Samenvatting Mathematische statistiek
HOOFDSTUK 5: Normale verdeling
Populatie:
µ = rekenkundig gemiddelde
σ2 = variantie
σ = standaarddeviatie
N = aantal elementen
in de populatie
Steekproef:
x = rekenkundig gemiddelde
s2 = variantie
s = standaarddeviatie
n = aantal elementen
in de steekproef
Eénsigma-gebied: 65%
Tweesigma-gebied: 95%
Driesigma-gebied: 99,7%
Continue verdeling: oneindig aantal uitkomsten
Standaardnormaal verdeling
• Maakt gebruik van z-waarden
• Gemiddelde µ = 0
• Standaarddeviatie σ=1
• Totale oppervlakte onder de curve = 1 of 100%
• Standaardnormale verdeling is symmetrisch P (z > 0) = 0,5
• Om te bepalen P (z > 1.35)
Tabel met z-waarden en bijbehorende rechteroverschrijdingskansen (negatief ook bij
positief kijken)
Van willekeurige normaal verdeling naar standaardnormaal verdeling door middel van:
of
HOOFDSTUK 6: Binominale verdeling
Discrete verdeling: beperkt aantal waarnemingen
Dichotoom: precies 2 uitkomsten mogelijk
E(k) = µ = n * π = verwachtingswaarde
σ2k = n * π * (1 – π ) = variantie
σk = wortel van [n * π * (1 – π )] = standaardafwijking
, Methode 1: Kansformule (niet bij groter/kleiner dan)
n
P(k=k) = (k )∗π k∗( 1−π)n −k
n = aantal pogingen
k = aantal successen
π = succeskans
Methode 2: Cumulatieve Binominale verdeling
Vb. Wat is de kans dat ik 4 x of minder raak schiet?
P(k≤ 4) = P(k=0) + P(k=1) + P(k=2) + P(k=3) + P(k=4)
Veel werk en snel fouten maken dus via TABEL
Via tabel:
- Alleen kleiner of gelijk aan
- Groter of gelijk aan wordt 1 – kleiner of gelijk aan het getal – 1 [ P(k≥4) = 1 - P(k≤3) ]4
- Groter dan wordt 1 – kleiner of gelijk aan hetzelfde getal [ P(k>3) = 1 - P(k≤3) ]
Van binominaal naar normaal
Cumulatieve tabel gaat tot 20, dan normale verdeling gebruiken onder voorwaarde dat:
1. n ≥ 20
2. n * π ≥ 5
3. n * (1 – π ) ≥ 5
Probleem! Kans berekent
- Bij normale verdeling: oppervlakten (continue = kommagetallen)
- Bij binominale verdeling: punten (discreet = alleen hele getallen)
Continuiteitscorrectie
P(k=70) = P(69,5 < x < 70,5) = P(x > 69,5) – P(x > 70,5)
P(k≤55) = P(x ≤ 55,5)
Wanneer je naar boven en naar beneden afrondt, zit het getal dan nog binnen het interval?
HOOFDSTUK 7: Schatten
Schatten = blanco tegenover uitkomst steekproef
Betrouwbaarheidsinterval
Bij onbekende µ en bekende σ
x z xz
n n
x (streepje erop) = steekproefgemiddelde
z = z-waarde behorende bij bepaalde betrouwbaarheid
vb. betrouwbaarheid van 95% (tweezijdig) overschrijdingskans α: 2,5% = 0,0250
aflezen in z-tabel: 1,96
σ = standaarddeviatie
n = aantal waarnemingen / steekproefgrootte
HOOFDSTUK 5: Normale verdeling
Populatie:
µ = rekenkundig gemiddelde
σ2 = variantie
σ = standaarddeviatie
N = aantal elementen
in de populatie
Steekproef:
x = rekenkundig gemiddelde
s2 = variantie
s = standaarddeviatie
n = aantal elementen
in de steekproef
Eénsigma-gebied: 65%
Tweesigma-gebied: 95%
Driesigma-gebied: 99,7%
Continue verdeling: oneindig aantal uitkomsten
Standaardnormaal verdeling
• Maakt gebruik van z-waarden
• Gemiddelde µ = 0
• Standaarddeviatie σ=1
• Totale oppervlakte onder de curve = 1 of 100%
• Standaardnormale verdeling is symmetrisch P (z > 0) = 0,5
• Om te bepalen P (z > 1.35)
Tabel met z-waarden en bijbehorende rechteroverschrijdingskansen (negatief ook bij
positief kijken)
Van willekeurige normaal verdeling naar standaardnormaal verdeling door middel van:
of
HOOFDSTUK 6: Binominale verdeling
Discrete verdeling: beperkt aantal waarnemingen
Dichotoom: precies 2 uitkomsten mogelijk
E(k) = µ = n * π = verwachtingswaarde
σ2k = n * π * (1 – π ) = variantie
σk = wortel van [n * π * (1 – π )] = standaardafwijking
, Methode 1: Kansformule (niet bij groter/kleiner dan)
n
P(k=k) = (k )∗π k∗( 1−π)n −k
n = aantal pogingen
k = aantal successen
π = succeskans
Methode 2: Cumulatieve Binominale verdeling
Vb. Wat is de kans dat ik 4 x of minder raak schiet?
P(k≤ 4) = P(k=0) + P(k=1) + P(k=2) + P(k=3) + P(k=4)
Veel werk en snel fouten maken dus via TABEL
Via tabel:
- Alleen kleiner of gelijk aan
- Groter of gelijk aan wordt 1 – kleiner of gelijk aan het getal – 1 [ P(k≥4) = 1 - P(k≤3) ]4
- Groter dan wordt 1 – kleiner of gelijk aan hetzelfde getal [ P(k>3) = 1 - P(k≤3) ]
Van binominaal naar normaal
Cumulatieve tabel gaat tot 20, dan normale verdeling gebruiken onder voorwaarde dat:
1. n ≥ 20
2. n * π ≥ 5
3. n * (1 – π ) ≥ 5
Probleem! Kans berekent
- Bij normale verdeling: oppervlakten (continue = kommagetallen)
- Bij binominale verdeling: punten (discreet = alleen hele getallen)
Continuiteitscorrectie
P(k=70) = P(69,5 < x < 70,5) = P(x > 69,5) – P(x > 70,5)
P(k≤55) = P(x ≤ 55,5)
Wanneer je naar boven en naar beneden afrondt, zit het getal dan nog binnen het interval?
HOOFDSTUK 7: Schatten
Schatten = blanco tegenover uitkomst steekproef
Betrouwbaarheidsinterval
Bij onbekende µ en bekende σ
x z xz
n n
x (streepje erop) = steekproefgemiddelde
z = z-waarde behorende bij bepaalde betrouwbaarheid
vb. betrouwbaarheid van 95% (tweezijdig) overschrijdingskans α: 2,5% = 0,0250
aflezen in z-tabel: 1,96
σ = standaarddeviatie
n = aantal waarnemingen / steekproefgrootte
