispiel :
15 Schülerinnen und 10 Schüler per Los wird Gewinner gezogen
° WS von Gewinnerin
p f
=
Es =
0,6 ° 60 %
Zufallsexperiment und Wahrscheinlichkeitsverteilung
Alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperimentes bilden die ErgebnisMenges
•
•
durch Wahrscheinlichkeitsverteilung sind die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse festgelegt Dabei gilt .
:
1. Die Wahrscheinlichkeit für ein einzelnes Ergebnis ist größer oder gleich Null
2. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse ergibt 1 oder 100%
Wahrscheinlichlichkeit
Ergebnisses Ergebnis gibt an welche relative Häufigkeit man für das bei vielen
V ersuchs
eines
•
,
wiederholungen etwa erwarten kann in
Häufigkeit erhält man indem man die absolute Häufigkeit durch die Zahl der Versuche dividiert
☐
rel .
,
empirisches Gesetz der großen Zahlen wenn man ein Zufallsexperiment sehr oft durchführt stabilisieren sich
:
•
,
die rd Häufigkeiten für die Ergebnisse
.
Ereignisse und Summenregel
☐
Summen regel :
die Wahrscheinlichkeit PE eines Ereignisses E erhält man , indem man die Wahrscheinlichkeiten der
zugehörigen Ergebnisse addiert
•
alle Ergebnisse die nicht im Ereignis E liegen , ,
bilden das Gegen ereignis E von E ☐
es
gilt :
P E) = 1- PE
•
Beispiel :
in einerTüte Schokolinsen sind 44% blaue , 34 % gelbe und 22% rote Schokolinsen ; es wird eine Linse ohne hin -
zuschauen gezogen ; Wie ist die WS
"
rote Linse , F blaue oder rote Linse
"
groß der Ereignisse E :
„
:
„ ,
keine rote Linse ?
"
G :
„
☐ PE =
22% ; PF = 44 % +22 % =
66% ;
P G =P E =
1 -
P E =
78%
Mehrstufige Zufallsexperimente -
Pfad regel
WS für
Ergebnis erhält indem die
Wahrscheinlichkeiten
•
ein man , man
längs des dazugehörigen Pfades
multipliziert Pfad regel
Wahrscheinlichkeit PE Ereignisses E erhält man eines
•
,
indem man die Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen
Ergebnisse
regel addiert Summen
, Gleichverteilung -
Kombinatorik
alle Ergebnisse eines Zufallsexperimentes gleich wahrscheinlich sind liegt eine Gleichverteilung vor; die
Wahrscheinlichkeit
wenn
☐
,
eines Ereignisses erhält man durch Abzählen von Kombinationen Kombinatorik dabei hilft oft ein
"
☐
„
Baumdiagramm
Fundamental prinzip
Menge 1 mit n, Elementen , Menge 2 mit nz Elementen
☐
Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten der Elemente von Menge 1 und Menge 2 :
R ×
n. . . .
=
Möglichkeiten
Permutationen
☐ Anzahl der Möglichkeiten n Dinge anzuordnen; Auswahl der Objekte erfolgt ohne Zurücklegen und die Reihenfolge
wird berücksichtigt
! " "
n .
n -
1 .
n -
2 .
. . .
.
2 .
1 =
n <
n Fakultät
•
Beachte :
1! =
1 ; O! = 1
Fakultät mit
^
WTR 5 , SHIFT,
-
✗
• :
Ziehen mit Reihenfolge wird berücksichtigt
Zurücklegen -
aus n Elementen wir kk mal ein Element ausgewählt -
☐
Anzahl der Möglichkeiten n n n n nk : . . .
. . .
.
=
mit nummerierten kugeln
'
k mal mit zurücklegen zieht und die Reihenfolge
berücksichtigt
•
wenn man aus einer Urne n -
"
gibt ,
dann es n
mögliche Ergebnisse
☐
wegen der Gleichverteilung ist die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses p
=
Lk
ohne Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge
aus n Elementen werden K Elemente ausgewählt n!
☐
Anzahl der Möglichkeiten :
n -
n -1
.
. . .
'
n -
K -
1 =
n -
k!
1 2 K
Binomialkoeffizient
. . .
Der
aus n Elementen werden k Elemente ausgewählt ; die Auswahl erfolgt ohne Zurücklegen und die Reihenfolge wird
nicht berücksichtigt
n !
☐
Anzahl der Möglichkeiten : =
% <
Binomialkoeffizient
"
n über K
"
n -
K !µ .
n n n n
•
Beachte :
O =
1 ;
Y =
n i
n
=
1
; K =
n -
k °
¥ =
¥-2 =
%
•
Binomialkoeffizient mit WTR ncr :
20 ,
SHIFT ,
÷, 2
Verknüpfen von Ereignissen
•
Zu jedem Ereignis E gibt es ein Gegenereignis E das alle ,
Ergebnisse enthält die nicht zu E gehören Es gilt
,
.
:
P E + PE =
1
Alle Ergebnisse die zugleich in E
,
und in Fliegen bilden
,
die Schnittmenge ENF
•
Alle Ergebnisse die in Eoder ,
in Fliegen , bilden die
VereinigungMenge EUF
Additionssatz
•
für zwei Ereignisse E und Fist
P EUF =P E + P F -
P ENF Es F
Evt
