TN2625 SAMENVATTING
Statistical Physics
for the minor
TN2625
Samenvatting
Pagina 1 van 17
, TN2625 SAMENVATTING
Statistische mechanica
Statistische mechanica is de brug tussen de microscopische en macroscopische wereld.
De statistische mechanica verklaart de thermodynamische wetten vanuit het gedrag van
grote hoeveelheden moleculen m.b.v. statistiek. In de statistische mechanica worden
vaak interacties tussen de moleculen verwaarloosd.
Thermodynamische systemen
Geïsoleerd systeem Geen massa-uitwisseling en energie-uitwisseling
Gesloten systeem Geen massa-uitwisseling, wel energie-uitwisseling
Open systeem Zowel massa-uitwisseling als energie-uitwisseling
Basis in statistiek
Een microstaat is een staat waarin elk los onderdeel van het systeem zich kan bevinden
(kop of munt, energieniveaus, etc.). De kans hierop is:
1
Kans op een microstaat = . De fundamentele aanname van de
# mogelijke microstaten
statistische mechanica is dat alle microstaten even plausibel zijn.
De macrostaat is een eigenschap van het totale systeem (aantal koppen, energie, etc.).
Een macrostaat kan vaak op meerdere manieren uit microstaten gegenereerd worden. Dit
Ω(n)
aantal heet de multipliciteit ( Ω ). De kans op een macrostaat is: Pn = .
Ω ( all )
⎛ N ⎞ n
Voor identieke systemen luidt de binomale verdeling: Pr ( n ) = ⎜ p (1− p )
N −n
⎟ met
⎝ n ⎠
⎛ N ⎞ N!
Ω=⎜ ⎟ = om n bepaalde staten te krijgen bij N objecten met p de kans op
⎝ n ⎠ n!( N − n )!
staat n .
Uit de binomale distributie volgt dat de grootste kans is op de positie in het midden. De
breedte van de distributie neemt toe absoluut toe als het aantal objecten toeneemt maar
σ 1
relatief af t.o.v. het aantal objecten, ∝ .
N N
Two state paramagnet
Dit systeem bestaat uit N magnetische dipolen die omhoog ( N ↑ ) of omlaag ( N ↓ ) wijzen.
⎛ N ⎞
(
De macrostaat wordt gegeven door: M = N ↑ − N ↓ met als multipliciteit Ω N, N ↑ = ⎜ ) ⎟.
⎝ N↑ ⎠
Het aantal microstaten komt al snel in de buurt van het getal van Avogadro waardoor dit
niet exact is op te lossen (zelfs niet met supercomputers).
Stirlings benadering
Stirlings benadering is een manier om een faculteit te benaderen en wordt accuraat
gegeven door: N! ≈ N N e− N 2π N voor N > 100 . Voor nog grotere getallen geldt dat:
ln ( N!) ≈ N ln ( N ) − N + ln ( 2π N ) / 2 ≈ N ln ( N ) − N .
Pagina 2 van 17
, TN2625 SAMENVATTING
N!
We definiëren: ∂N = N ↑ − N / 2 = M / 2 zodat in Ω ( N,∂N ) = de
⎛N ⎞ ⎛N ⎞
⎜⎝ + ∂N ⎟⎠ !⎜⎝ − ∂N ⎟⎠ !
2 2
x2
taylorbenadering ln (1+ x ) ≈ x − gebruikt kan worden. Hieruit volgt:
2
2 N +1 −2( ∂ N )2 /N
Ω ( N,∂N ) ≈ = Ω ( N,0 ) e−2( ∂ N ) /N wat een Gaussische distributie is.
2
e
2π N
Vrijheidsgraden
Echte wereld: 6 (3 translatie en 3 rotatie)
Mono-atomisch gas: 3 (enkel translatie)
Diatomisch gas: 5 (3 translatie en 2 rotatie, immers symmetrie in binding)
Vaste stof: 3 (trillingen in translatierichtingen)
Einstein model van een vaste stof
Dulong-Petit beschreef dat bij hoge temperaturen geldt: CV = 3NkB . Bij lage temperaturen
gaat de warmtecapaciteit echter naar 0. Einstein beschreef dit kwantummechanisch door
een vaste stof voor te stellen als 3 harmonische oscillatoren (in elke richting 1) waarin
energiequanta liggen opgeslagen. Deze energiequanta hebben energie: U = qhf = qε . Elke
harmonische oscillator heeft 2 vrijheidsgraden (potentiële en kinetische energie).
In het Einstein model is er ook sprake van multipliciteit omdat de totale energie vrij
verdeeld mag worden over de 3 oscillatoren. Het totaal aantal combinaties met q kwanta
⎛ q + N − 1 ⎞ ( q + N − 1)!
is q + N − 1 . Dit levert op voor de binomale distributie: Ω ( N,q ) = ⎜ ⎟=
⎝ q ⎠ q!( N − 1)!
Grote getallen
Om materialen te kunnen beschrijven werken we met grote getallen waardoor er
benaderingen nodig zijn.
⎛ q + N − 1 ⎞ ( q + N − 1)! ( q + N )! N
Ω ( N,q ) = ⎜ ⎟= = voor N >> 1
⎝ q ⎠ q!( N − 1)! q!N! N + q
Vanuit Stirlings benadering volgt:
⎛ ⎛ q ⎞⎞ ⎛ q⎞
ln ( N + q ) = ln ⎜ N ⎜ 1+ ⎟ ⎟ = ln ( N ) + ln ⎜ 1+ ⎟ of
⎝ ⎝ N ⎠⎠ ⎝ N⎠
⎛ ⎛ N ⎞⎞ ⎛ N⎞
ln ( N + q ) = ln ⎜ q ⎜ 1+ ⎟ ⎟ = ln ( q ) + ln ⎜ 1+ ⎟
⎝ ⎝ q ⎠⎠ ⎝ q⎠
Nu moet gekozen worden voor N >> q (bij lage temperaturen) of q >> N (hoge
temperaturen).
Stel: q >> N dan volgt: ln ( ΩHT ) ≈ N + N ln ( q ) − N ln ( N ) + termen veel kleiner dan N dus
N
N +N ln( q )−N ln( N ) ⎛ qe ⎞
ΩHT = e =⎜ ⎟
⎝N⎠
N
⎛ Ne ⎞
Stel N >> q dan volgt: ΩLT = ⎜ ⎟
⎝ q ⎠
Pagina 3 van 17
Statistical Physics
for the minor
TN2625
Samenvatting
Pagina 1 van 17
, TN2625 SAMENVATTING
Statistische mechanica
Statistische mechanica is de brug tussen de microscopische en macroscopische wereld.
De statistische mechanica verklaart de thermodynamische wetten vanuit het gedrag van
grote hoeveelheden moleculen m.b.v. statistiek. In de statistische mechanica worden
vaak interacties tussen de moleculen verwaarloosd.
Thermodynamische systemen
Geïsoleerd systeem Geen massa-uitwisseling en energie-uitwisseling
Gesloten systeem Geen massa-uitwisseling, wel energie-uitwisseling
Open systeem Zowel massa-uitwisseling als energie-uitwisseling
Basis in statistiek
Een microstaat is een staat waarin elk los onderdeel van het systeem zich kan bevinden
(kop of munt, energieniveaus, etc.). De kans hierop is:
1
Kans op een microstaat = . De fundamentele aanname van de
# mogelijke microstaten
statistische mechanica is dat alle microstaten even plausibel zijn.
De macrostaat is een eigenschap van het totale systeem (aantal koppen, energie, etc.).
Een macrostaat kan vaak op meerdere manieren uit microstaten gegenereerd worden. Dit
Ω(n)
aantal heet de multipliciteit ( Ω ). De kans op een macrostaat is: Pn = .
Ω ( all )
⎛ N ⎞ n
Voor identieke systemen luidt de binomale verdeling: Pr ( n ) = ⎜ p (1− p )
N −n
⎟ met
⎝ n ⎠
⎛ N ⎞ N!
Ω=⎜ ⎟ = om n bepaalde staten te krijgen bij N objecten met p de kans op
⎝ n ⎠ n!( N − n )!
staat n .
Uit de binomale distributie volgt dat de grootste kans is op de positie in het midden. De
breedte van de distributie neemt toe absoluut toe als het aantal objecten toeneemt maar
σ 1
relatief af t.o.v. het aantal objecten, ∝ .
N N
Two state paramagnet
Dit systeem bestaat uit N magnetische dipolen die omhoog ( N ↑ ) of omlaag ( N ↓ ) wijzen.
⎛ N ⎞
(
De macrostaat wordt gegeven door: M = N ↑ − N ↓ met als multipliciteit Ω N, N ↑ = ⎜ ) ⎟.
⎝ N↑ ⎠
Het aantal microstaten komt al snel in de buurt van het getal van Avogadro waardoor dit
niet exact is op te lossen (zelfs niet met supercomputers).
Stirlings benadering
Stirlings benadering is een manier om een faculteit te benaderen en wordt accuraat
gegeven door: N! ≈ N N e− N 2π N voor N > 100 . Voor nog grotere getallen geldt dat:
ln ( N!) ≈ N ln ( N ) − N + ln ( 2π N ) / 2 ≈ N ln ( N ) − N .
Pagina 2 van 17
, TN2625 SAMENVATTING
N!
We definiëren: ∂N = N ↑ − N / 2 = M / 2 zodat in Ω ( N,∂N ) = de
⎛N ⎞ ⎛N ⎞
⎜⎝ + ∂N ⎟⎠ !⎜⎝ − ∂N ⎟⎠ !
2 2
x2
taylorbenadering ln (1+ x ) ≈ x − gebruikt kan worden. Hieruit volgt:
2
2 N +1 −2( ∂ N )2 /N
Ω ( N,∂N ) ≈ = Ω ( N,0 ) e−2( ∂ N ) /N wat een Gaussische distributie is.
2
e
2π N
Vrijheidsgraden
Echte wereld: 6 (3 translatie en 3 rotatie)
Mono-atomisch gas: 3 (enkel translatie)
Diatomisch gas: 5 (3 translatie en 2 rotatie, immers symmetrie in binding)
Vaste stof: 3 (trillingen in translatierichtingen)
Einstein model van een vaste stof
Dulong-Petit beschreef dat bij hoge temperaturen geldt: CV = 3NkB . Bij lage temperaturen
gaat de warmtecapaciteit echter naar 0. Einstein beschreef dit kwantummechanisch door
een vaste stof voor te stellen als 3 harmonische oscillatoren (in elke richting 1) waarin
energiequanta liggen opgeslagen. Deze energiequanta hebben energie: U = qhf = qε . Elke
harmonische oscillator heeft 2 vrijheidsgraden (potentiële en kinetische energie).
In het Einstein model is er ook sprake van multipliciteit omdat de totale energie vrij
verdeeld mag worden over de 3 oscillatoren. Het totaal aantal combinaties met q kwanta
⎛ q + N − 1 ⎞ ( q + N − 1)!
is q + N − 1 . Dit levert op voor de binomale distributie: Ω ( N,q ) = ⎜ ⎟=
⎝ q ⎠ q!( N − 1)!
Grote getallen
Om materialen te kunnen beschrijven werken we met grote getallen waardoor er
benaderingen nodig zijn.
⎛ q + N − 1 ⎞ ( q + N − 1)! ( q + N )! N
Ω ( N,q ) = ⎜ ⎟= = voor N >> 1
⎝ q ⎠ q!( N − 1)! q!N! N + q
Vanuit Stirlings benadering volgt:
⎛ ⎛ q ⎞⎞ ⎛ q⎞
ln ( N + q ) = ln ⎜ N ⎜ 1+ ⎟ ⎟ = ln ( N ) + ln ⎜ 1+ ⎟ of
⎝ ⎝ N ⎠⎠ ⎝ N⎠
⎛ ⎛ N ⎞⎞ ⎛ N⎞
ln ( N + q ) = ln ⎜ q ⎜ 1+ ⎟ ⎟ = ln ( q ) + ln ⎜ 1+ ⎟
⎝ ⎝ q ⎠⎠ ⎝ q⎠
Nu moet gekozen worden voor N >> q (bij lage temperaturen) of q >> N (hoge
temperaturen).
Stel: q >> N dan volgt: ln ( ΩHT ) ≈ N + N ln ( q ) − N ln ( N ) + termen veel kleiner dan N dus
N
N +N ln( q )−N ln( N ) ⎛ qe ⎞
ΩHT = e =⎜ ⎟
⎝N⎠
N
⎛ Ne ⎞
Stel N >> q dan volgt: ΩLT = ⎜ ⎟
⎝ q ⎠
Pagina 3 van 17
