Maschinendynamik -Aufgaben und Lösungen

Bemerkung: Alle Übungsblätter Quelle: TU Bergakademie Freiberg /Institut für
Mechanik und Fluiddynamik/ Prof. Dr.-Ing. Ams

, Maschinendynamik I-Inhaltsverzeichnis




1. LAGRANGEsche Gleichungen für ebene Scheibensysteme mit mehreren S.3
Freiheitsgraden


2. Ungedämpfte Schwingungssysteme mit endlich vielen Freiheitsgraden S.21


3. Relativmechanik S.33


4. Bewegungsgleichungen des starren Körpers für räumliche Bewegungen S.43
(Kreiseltheorie)




5. Stabilität zeitinvarianter dynamischer Systeme Methode der S.54
ersten Näherung


6. Ersatzsysteme S.69

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Prof. Dr.-Ing. Ams




Maschinendynamik
WS14/15
Übungsblatt 1
Thema: LAGRANGEsche Gleichungen für ebene Scheibensysteme mit mehreren
Freiheitsgraden


Ziel: Aufstellen der Bewegungsgleichungen


LAGRANGEsche Gleichungen



d  L  L E kin = kinetische Energie des Gesamtsystems
    Qk k  1, 2,, n
dt  q k  q k E pot = potentielle Energie des Gesamtsystems

L  E kin  E pot = kinetisches Potential

qk = k-te generalisierte Koordinate
q k = k-te generalisierte Geschwindigkeit


Die Bestimmung der generalisierten Kräfte Qk erfolgt mit Hilfe der virtuellen Arbeit  W , der im

kinetischen Potential L nicht berücksichtigten N potentiallosen Kräfte Fi und der Z potentiallosen

Momente M j entlang ihrer virtuellen Verschiebungen bzw. Verdrehungen:



N   Z n i  1, 2,, N
 W   Fi  ri   M j   j   Qk  qk j  1, 2,, Z
i 1 j 1 k 1
k  1, 2,, n
 i .a. N  n
  ri 
mit  ri    qk und   j   j  qk
k  qk k  qk




Anmerkung: Die n generalisierten Koordinaten q k beschreiben somit den Systemzustand vollständig

und müssen demzufolge voneinander unabhängig sein.




1

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MD 1.1 MD 1.2
Das dargestellte System besteht aus zwei Zahnrädern, zwei baugleichen horizontal Ein im Schwerefeld der Erde schwingendes Doppelpendel besteht aus zwei gelenkig

beweglichen Zahnstangen (Länge 2l, Masse m ) und einer mit der Umgebung fest gelagerten Stangen mit den Längen l1 und l2, den Massen m1 und m 2 sowie den Massen-

verbundenen Zahnstange. Die beweglichen Zahnstangen sind mit einer Feder trägheitsmomenten JS1 und JS 2 . Zwischen der Stange 1 und der festen Umgebung befinden
(Federkonstante c ) und einem geschwindigkeitsproportionalen Dämpfer (Dämpferkonstante sich ein Drehdämpfer b1 und eine Drehfeder c1. Der Drehdämpfer b2 und die Drehfeder c2
b ) miteinander verbunden. Ihre Bewegungen werden mit den Koordinaten uS1 bzw. uS 2 sind zwischen den beiden Stangen befestigt. Für     0 sind die Drehfedern entspannt.
beschrieben. Zahnrad 1 ( r1  r , m1  m ) ist reibungsfrei drehbar gelagert, die Drehbewegung

wird mit dem Winkel  erfasst. Die Bewegung von Zahnrad 2 ( r2  2r , m2  4m ) wird mit
den Koordinaten  und w beschrieben. Zur Berechnung der Massenträgheitsmomente
können beide Zahnräder als Kreisscheiben betrachtet werden. Am Zahnrad 1 greift das

äußere Moment M1 t  an, im Schwerpunkt von Zahnrad 2 wirkt die Kraft F t  . Für

uS1  uS 2      w  0 ist die Feder entspannt.




 
1) Man stelle die Ortsvektoren rS1( ) und rS 2 ( ,  ) zu den Stangenschwerpunkten S1 und

S 2 im ortsfesten x, y – Koordinatensystem auf und berechne die Schwerpunkts-

geschwindigkeiten v S21 und v S2 2 .

2) Man ermittle die kinetische Energie E kin und potentielle Energie E pot des Systems und

gebe die virtuelle Arbeit  W der potentiallosen Kräfte an.
3) Mit den LAGRANGEschen Gleichungen berechne man die Bewegungsgleichungen in den
1) Man bestimme die kinematischen Beziehungen uS1( ) , uS 2   und w   .
Koordinaten  und  .
2) Man gebe für die gezeichnete allgemeine Lage des Systems die kinetische Energie
4) Mit Hilfe eines Computeralgebrasystems berechne man für die Parameter
E kin , die potentielle Energie E pot und die virtuelle Arbeit  W der potentiallosen
N
m1  100 kg , m2  10 kg , l1  1m , l 2  2m , J1  5kg m 2 , J 2  2kg m 2 , c1  15 ,
Kräfte in Abhängigkeit von ,  ,,  , ,  an. m

und für die Anfangsbedingungen  t  0   0,2 rad ,
3) Man berechne mit Hilfe der LAGRANGEschen Gleichungen die beiden N Ns Ns
c2  3 , b1  0,1 , b2  1
m m m
Bewegungsgleichungen in den Koordinaten  und  .
 t  0   0,4 rad ,  t  0    t  0   0 die Zeitlösungen  t  und  t  des
nichtlinearen Differentialgleichungssystems und stelle diese grafisch dar.

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