Samenvatting notes Lebesgue measure and integral

Analyse samenvatting notes Lebesgue Measure and Integral
(Wadim Zudilin)

Daniëlle Kruger
January 11, 2022


Contents
1 Lebesgue measure 1

2 Measurable functions 3

3 Lebesgue integral 4


1 Lebesgue measure
Qd Qd
Voor een reguliere open (B = i=1 (ai , bi )) of gesloten box (B = i=1 [ai , bi ]) hebben we een notie van
Qd
volume: i=1 (bi − ai ). Maar niet in alle verzamelingen kunnen we meten. Wat weten we over meetbare
verzamelingen?
1. Borel eigenschap: elke open verzameling in Rd is meetbaar net als elke gesloten verzameling
2. Complementen: als Ω ∈ Rd meetbaar is, dan is Rd \Ω ook meetbaar
3. Booleaanse algebra eigenschap: voor een eindige collectie {Ωi }i=1,...,n van meetbare verzamel-
ing, zijn de vereniging ∪ni=1 Ωi en de doorsnede ∩ni=1 Ωi ook meetbaar
4. σ-algebra eigenschap: voor een (oneindige) aftelbare collectie {Ωi }i∈I van meetbare verzamelin-
gen, zijn de vereniging ∪i∈I Ωi en de doorsnede ∩i∈I Ωi ook meetbaar
De Lebesgue maat µ is gedefinieerd op meetbare verzamelingen in Rd en heeft de volgende eigenschap-
pen:
5. Lege verzameling eigenschap: µ(∅) = 0
6. Positiviteit: µ ≥ 0
7. Monotoniciteit: als Ω1 , Ω2 meetbaar zijn, en Ω1 ⊂ Ω2 , dan µ(Ω1 ) ≤ µ(Ω2 )
8. Eindige deelsom:
Pn voor een eindige collectie {Ωi }i=1,...,n van meetbare verzamelingen geldt
µ(∪ni=1 Ωi ) ≤ i=1 µ(Ωi )
9. Eindige som: Pnvoor een eindige collectie {Ωi }i=1,...,n van disjuncte meetbare verzamelingen geldt
µ(∪ni=1 Ωi ) = i=1 µ(Ωi )
10. Aftelbare
P deelsom: voor een aftelbare collectie {Ωi }i∈I van meetbare verzamelingen geldt µ(∪i∈I Ωi ) ≤
i∈I µ(Ω i )

P voor een aftelbare collectie {Ωi }i∈I van disjuncte meetbare verzamelingen geldt
11. Aftelbare som:
µ(∪i∈I Ωi ) = i∈I µ(Ωi )

12. Normalisatie: de eenheids(hyper)kubus [0, 1]d heeft maat µ([0, 1]d ) = 1
13. Translatie-invariant: als Ω ∈ Rd meetbaar is en x ∈ Rd , dan is x + Ω = {x + y : y ∈ Ω} ook
meetbaar en µ(x + Ω) = µ(Ω)


1

, Stelling 7.1: er bestaat een concept van meetbare verzamelingen in Rd en een manier om µ(Ω) = µd (Ω)
toe te wijzen aan elke meetbare verzameling Ω ⊂ Rd zodat aan alle eigenschappen hierboven (1 t/m 13)
is voldaan.
Exercise
S∞ 7.2: a als Ω1 ⊂ Ω2 ⊂ Ω3 ⊂ · · · een stijgende rij van meetbare verzamelingen is, dan geldt
µ( n=1 Ωn ) = limn→∞ µ(Ωn ); bT als Ω1 ⊃ Ω2 ⊃ Ω3 ⊃ · · · een dalende rij van meetbare verzamelingen
∞
is, en µ(Ω1 ) < +∞ dan geldt µ( n=1 Ωn ) = limn→∞ µ(Ωn ).

Een collectie {Bi }i∈I van open boxen overdekt een gegeven verzameling Ω ∈ Rd als Ω ⊂ i∈I Bi . De
S
d
buitenmaat/outer measure
∗ ∗
P van een verzameling Ω ⊂ R (niet noodzakelijk meetbaar!) definiëren
we als: µ (Ω) = µd (Ω) = inf{ i∈I vold (Bi ) : {Bi }i∈I overdekt Ω, I is op zijn hoogst aftelbaar}. Volgens
lemma 7.1 voldoet de buitenmaat aan eigenschappen 5 t/m 8, 10 en 13.

Exercise 7.3: zij Ω ⊂ Rd en Θ ⊂ Rm , en Ω × Θ = {(ω, θ) : ω ∈ Ω, θ ∈ Θ} in Rd+m . Dan geldt
µ∗d+m (Ω × Θ) ≤ µ∗d (Ω)µdm (Θ) als het product niet van de vorm 0 · (+∞) of (+∞) · 0 is.
Qd
Lemma 7.2: de buitenmaat van een gesloten box B = j=1 [aj , bj ] is gelijk aan het volume.
Qd
Lemma 7.3: de buitenmaat van een open box B = j=1 (bj − aj ) is gelijk aan zijn volume. In het
bijzonder voldoet het aan de normalisatie-eigenschap.
Exercise 7.4: µ∗d (Rd ) = +∞ voor elke d ≥ 1.
Exercise 7.5: zij f : U → R een continue reëelwaardige functie gedefinieerd over een box U in Rd−1 en
zij Ω = {(x, f (x)) : x ∈ U } ⊂ Rd de grafiek. Dan geldt µ∗d (ω) = 0.
Lemma 7.4: de buitenmaat van een verzameling Q van reële rationele nummers is gelijk aan 0.
Lemma 7.5: de buitenmaat van de verzameling R\Q van reële rationele nummers is gelijk aan +∞.
Exercise 7.6: µ∗ (Q ∩ [0, 1]) = 0 en µ∗ ((R\Q) ∩ [−, 1]) = 1.
Lemma 7.6 (gebrek aan aftelbare som): er bestaat een aftelbare collectie {Ωi }i∈I van disjuncte
verzamelingen in R zodat µ∗ ( i∈I Ωi ) 6= i∈I µ∗ (Ωi ).
S P
Lemma 7.7 (gebrek aan eindige Tn Pn er bestaat een eindige collectie {Ωi }i=1,...,n van disjuncte
som):
verzamelingen in R zodat µ∗ ( i=1 Ωi ) 6= i=1 µ∗ (Ωi ).

Een verzameling Ω ⊂ Rd is (Lebesgue) meetbaar als de gelijkheid µ∗ (X) = µ∗ (X ∩Ω)+µ∗ (X\Ω) geldt
voor elke verzameling X in Rd . De Lebesgue maat van een meetbare verzameling Ω is µ(Ω) = µ∗ (Ω),
zijn buitenmaat.

Exercise 7.7: a zij X een open interval in R, dan geldt µ∗ (X) = µ∗ (X ∩ (0, ∞)) + µ∗ (X\(0, ∞));
b zij X een open box in Rd en zij Ω = {(x1 , . . . , xd ) ∈ Rd : xn > 0} de halve ruimte. Dan geldt
µ∗ (X) = µ∗ (X ∩ Ω) + µ∗ (X\Ω); c Ω is dus een meetbare verzameling in Rd . (dit geldt ook voor andere
halfruimtes)
Lemma 7.8 (eigenschappen van meetbare verzamelingen): zij Ω, Ω1 en Ω2 meetbare verzamelin-
gen, en zij x ∈ Rd . Dan:
a C(Ω) = Rd \Ω is meetbaar;
b (translatie invariantie) x + Ω is meetbaar en er geldt µ(x + Ω) = µ(Ω);
c Ω1 ∪ Ω2 en Ω1 ∩ Ω2 zijn meetbaar;
d (Booleaanse algebra eigenschap) Ω1 ∪ Ω2 ∪ · · · ∪ Ωm en Ω1 ∩ Ω2 ∩ · · · ∩ Ωm zijn meetbaar;
e elke open box en elke gesloten box is meetbaar.
Exercise 7.8: zij aX ∈ [0, 1] zodat X = aX + Q, en zijn A = {aX : X ∈ R\Q}. Dan is A niet meetbaar.
Lemma 7.9 (eindige som): voor een collectie Ω1 . . . , Ωn van paarsgewijs
Sn disjuncte
Pn meetbare verza-
∗ ∗
melingenSin Rd en voor elke verzameling X ∈ Ω hebben we µ (X ∩ Ω
i=1 ) i) = i=1 µ (X ∩ Ωi ). Verder
n Pn
geldt µ( i=1 Ωi ) = i=1 µ(Ωi ).
Lemma 7.10: als Ω1 ⊂ Ω2 twee meetbare verzamelingen zijn met µ(Ω1 ) eindig, dan is Ω2 \Ω1 ook
meetbaar en geldt µ(Ω2 \Ω1 ) = µ(Ω2 ) − µ(Ω1 ).
Lemma 7.11 (aftelbare som): zij {Ωi }i∈I een S aftelbare collectie van paarsgewijs disjuncte
P meetbare
verzamelingen in Rd . Dan is de verzameling Ω = i∈I Ωi meetbaar en geldt µ( i∈I Ωi ) = i∈I µ(Ωi ).
S
Lemma 7.12 (σ-algebra eigenschap): zij {Ωi }i∈I een aftelbare collectie van meetbare verzamelingen
in Rd . Dan zijn hun vereniging i∈I Ωi en hun doorsnede i∈I Ωi ook meetbaar.
S T

Lemma 7.13: elke open verzameling in Rd kan worden geschreven als een aftelbare of eindige vereniging
van open boxen.
Lemma 7.14 (Borel eigenschap): elke open verzameling en elke gesloten verzameling is Lebesgue
meetbaar.



2