Fysica miv wiskunde: wiskunde – RIJEN EN REEKSEN
Rij
Een rij van reëele getallen is een functie waarvan het domein de verzameling is van de
positieve, gehele getallen. De functiewaarden worden termen genoemd. Notatie: { an }
Vb: { an } = {n+n 1 } = ½ , 23 , ¾ , …
Reeks
∞
Als { an } een rij is, dan wordt de oneindige som ∑ aneen reeks genoemd.
0
Convergentie Divergentie
Als de som van de k eerste termen steeds Een reeks is divergent als de som van
dichter nadert tot een getal S als men k laat oneindig veel k nadert naar oneindig.
toenemen.
Machtreeks van Maclaurin
∞
Machtreeks is oneindige reeks: ∑ an x = a0 + a1x + a2x2 … anxn
n
n=0
∞
deze reeks is in functie van x: ∑ an x = f(x)
n
n=0
Elke functie f(x) kan als machtreeks geschreven worden op voorwaarde dat die convergeert.
f(x) = a0 + a1x + a2x2 … anxn
Bepaling van coëfficiënten
1 (n)
Algemeen: an = f (0)
n!
1 1
Zodat f(x) = f(0) + f’(0) + f’’(0)x2 + … + f(n)(0)xn
2! n!
f(x) en alle f(n)(x) moeten eindig zijn in x = 0
hoe meer termen je neemt, hoe ruimer dat de functies gelijk zijn
1e orde ontwikkeling : bepaling van coëfficiënten tot 1e afgeleide
3 5 7
x x x
Vb: sin(x) = x - + - +…
3! 5! 7 !
~
f(x) = tanx f ( x) = x
Machtreeks van taylor
Als f(x) bij x=d een afgeleide heeft voor elke orde n dan;
f(x) = f(d) + (x-d)f’(d) + ¿ ¿f’’(d) + … + ¿ ¿f(n)(d)
∞
f(x) = ∑ ¿ ¿¿ f(n)(d)
n=0
Rijen en reeksen - 1
Rij
Een rij van reëele getallen is een functie waarvan het domein de verzameling is van de
positieve, gehele getallen. De functiewaarden worden termen genoemd. Notatie: { an }
Vb: { an } = {n+n 1 } = ½ , 23 , ¾ , …
Reeks
∞
Als { an } een rij is, dan wordt de oneindige som ∑ aneen reeks genoemd.
0
Convergentie Divergentie
Als de som van de k eerste termen steeds Een reeks is divergent als de som van
dichter nadert tot een getal S als men k laat oneindig veel k nadert naar oneindig.
toenemen.
Machtreeks van Maclaurin
∞
Machtreeks is oneindige reeks: ∑ an x = a0 + a1x + a2x2 … anxn
n
n=0
∞
deze reeks is in functie van x: ∑ an x = f(x)
n
n=0
Elke functie f(x) kan als machtreeks geschreven worden op voorwaarde dat die convergeert.
f(x) = a0 + a1x + a2x2 … anxn
Bepaling van coëfficiënten
1 (n)
Algemeen: an = f (0)
n!
1 1
Zodat f(x) = f(0) + f’(0) + f’’(0)x2 + … + f(n)(0)xn
2! n!
f(x) en alle f(n)(x) moeten eindig zijn in x = 0
hoe meer termen je neemt, hoe ruimer dat de functies gelijk zijn
1e orde ontwikkeling : bepaling van coëfficiënten tot 1e afgeleide
3 5 7
x x x
Vb: sin(x) = x - + - +…
3! 5! 7 !
~
f(x) = tanx f ( x) = x
Machtreeks van taylor
Als f(x) bij x=d een afgeleide heeft voor elke orde n dan;
f(x) = f(d) + (x-d)f’(d) + ¿ ¿f’’(d) + … + ¿ ¿f(n)(d)
∞
f(x) = ∑ ¿ ¿¿ f(n)(d)
n=0
Rijen en reeksen - 1
