continue kansmodellen
continue uniforme 2 parameters, a en b, begin- en eindpunt van het interval waarbinnen
analoog aan de tegenhangen vh discrete geval de toevalsveranderlijke altijd ligt.
De dichtheid is:
fX(x) = 1/(b − a) als a ≤ x < b en fX(x) = 0 als x ∉[a, b[
E(X) = (a + b)/2
var(X) = (b − a)²/12
exponentiële de verdeling van de wachttijd T op de eerste aankomst in een Poisson-proces
bvb.: de tijd die een winkelier moet wachten op zijn eerste klant
cum. v. f. vinden we via de overlevingsfunctie: de kans dat de wachttijd groter is dan t,
met t ≥ 0, is de kans dat op ogenblik t nog geen (nul) aankomsten zijn geregistreerd
Het aantal aankomsten is Poisson verdeeld met parameter λt, dus:
−λt
1 − FT(t) = P(T > t) = e , voor t ≥ 0
Door afleiden vinden we, voor λ > 0
−λt
fT (t) = λe als t ≥ 0 en fT (t) = 0 als t < 0
E(T) = 1/ λ
var(T) = 1/ λ²
deze verdeling is geheugenloos bvb.: Als een wachttijd exponentieel verdeeld is, dan betekent dit dat alle wachttijd tot
op een bepaald ogenblik vergeefs is geweest: de verwachte resterende wachttijd tot
de eerste gebeurtenis is dezelfde als in het begin. Wiskundig drukt men dit uit als:
P(T > s + t|T > s) = P(T > t)
De stelling geldt ook omgekeerd: als T geheugenloos is, dan moet T exponentieel verdeeld zijn
, Erlang De wachttijd tot de rde aankomst in een Poisson-proces is Erlang verdeeld
(uitbreiding van het "wachttijden experiment") De tijd tussen de nde en n + rde aankomst is natuurlijk eveneens Erlang verdeeld
De dichtheidsfunctie is gelijk aan, voor parameter λ > 0 en r > 0 een geheel getal,
r−1 r −λt
fT (t) = t λ e / (r − 1)! , als t ≥ 0 en fT (t) = 0 als t < 0
een Erlang-verdeling is altijd rechtsscheef
Gamma uitbreiding van de Erlang-verdeling voor niet-gehele waarden van parameter r
(het gaat dus niet meer om bvb een wachttijd (dat is geheel))
x−1 -u
gammafunctie Γ(x) = 0 ʃ ∞ u e du.
(we moeten hier nooit zelf mee rekenen) omdat id dichtheidsfunctie vd Erlang-verd. een faculteit staat, moeten we eerst de
faculteitsfunctie uitbreiden naar niet-gehele get. Die uitbreiding is de gammafunctie
afgeleide vormen: Γ(x + 1) = xΓ(x) (recursieformule)
Γ(n + 1) = n! ∀n ∈ N
Gamma-verdeling met parameters r > 0 en λ > 0
r−1 r −λx
fX(x) = x λ e / Γ(r) , als x ≥ 0 en fX(x) = 0 als x < 0
E(X) = r λ
var(X) = r / λ²
Beta model voor kansvariabelen die enkel waarden kunnen aannemen op het interval [0, 1]
Indien Y waarden aanneemt op het interval [a,b], dan kunnen we X = (Y−a)/(b−a)
definiëren en X zal dan waarden aannemen tussen 0 en 1, en dus mogelijk
gemodelleerd kunnen worden als een Beta-verdeelde veranderlijke
continue uniforme 2 parameters, a en b, begin- en eindpunt van het interval waarbinnen
analoog aan de tegenhangen vh discrete geval de toevalsveranderlijke altijd ligt.
De dichtheid is:
fX(x) = 1/(b − a) als a ≤ x < b en fX(x) = 0 als x ∉[a, b[
E(X) = (a + b)/2
var(X) = (b − a)²/12
exponentiële de verdeling van de wachttijd T op de eerste aankomst in een Poisson-proces
bvb.: de tijd die een winkelier moet wachten op zijn eerste klant
cum. v. f. vinden we via de overlevingsfunctie: de kans dat de wachttijd groter is dan t,
met t ≥ 0, is de kans dat op ogenblik t nog geen (nul) aankomsten zijn geregistreerd
Het aantal aankomsten is Poisson verdeeld met parameter λt, dus:
−λt
1 − FT(t) = P(T > t) = e , voor t ≥ 0
Door afleiden vinden we, voor λ > 0
−λt
fT (t) = λe als t ≥ 0 en fT (t) = 0 als t < 0
E(T) = 1/ λ
var(T) = 1/ λ²
deze verdeling is geheugenloos bvb.: Als een wachttijd exponentieel verdeeld is, dan betekent dit dat alle wachttijd tot
op een bepaald ogenblik vergeefs is geweest: de verwachte resterende wachttijd tot
de eerste gebeurtenis is dezelfde als in het begin. Wiskundig drukt men dit uit als:
P(T > s + t|T > s) = P(T > t)
De stelling geldt ook omgekeerd: als T geheugenloos is, dan moet T exponentieel verdeeld zijn
, Erlang De wachttijd tot de rde aankomst in een Poisson-proces is Erlang verdeeld
(uitbreiding van het "wachttijden experiment") De tijd tussen de nde en n + rde aankomst is natuurlijk eveneens Erlang verdeeld
De dichtheidsfunctie is gelijk aan, voor parameter λ > 0 en r > 0 een geheel getal,
r−1 r −λt
fT (t) = t λ e / (r − 1)! , als t ≥ 0 en fT (t) = 0 als t < 0
een Erlang-verdeling is altijd rechtsscheef
Gamma uitbreiding van de Erlang-verdeling voor niet-gehele waarden van parameter r
(het gaat dus niet meer om bvb een wachttijd (dat is geheel))
x−1 -u
gammafunctie Γ(x) = 0 ʃ ∞ u e du.
(we moeten hier nooit zelf mee rekenen) omdat id dichtheidsfunctie vd Erlang-verd. een faculteit staat, moeten we eerst de
faculteitsfunctie uitbreiden naar niet-gehele get. Die uitbreiding is de gammafunctie
afgeleide vormen: Γ(x + 1) = xΓ(x) (recursieformule)
Γ(n + 1) = n! ∀n ∈ N
Gamma-verdeling met parameters r > 0 en λ > 0
r−1 r −λx
fX(x) = x λ e / Γ(r) , als x ≥ 0 en fX(x) = 0 als x < 0
E(X) = r λ
var(X) = r / λ²
Beta model voor kansvariabelen die enkel waarden kunnen aannemen op het interval [0, 1]
Indien Y waarden aanneemt op het interval [a,b], dan kunnen we X = (Y−a)/(b−a)
definiëren en X zal dan waarden aannemen tussen 0 en 1, en dus mogelijk
gemodelleerd kunnen worden als een Beta-verdeelde veranderlijke
