REKENEN- WISKUNDE
SAMENVATTING VAN HET BOEK VERHOUDINGEN , P ROCENTEN, BREUKEN EN KOMMAGETALLEN
HOOFDSTUK 1 SAMENHANG VERHOUDINGEN , PROCENTEN , BREUKEN EN KOMMAGETALLEN – 11 T/M 22 – 11 BLADZIJDES
Paragraaf 1.1: Overeenkomsten en verschillen
De domeinen verhouding, gebroken getallen en procenten hebben iets overkoepelend. Kommagetallen =
decimale breuken, breuken & procenten = een verhouding. Breuk geeft de verhouding tussen een deel en een
geheel. Een percentage geeft de verhouding aan tussen een deel en een geheel. Elk domein heeft een eigen
verschijningsvorm ook wel notatie. Verhoudingen, breuken en procenten worden gebruikt om getalsmatige
informatie weer te geven.
Absolute gegevens: Getallen die naar hoeveelheden of aantallen verwijzen.
Relatieve gegevens: Verhoudingsmatige gegevens die niet direct het getal of aantal aangeeft. (1 op de 4
pabostudenten is man, je ziet niet echte aantallen staan).
Met een strookmodel kun je goed de relatieve & absolute gegevens weergeven.
Paragraaf 1.2: Onderlinge relaties
Vanaf groep 7 komen de domeinen door elkaar aan bod. Overeenkomst tussen breuken en kommagetallen:
Het zijn allebei gebroken getallen. Je komt ze allebei tegen als meetgetallen. Verschil: Notatie is verschillend.
Kommagetallen lijken op hele getallen. Breuken komen vaker voor als deel van een geheel en deel van een
hoeveelheid, kommagetallen bijna nooit.
Breuken, hele getallen en kommagetallen zijn allemaal rationale getallen. Een repeterend breuk is een breuk
die achter de komma een herhalende rij met decimalen heeft. Zoals de breuk 1/7 = 0,142857142857…. Het
gedeelte dat herhaalt = het repentendum. Om er achter te komen hoe de breuk 1/7 wordt geschreven doe je
het volgende:
Hoe vaak past 7 in 1? = 0, 1 over.
Hoe vaak past 7 in 10? = 1, 3 over.
Hoe vaak past 7 in 30? = 4, 2 over.
Hoe vaak past 7 in 20? = 2, 6 over.
Hoe vaak past 7 in 60? = 8, 4 over.
Hoe vaak past 7 in 40? = 5, 5 over.
Hoe vaak past 7 in 50? = 7, 1 over.
Dit maakt: 0,142857
Een breuk kan een absoluut getal (precies getal) of een operator zijn. Een operator doet iets met een getal,
hoeveelheid of prijs. De bewerker van een breuk. Een percentage geeft altijd een relatief gegeven aan en is
altijd een operator (procent = altijd deel van een geheel).
Parate feitenkennis moet beschikbaar zijn. Dit is declaratieve kennis. Eerst werk je nog modelondersteunend
(met een cirkelmodel, strookmodel of getallenlijn), daarna ga je over op het formele niveau.
HOOFDSTUK 2 VERHOUDINGEN – 25 T/M 62 – 37 BLADZIJDES
, Paragraaf 2.1: Evenredige verbanden
Een verhouding is een recht evenredig verband tussen twee of meer getalsmatige of meetkundige
beschrijvingen. Een evenredig verband betekent dat als het ene getal zoveel keer zo groot (of klein) wordt, dat
het andere getal ook zoveel keer zo groot (of klein) wordt. Wat is in verhouding het goedkoopst? Je kijkt niet
naar de absolute prijs, maar naar de prijs per eenheid. Een prijs stijgt naar verhouding, ook wel naar rato. Veel
verhoudingen hebben met grootheden te maken. Verschijningsvormen van verhoudingen zijn: snelheid,
bevolkingsdichtheid en in een recept.
Verschijningsvormen als snelheid en dichtheid zijn samengestelde grootheden. Snelheid is km/u of
m/s. Schaal is ook een verhouding. Een schaal geeft de verhouding aan tussen de weergave van iets en de
werkelijke grootte ervan. Een verhouding kan ook als percentage of breuk weergegeven worden. Een
percentage is een gestandaardiseerde verhouding: het totaal is op 100 gesteld. Een niet-gestandaardiseerde
verhouding, kan het totaal alles zijn. Wanverhoudingen worden gebruikt om op te vallen en aandacht te
trekken, zoals in reclames.
Kwantitatieve verhoudingen: de verhouding wordt uitgedrukt in een of meer getallen. Kwalitatieve
verhoudingen: Er komt geen getal aan te pas, maar woorden worden gebruikt. Een kwalitatieve verhouding is
vaak meetkundig en een meetkundige verhouding is altijd kwalitatief.
Er wordt van een interne verhouding gesproken als een verhouding één grootheid of eenheid betreft. Bij een
externe verhouding gaat het om twee verschillende grootheden of eenheden.
Er zijn twee soorten delen:
1. Verhoudingsdeling: Deeltal en deler gaat om hetzelfde. Bijv. er zijn 12 snoepjes, hoeveel groepjes van
4 snoepjes kan ik maken. Dan gaat het om 12 snoepjes : 3 snoepjes.
2. Verdelingsdeling: Deeltal en deler is verschillend. Er zijn 12 snoepjes en 3 kinderen. Hoeveel snoepjes
krijgt ieder kind? 12 snoepjes : 3 kinderen.
Er kan van een lineair verband gesproken worden, als er een verband is tussen twee grootheden (elk grootheid
op één as) en de rechte lijn door de oorsprong gaat. Het is dan een evenredig verband ofwel een verhouding.
Wanneer de lijn boven / beneden de oorsprong begint gaat het wel om een lineair verband, maar niet om een
verhouding.
Een voorbeeld van een niet-evenredig verband is bij de verbanden tussen lengte, oppervlakte en
inhoud. Als iets keer zo groot wordt, verdubbelt de lengte. De oppervlakte wordt in twee richtingen verdubbeld
(lengte en breedte). De oppervlakte wordt dus vier keer zo groot. De inhoud wordt in 3 richtingen verdubbeld
(lengte, diepte en hoogte) en wordt dus acht keer zo groot.
De omtrek en de diameter van cirkels hebben een vaste verhouding. De omtrek van een cirkel : de
diameter = altijd hetzelfde getal. Het verhoudingsgetal dat hierbij hoort 22/7, ook wel pi.
Paragraaf 2.2: Verhoudingen op de basisschool
Bij meten en meetkunde gaat het vaak om verhoudingen. Bij de kleuters wordt er al begonnen met
verhoudingen. In dit geval met kwalitatieve verhoudingen: zichtbare verschillen in grootte, afstand en
dergelijke, waar nog geen getal aan te pas hoeft te komen. Vanaf groep 3 wordt er een getal aan een
verhouding toegekend. Er wordt gekwantificeerd. Ook komen er meer kwantitatieve verhoudingen ofwel
getalsmatige verhoudingen om mee te rekenen. In groep 4 komen er vragen over het eerlijk verdelen, deze
sommen worden opgelost door te vermenigvuldigen. Ook worden de tafels geleerd. Rondom een som wordt
nog wel een context gebruikt, het is nog geen formele som.
Veel gebruikte modellen bij verhoudingen:
De dubbele getallenlijn: Getallen ordenen en positioneren. Het verband tussen twee zaken wordt
zichtbaar, er komen twee grootheden aan te pas. Bijvoorbeeld boven kilometers en onder de uren. De
dubbele getallenlijn is een denkmodel. Wat bij de ene grootheid gebeurt, gebeurt ook bij de andere
grootheid. Het is dus evenredig.
De verhoudingstabel: Vrij abstract. Bij elkaar horende getallenparen zijn bij elkaar. De open vakjes zijn
uit te rekenen door te verdubbelen of te halveren. De getallen worden op volgorde van grootte
geplaatst of de getallen worden zo geplaatst dat bepaalde strategieën of rekenstappen uitgelokt
worden, zodat niet alleen het verdubbelen, maar ook het halveren aan bod komt. Ook hierbij is het
wat met de ene grootheid gebeurt, gebeurt ook met de andere grootheid. Het is dus evenredig. In een
verhoudingstabel kan er gebruik gemaakt worden van kruiselings vermenigvuldigen.
Een verhouding is een recht evenredig verband. In een grafiek is het een rechte lijn die door de oorsprong gaat.
HOOFDSTUK 3 PROCENTEN – 65 T /M 96 – 33 BLADZIJDES
SAMENVATTING VAN HET BOEK VERHOUDINGEN , P ROCENTEN, BREUKEN EN KOMMAGETALLEN
HOOFDSTUK 1 SAMENHANG VERHOUDINGEN , PROCENTEN , BREUKEN EN KOMMAGETALLEN – 11 T/M 22 – 11 BLADZIJDES
Paragraaf 1.1: Overeenkomsten en verschillen
De domeinen verhouding, gebroken getallen en procenten hebben iets overkoepelend. Kommagetallen =
decimale breuken, breuken & procenten = een verhouding. Breuk geeft de verhouding tussen een deel en een
geheel. Een percentage geeft de verhouding aan tussen een deel en een geheel. Elk domein heeft een eigen
verschijningsvorm ook wel notatie. Verhoudingen, breuken en procenten worden gebruikt om getalsmatige
informatie weer te geven.
Absolute gegevens: Getallen die naar hoeveelheden of aantallen verwijzen.
Relatieve gegevens: Verhoudingsmatige gegevens die niet direct het getal of aantal aangeeft. (1 op de 4
pabostudenten is man, je ziet niet echte aantallen staan).
Met een strookmodel kun je goed de relatieve & absolute gegevens weergeven.
Paragraaf 1.2: Onderlinge relaties
Vanaf groep 7 komen de domeinen door elkaar aan bod. Overeenkomst tussen breuken en kommagetallen:
Het zijn allebei gebroken getallen. Je komt ze allebei tegen als meetgetallen. Verschil: Notatie is verschillend.
Kommagetallen lijken op hele getallen. Breuken komen vaker voor als deel van een geheel en deel van een
hoeveelheid, kommagetallen bijna nooit.
Breuken, hele getallen en kommagetallen zijn allemaal rationale getallen. Een repeterend breuk is een breuk
die achter de komma een herhalende rij met decimalen heeft. Zoals de breuk 1/7 = 0,142857142857…. Het
gedeelte dat herhaalt = het repentendum. Om er achter te komen hoe de breuk 1/7 wordt geschreven doe je
het volgende:
Hoe vaak past 7 in 1? = 0, 1 over.
Hoe vaak past 7 in 10? = 1, 3 over.
Hoe vaak past 7 in 30? = 4, 2 over.
Hoe vaak past 7 in 20? = 2, 6 over.
Hoe vaak past 7 in 60? = 8, 4 over.
Hoe vaak past 7 in 40? = 5, 5 over.
Hoe vaak past 7 in 50? = 7, 1 over.
Dit maakt: 0,142857
Een breuk kan een absoluut getal (precies getal) of een operator zijn. Een operator doet iets met een getal,
hoeveelheid of prijs. De bewerker van een breuk. Een percentage geeft altijd een relatief gegeven aan en is
altijd een operator (procent = altijd deel van een geheel).
Parate feitenkennis moet beschikbaar zijn. Dit is declaratieve kennis. Eerst werk je nog modelondersteunend
(met een cirkelmodel, strookmodel of getallenlijn), daarna ga je over op het formele niveau.
HOOFDSTUK 2 VERHOUDINGEN – 25 T/M 62 – 37 BLADZIJDES
, Paragraaf 2.1: Evenredige verbanden
Een verhouding is een recht evenredig verband tussen twee of meer getalsmatige of meetkundige
beschrijvingen. Een evenredig verband betekent dat als het ene getal zoveel keer zo groot (of klein) wordt, dat
het andere getal ook zoveel keer zo groot (of klein) wordt. Wat is in verhouding het goedkoopst? Je kijkt niet
naar de absolute prijs, maar naar de prijs per eenheid. Een prijs stijgt naar verhouding, ook wel naar rato. Veel
verhoudingen hebben met grootheden te maken. Verschijningsvormen van verhoudingen zijn: snelheid,
bevolkingsdichtheid en in een recept.
Verschijningsvormen als snelheid en dichtheid zijn samengestelde grootheden. Snelheid is km/u of
m/s. Schaal is ook een verhouding. Een schaal geeft de verhouding aan tussen de weergave van iets en de
werkelijke grootte ervan. Een verhouding kan ook als percentage of breuk weergegeven worden. Een
percentage is een gestandaardiseerde verhouding: het totaal is op 100 gesteld. Een niet-gestandaardiseerde
verhouding, kan het totaal alles zijn. Wanverhoudingen worden gebruikt om op te vallen en aandacht te
trekken, zoals in reclames.
Kwantitatieve verhoudingen: de verhouding wordt uitgedrukt in een of meer getallen. Kwalitatieve
verhoudingen: Er komt geen getal aan te pas, maar woorden worden gebruikt. Een kwalitatieve verhouding is
vaak meetkundig en een meetkundige verhouding is altijd kwalitatief.
Er wordt van een interne verhouding gesproken als een verhouding één grootheid of eenheid betreft. Bij een
externe verhouding gaat het om twee verschillende grootheden of eenheden.
Er zijn twee soorten delen:
1. Verhoudingsdeling: Deeltal en deler gaat om hetzelfde. Bijv. er zijn 12 snoepjes, hoeveel groepjes van
4 snoepjes kan ik maken. Dan gaat het om 12 snoepjes : 3 snoepjes.
2. Verdelingsdeling: Deeltal en deler is verschillend. Er zijn 12 snoepjes en 3 kinderen. Hoeveel snoepjes
krijgt ieder kind? 12 snoepjes : 3 kinderen.
Er kan van een lineair verband gesproken worden, als er een verband is tussen twee grootheden (elk grootheid
op één as) en de rechte lijn door de oorsprong gaat. Het is dan een evenredig verband ofwel een verhouding.
Wanneer de lijn boven / beneden de oorsprong begint gaat het wel om een lineair verband, maar niet om een
verhouding.
Een voorbeeld van een niet-evenredig verband is bij de verbanden tussen lengte, oppervlakte en
inhoud. Als iets keer zo groot wordt, verdubbelt de lengte. De oppervlakte wordt in twee richtingen verdubbeld
(lengte en breedte). De oppervlakte wordt dus vier keer zo groot. De inhoud wordt in 3 richtingen verdubbeld
(lengte, diepte en hoogte) en wordt dus acht keer zo groot.
De omtrek en de diameter van cirkels hebben een vaste verhouding. De omtrek van een cirkel : de
diameter = altijd hetzelfde getal. Het verhoudingsgetal dat hierbij hoort 22/7, ook wel pi.
Paragraaf 2.2: Verhoudingen op de basisschool
Bij meten en meetkunde gaat het vaak om verhoudingen. Bij de kleuters wordt er al begonnen met
verhoudingen. In dit geval met kwalitatieve verhoudingen: zichtbare verschillen in grootte, afstand en
dergelijke, waar nog geen getal aan te pas hoeft te komen. Vanaf groep 3 wordt er een getal aan een
verhouding toegekend. Er wordt gekwantificeerd. Ook komen er meer kwantitatieve verhoudingen ofwel
getalsmatige verhoudingen om mee te rekenen. In groep 4 komen er vragen over het eerlijk verdelen, deze
sommen worden opgelost door te vermenigvuldigen. Ook worden de tafels geleerd. Rondom een som wordt
nog wel een context gebruikt, het is nog geen formele som.
Veel gebruikte modellen bij verhoudingen:
De dubbele getallenlijn: Getallen ordenen en positioneren. Het verband tussen twee zaken wordt
zichtbaar, er komen twee grootheden aan te pas. Bijvoorbeeld boven kilometers en onder de uren. De
dubbele getallenlijn is een denkmodel. Wat bij de ene grootheid gebeurt, gebeurt ook bij de andere
grootheid. Het is dus evenredig.
De verhoudingstabel: Vrij abstract. Bij elkaar horende getallenparen zijn bij elkaar. De open vakjes zijn
uit te rekenen door te verdubbelen of te halveren. De getallen worden op volgorde van grootte
geplaatst of de getallen worden zo geplaatst dat bepaalde strategieën of rekenstappen uitgelokt
worden, zodat niet alleen het verdubbelen, maar ook het halveren aan bod komt. Ook hierbij is het
wat met de ene grootheid gebeurt, gebeurt ook met de andere grootheid. Het is dus evenredig. In een
verhoudingstabel kan er gebruik gemaakt worden van kruiselings vermenigvuldigen.
Een verhouding is een recht evenredig verband. In een grafiek is het een rechte lijn die door de oorsprong gaat.
HOOFDSTUK 3 PROCENTEN – 65 T /M 96 – 33 BLADZIJDES
