Toevalsvectoren: toevalsgrootheden, beschreven door meer van één getal
1. Definities en betekenis
De definities hieronder worden gegeven voor bivariate (tweedimensionale) toevalsvectoren.
Uitbreiding naar meerdimensionale/multivariate vectoren ligt voor de hand.
De gezamelijke cumulatieve verdelingsfunctie van een bivariate toevalsvector (X, Y ) is gegeven door
FX,Y (x, y) = P(X ≤ x en Y ≤ y)
gezamelijke kansmassafunctie van een bivariate discrete toevalsvector (X, Y ) is pX,Y (x, y) = P(X = x en Y = y)
gezamelijke kansdichtheidsfunctie van een bivariate continue toevalsvector (X, Y ) is fX,Y (x, y) = ∂²/ (∂x∂y) * FX,Y (x, y).
uit de verdelingsfucntie volgt door integratie FX,Y (x, y) = −∞ ʃ x −∞ ʃ y (fX,Y (u, v) du dv)
(dubbele integraal)
eigenschappen:
2. Marginale kansverdeling
de Marginale dichtheid van X continu discreet
discreet naar continu omzetten door: kansen vervangen door dichtheden, en de som door een integraal
De marginale cumulatieve verdelingsfunctie is
, 3. Voorwaardelijke kansverdelingen
(= conditionele)
a) Voorwaardelijke kansdichtheid Voorwaardelijke kansmassa
...van X, gegeven dat Y de waarde y aanneemt, is gedefinieerd als:
Dit kan men zien als de doorsnede van het
dichtheidsoppervlak fX,Y (x, y) bij een gegeven waarde y
Voorwaardelijke cumulatieve verdeling
In elk geval geldt
continu discreet
b) wet van totale kans
cumulatief:
c) Regel van Bayes
cumulatief:
1. Definities en betekenis
De definities hieronder worden gegeven voor bivariate (tweedimensionale) toevalsvectoren.
Uitbreiding naar meerdimensionale/multivariate vectoren ligt voor de hand.
De gezamelijke cumulatieve verdelingsfunctie van een bivariate toevalsvector (X, Y ) is gegeven door
FX,Y (x, y) = P(X ≤ x en Y ≤ y)
gezamelijke kansmassafunctie van een bivariate discrete toevalsvector (X, Y ) is pX,Y (x, y) = P(X = x en Y = y)
gezamelijke kansdichtheidsfunctie van een bivariate continue toevalsvector (X, Y ) is fX,Y (x, y) = ∂²/ (∂x∂y) * FX,Y (x, y).
uit de verdelingsfucntie volgt door integratie FX,Y (x, y) = −∞ ʃ x −∞ ʃ y (fX,Y (u, v) du dv)
(dubbele integraal)
eigenschappen:
2. Marginale kansverdeling
de Marginale dichtheid van X continu discreet
discreet naar continu omzetten door: kansen vervangen door dichtheden, en de som door een integraal
De marginale cumulatieve verdelingsfunctie is
, 3. Voorwaardelijke kansverdelingen
(= conditionele)
a) Voorwaardelijke kansdichtheid Voorwaardelijke kansmassa
...van X, gegeven dat Y de waarde y aanneemt, is gedefinieerd als:
Dit kan men zien als de doorsnede van het
dichtheidsoppervlak fX,Y (x, y) bij een gegeven waarde y
Voorwaardelijke cumulatieve verdeling
In elk geval geldt
continu discreet
b) wet van totale kans
cumulatief:
c) Regel van Bayes
cumulatief:
