hoorcollege 1 PAVAG ✓GAF 1 1 . introductie van functies van één variabele / 1 .
1.2.1 1.3.1
C
ub kosten functie >
verband tussen q
-
1.1 en C ( casts )
onafhankel k ( q) horizontale as en
afhankel k ( c) verticale as
9
C =
Na -
>
De kosten C is een functie van het productieniveau 9 .
Formule
Een functie van een variabele is een rekenvoorschrift y (x
) waarmee voor iedere toegelaten waarde
van de variabele ✗ precies één getal de functiewaarde , ,
wordt berekend .
De verzameling van alle
toegelaten waarden ☐ van ✗ wordt aangeduid als het definitiegebied
input of het domein van de functie .
/ welke ×
mag ik invullen ?) b v II
. kn .
→ domein : × ?0
output De verzameling van alle mogel ke functiewaarden wordt als het
aangeduid welke bereik van de functie .
y kr g ik ?
Als ☐ niet gegeven is b een functie dan bestaat het uit
, alle × waarvoor
het functie voorschrift y ( x ) uitvoerbaar is .
Als er extra restricties z n dan
wordt dit aangegeven .
( b v niet .
< 0 )
De functiewaarden y ( x) kunnen we opvatten als de waarden van een variabele .
Als we die variabele y noemen ,
dan voldoen × en y aan de vergel king
-
>
y
=
y ( x)
✗ wordt de onafhankel ke , verklarende of inputvariabele genoemd .
y wordt de afhankel ke te verklaren of outputvariabele genoemd
,
variabelen Functies
p pr s marginale kosten functie
=
me =
L arbeid )
( labour gemiddelde kostenfunctie ( average)
=
ac =
k =
kapitaal
W loon (
vage)
=
coördinaten : ( x , y ( x ))
/ deomein
ubi.sn Van de functie
y (x
) ± 1+5+2 is het definitiegebied van
yrx) ✗ ± -22 [-2,00]
en het bereik van y
? I
) [ 1
,
nulpunt functie 7 Een nulpunt functie y (x)
van van een is een oplossing van
vergel king y
( x) = 0
waar
sn punt met × -
as
sn punt 2 grafieken Een sn punt van de grafiek ycx) met de grafiek 2 ( x) is punt ( a , b) ,
met a die een
oplossing is van
y ( x) = 2 ( x) en b =
y ( a) (/ 2 (a )) sn punt y-as
- > × :O
oplossen invinnen
Ub 2✗ t 2 ( x)
1.3
y( ) 2 × 4
-
=
x = -
nulpunt y ( x ) :
y ( x)
= 0
Sn punt y ( x) & 2 ( x) :
y ( x) = 2 (x ) Y ( 2)
= -
z
y
)
( 1 , 0 )
-
2x t 2 = 0
-
2×+2 = × -
y
\ 2 -2 -3 ✗ b S ( 2 -2)
-
× = =
,
× =
, ✗ = 2
input ( x) -
> Functie ( yix ) ) -
>
output /
y)
✗ = 5 × + 3
-
> 8
De grafiek van een funtie ya) is een figuur in een assenstelsel
✗
'
w
met twee assen ,
de x-as en y
-
as die is opgebouwd uit de punten
y
met de coördinaten (× yix) , .
Y la )
#
Teken schema :
-
10
o
,
+ + +
-
o
,
3
+ + t
p
2
.
.
.
p
5
t + t
✗
"
# y
domein
bereik : ?
y 0
alle × ✗
y
?
Zo
o
ijij
ijijijij ijijij ij ij
ij ij
, Domein : R .
hoorcollege 1 Ub Functie : R ( 9) =
1,65g 01 q ? 50000 bereik :O ER 582.500
9=0 Rio) =\
,
65 -
o :O • i
°
100 r st
9--100 Rhoo) =
1,65 -
100=165 ( grens niet mee
9--5000012150.000=1,65 -50.000=82.500 × > 10 ( 10 , D) [
grens wel mee
v.
vb sn punt
@
Werkcollege aandachtspunten :
•
teken grafiek : vorm , nulpunten , sn punt
-
as .
b grafiek b punten zetten
•
tekenen ook waarden de .
Paragraaf 1.3.1 break even
Het productieniveau waar de winst nut is , noemt men het break -
even punt Waar opbrengst
.
en kosten gel k z n .
Ofwel de × -
coördinaat v/h sn punt v/d opbrengstenfunctie en kosten functie
.
Ub 1.20 R ( x ) = ✗ ( 1x ) = 3×+4 Y
Sn punt : ✗ = 3×+4 2
abc ✗ = 4 ✓ ✗ = -1 →
kn resultaat van ?
} "×)
. .
.
. . .
;
✗ 2=3×+4 BEP ✗ = 4 1214 ) = ( (4) = 4 '
× ,
Î -3×-4=0
'
,
×
4
ijij
ijijijijijij
, hoorcollege / Paragraaf 1.2.1 polynoom functies 1.11.2 .
' 1.3 .
'
constante functie :
y ( x) :c ( voor elke ✗ dezelfde functiewaarde
-
> )
Y
=/ 0 3
Ub 1.4 y ( x ) =3
yet ) :c
geen nulpunt als C
als Cso dan elke ×
=
nulpunt
✗
lineaire functie :
ycx) = axtb a -40
,
anders constant
a =
helling / richtingscoëfficiënt ylxtl )
-
ya)
=
a
YCX) = 3×1-2 Yzcx) :
-2×1-1
Ub 1.5 2 '
× nulpunt -
>
ylx) -0
-
axtb =D
✗
✗ a>0 a < 0
Sn punt y =D ( a. b) ax =
-
b -
>
✗ =
-
b-al-b-a.es) |
>
Kwadratische functie :
ylx ) = ax + bxtc a =D - > lineair b--0 -
>
constant
met a =/ 0 →
vb 1.6 " " parabool berg : als dat : a> 0 →
pos .
-
1 3 '
× ×
yix > =
-
×
'
+2×+3 20=2×2+1 nulpunt : axztbxtc =D ( met abc)
berg dat
'
abc -
Formule discriminant D axztbxtc -
> b -
Gac
criteria :
-
b + ZTÉIAC - b- TÉ
als D > 0
,
dan z n er 2
oplossingen
: ✗ =
za en ✗ =
za
als ☐ =D
,
dan is de oplossing : ✗ =
-
%
☐ < dan z n
als
geen oplossingen
4
0 ,
er .
Î
'
v61.7 ycx) =
-
✗ 2+2×1-3 nulpunt - > -
✗ t 2×+3=0 D =
-4 .
-1.3=16
-2+2 " " "
" > -2 -
2
'
-
4 . -1.5
☐ >
0 ,
dus 2 opl .
-
> × :
2 .
-1 = -
| en ✗ =
2 . .
, =3
Sn punten × -
as z n dus C- 1,0 ) en ( 3,0 )
alternatief : ontbinden in factoren
ongel kheden v61.8 -9×1=+2+2 ga > =
-
3× f- ( x ) >_ 9k) oplossen ongel kheid
E ? < >
h ( × ) = ✗ 21-2 -
( -3×1=+2+3×1-2 1 1 .
definieer functie :b /× > = f- ( x) -
ga)
h / a) =D ✗ 2+3×+2=0 ( abc) 2 2 .
bepaal nulpunten v hcx)
✗ = -1 ✓ ✗ = -2 3 . teken overzicht hea)
2) ( -2 3 4 f- ( x)
g. (x)
interval ( -0 1) ( -1,00) af In ( x) > 0 >
.
-
,
- + + +
is
- - -
i. + ++ na) .
lees =
1
- 2 -
willekeurige getallen in interval bereken meth
h ( x) 70 als ✗ E- 2 OF × ? -1 4 Dus f- ( x) ? glx) als ✗ S -2 Of × ? -1
" " "
tan.az/n-Zt...ta,tao
-
Polynoomfuncties polynoomfunctie ycx ) =
anx toen .
,
× graad =
hoogsten yn z u)
V61.9 nulpunt ylxi.is >
✗ =D
| /
-
3-
2 (x) = ✗ 3×2+2/1=0
? ]
✗ ( ✗ 2-3×+21=0 ×
_
3×+2 m . b. u . Abc -
Form ylx ) =
×
= 0 ✓
'
-3×+2=0 z( ×)
? 3×2+2
✗ × - ×
✗ = 0
,
× =L ,
✗ = 2
'
constant :
Ceo lineair : a ✗ 1- ad kwadraat :
azx t a, ✗ tao
,
>
✗ +2×2 + × = 0 > ( ✗ + 1) ( ✗ 1- 1) = 0
✗
✗
( ✗
=
2+2×1-11=0
° ✓ ✗ 2+2×+1 ,
/ ✗ =
✗ +1=0
0 ✓ ✗ =
-
1
ij ijij ij
ij
,hoorcollege '
Ria )
sn punt 1in funds 19) 291-4
-
.
a [ =
9>-0
_ erg ,
.
12191=49
0 9
Ria )
b.
Sn punt ciq ) :
Ria) functiewaarde : 4.2=8
291-4--49
4=29 Sn punt (2,8 )
9=2
>
break punt
-
-
even
✓ ✓
overzicht
µ a> 0
D> 0 D= 0 ☐<0
Mn
aso
n
ub ya)
- ✗ 2-3×+2
/
a =L D= -3 [ = 2 ( × 2) ( ×
- -
i ) =D
'
D= (-3) -
4. 1.2--9-8=1 >
0,2 nulpunten ×
-
2 :O ✓ × -1
:O
- -
3 ± zf 3. ± ,
✗ =
2. ,
=
2 ✗ = 2 ✓ = 1
×
✗ =
Is -
- 2 ✓ ✗ =
% = ,
2 × = 1
=
✗
'
,•
2
vorm : dat parabool
nulpunten : ✗ = 2
,
× : '
-
Sn punt y
-
as :
yio ) sz
vb.
ylx)
-
2×2+10×+412 a--2 b :p c- 4 's
bepaald
i) yixeën nulpunt p :b Vp = -6
' '
' °
pz -36=9 tttt tttt
-
4.2.4 's =p
- - -
☐
D= b
-
↳ ac =p 36
-
-
' p
-
o :b
☐ =D < = > t
nulpunt PZ = 36 Î
kiezen voor +1
Pertussen
nulpunt P :b ✓ p -6
☐ < 0 < = >
s =
☐ > 0 < = > 2 nulpunt
ii ) yet) geen nulpunt -6 < niets
-
p 6
iii ) nulpunt p
< of > 6
ya) 2 -6 p
1 .
2×21-3×72<-4×1-3 4 .
hun) so
2. 2×2-1--1<-0 hlx)
-
É ! ✗ 51
hit) =D 2×2 -
x -
1=0
✗ = 1 V ✗ =
-
{
3 -1++0
p
.
-
- - -
+ ++
-
E-
ijijij?⃝
, hoorcollege , Hoorcollege opdrachten
?
I. Vindt alle oplossingen van de volgende ongel kheid : ze × 1- 2 ) d- ✗ t 8
① 2 ( ✗ 1- 2) ZE × +8 < = >
2 ( × + ZÎ -
x -
8 Is
-
h ( x)
③ teken schema + + +
?
- - -
o + + + " ( ×'
h , 1)
- = -
g- < ☐
-
31-2
Ó ×
② h ( x ) =3 < = >
2( ✗ + 27 -
x
-
8 =] h( i) = 9 > 0
2( ✗ t 2) ( x t 2)
-
x -
8 = 0 ④ h ( x) d- 0
-
> - -
-
hl -
4) = 4 > s
21×21-4×+4 ) -
x
-
8=0 Dus -
3=2 ! x I 0
2×21-8×+8 -
x
-
8=0
2×2 t 7- ✗ =D
✗ ( 2 × t 7 ) =3
✗ =
0 V 2x 1-7=0
2x = -7
✗ = 0 ✗ =
-
¥ =
-
3>2
Beschouw de 2×2
'
2 .
functie y( ×) =
tzpx 1-4 -
p . Bepaal alle p 20 dat de grafiek van de functie ↳( x ) in z n geheel
boven de horizontale as ligt .
gtÄo ✓
×
D= bz -
4 ac
y
= ( ZPÎ -
4 .
z
.
( 4 -
p)
< 0
= ( ZPÎ -
814 -
p)
'
=
Up -
32 -1 Op
? t t t D= Upt -
op -32
D= P p +
Up Op
- - -
0 # -
32=0
→
4 2 P
?
-1 8=0
p zp
-
(
p
+ 4) ( p 2)
op
-
=
1-4=0 Vp -
2=0 ☐ < s < = > -
4 L
p
< 2
( - - -
)
p 4 V 2
p =
-
=
ij
ij
1.2.1 1.3.1
C
ub kosten functie >
verband tussen q
-
1.1 en C ( casts )
onafhankel k ( q) horizontale as en
afhankel k ( c) verticale as
9
C =
Na -
>
De kosten C is een functie van het productieniveau 9 .
Formule
Een functie van een variabele is een rekenvoorschrift y (x
) waarmee voor iedere toegelaten waarde
van de variabele ✗ precies één getal de functiewaarde , ,
wordt berekend .
De verzameling van alle
toegelaten waarden ☐ van ✗ wordt aangeduid als het definitiegebied
input of het domein van de functie .
/ welke ×
mag ik invullen ?) b v II
. kn .
→ domein : × ?0
output De verzameling van alle mogel ke functiewaarden wordt als het
aangeduid welke bereik van de functie .
y kr g ik ?
Als ☐ niet gegeven is b een functie dan bestaat het uit
, alle × waarvoor
het functie voorschrift y ( x ) uitvoerbaar is .
Als er extra restricties z n dan
wordt dit aangegeven .
( b v niet .
< 0 )
De functiewaarden y ( x) kunnen we opvatten als de waarden van een variabele .
Als we die variabele y noemen ,
dan voldoen × en y aan de vergel king
-
>
y
=
y ( x)
✗ wordt de onafhankel ke , verklarende of inputvariabele genoemd .
y wordt de afhankel ke te verklaren of outputvariabele genoemd
,
variabelen Functies
p pr s marginale kosten functie
=
me =
L arbeid )
( labour gemiddelde kostenfunctie ( average)
=
ac =
k =
kapitaal
W loon (
vage)
=
coördinaten : ( x , y ( x ))
/ deomein
ubi.sn Van de functie
y (x
) ± 1+5+2 is het definitiegebied van
yrx) ✗ ± -22 [-2,00]
en het bereik van y
? I
) [ 1
,
nulpunt functie 7 Een nulpunt functie y (x)
van van een is een oplossing van
vergel king y
( x) = 0
waar
sn punt met × -
as
sn punt 2 grafieken Een sn punt van de grafiek ycx) met de grafiek 2 ( x) is punt ( a , b) ,
met a die een
oplossing is van
y ( x) = 2 ( x) en b =
y ( a) (/ 2 (a )) sn punt y-as
- > × :O
oplossen invinnen
Ub 2✗ t 2 ( x)
1.3
y( ) 2 × 4
-
=
x = -
nulpunt y ( x ) :
y ( x)
= 0
Sn punt y ( x) & 2 ( x) :
y ( x) = 2 (x ) Y ( 2)
= -
z
y
)
( 1 , 0 )
-
2x t 2 = 0
-
2×+2 = × -
y
\ 2 -2 -3 ✗ b S ( 2 -2)
-
× = =
,
× =
, ✗ = 2
input ( x) -
> Functie ( yix ) ) -
>
output /
y)
✗ = 5 × + 3
-
> 8
De grafiek van een funtie ya) is een figuur in een assenstelsel
✗
'
w
met twee assen ,
de x-as en y
-
as die is opgebouwd uit de punten
y
met de coördinaten (× yix) , .
Y la )
#
Teken schema :
-
10
o
,
+ + +
-
o
,
3
+ + t
p
2
.
.
.
p
5
t + t
✗
"
# y
domein
bereik : ?
y 0
alle × ✗
y
?
Zo
o
ijij
ijijijij ijijij ij ij
ij ij
, Domein : R .
hoorcollege 1 Ub Functie : R ( 9) =
1,65g 01 q ? 50000 bereik :O ER 582.500
9=0 Rio) =\
,
65 -
o :O • i
°
100 r st
9--100 Rhoo) =
1,65 -
100=165 ( grens niet mee
9--5000012150.000=1,65 -50.000=82.500 × > 10 ( 10 , D) [
grens wel mee
v.
vb sn punt
@
Werkcollege aandachtspunten :
•
teken grafiek : vorm , nulpunten , sn punt
-
as .
b grafiek b punten zetten
•
tekenen ook waarden de .
Paragraaf 1.3.1 break even
Het productieniveau waar de winst nut is , noemt men het break -
even punt Waar opbrengst
.
en kosten gel k z n .
Ofwel de × -
coördinaat v/h sn punt v/d opbrengstenfunctie en kosten functie
.
Ub 1.20 R ( x ) = ✗ ( 1x ) = 3×+4 Y
Sn punt : ✗ = 3×+4 2
abc ✗ = 4 ✓ ✗ = -1 →
kn resultaat van ?
} "×)
. .
.
. . .
;
✗ 2=3×+4 BEP ✗ = 4 1214 ) = ( (4) = 4 '
× ,
Î -3×-4=0
'
,
×
4
ijij
ijijijijijij
, hoorcollege / Paragraaf 1.2.1 polynoom functies 1.11.2 .
' 1.3 .
'
constante functie :
y ( x) :c ( voor elke ✗ dezelfde functiewaarde
-
> )
Y
=/ 0 3
Ub 1.4 y ( x ) =3
yet ) :c
geen nulpunt als C
als Cso dan elke ×
=
nulpunt
✗
lineaire functie :
ycx) = axtb a -40
,
anders constant
a =
helling / richtingscoëfficiënt ylxtl )
-
ya)
=
a
YCX) = 3×1-2 Yzcx) :
-2×1-1
Ub 1.5 2 '
× nulpunt -
>
ylx) -0
-
axtb =D
✗
✗ a>0 a < 0
Sn punt y =D ( a. b) ax =
-
b -
>
✗ =
-
b-al-b-a.es) |
>
Kwadratische functie :
ylx ) = ax + bxtc a =D - > lineair b--0 -
>
constant
met a =/ 0 →
vb 1.6 " " parabool berg : als dat : a> 0 →
pos .
-
1 3 '
× ×
yix > =
-
×
'
+2×+3 20=2×2+1 nulpunt : axztbxtc =D ( met abc)
berg dat
'
abc -
Formule discriminant D axztbxtc -
> b -
Gac
criteria :
-
b + ZTÉIAC - b- TÉ
als D > 0
,
dan z n er 2
oplossingen
: ✗ =
za en ✗ =
za
als ☐ =D
,
dan is de oplossing : ✗ =
-
%
☐ < dan z n
als
geen oplossingen
4
0 ,
er .
Î
'
v61.7 ycx) =
-
✗ 2+2×1-3 nulpunt - > -
✗ t 2×+3=0 D =
-4 .
-1.3=16
-2+2 " " "
" > -2 -
2
'
-
4 . -1.5
☐ >
0 ,
dus 2 opl .
-
> × :
2 .
-1 = -
| en ✗ =
2 . .
, =3
Sn punten × -
as z n dus C- 1,0 ) en ( 3,0 )
alternatief : ontbinden in factoren
ongel kheden v61.8 -9×1=+2+2 ga > =
-
3× f- ( x ) >_ 9k) oplossen ongel kheid
E ? < >
h ( × ) = ✗ 21-2 -
( -3×1=+2+3×1-2 1 1 .
definieer functie :b /× > = f- ( x) -
ga)
h / a) =D ✗ 2+3×+2=0 ( abc) 2 2 .
bepaal nulpunten v hcx)
✗ = -1 ✓ ✗ = -2 3 . teken overzicht hea)
2) ( -2 3 4 f- ( x)
g. (x)
interval ( -0 1) ( -1,00) af In ( x) > 0 >
.
-
,
- + + +
is
- - -
i. + ++ na) .
lees =
1
- 2 -
willekeurige getallen in interval bereken meth
h ( x) 70 als ✗ E- 2 OF × ? -1 4 Dus f- ( x) ? glx) als ✗ S -2 Of × ? -1
" " "
tan.az/n-Zt...ta,tao
-
Polynoomfuncties polynoomfunctie ycx ) =
anx toen .
,
× graad =
hoogsten yn z u)
V61.9 nulpunt ylxi.is >
✗ =D
| /
-
3-
2 (x) = ✗ 3×2+2/1=0
? ]
✗ ( ✗ 2-3×+21=0 ×
_
3×+2 m . b. u . Abc -
Form ylx ) =
×
= 0 ✓
'
-3×+2=0 z( ×)
? 3×2+2
✗ × - ×
✗ = 0
,
× =L ,
✗ = 2
'
constant :
Ceo lineair : a ✗ 1- ad kwadraat :
azx t a, ✗ tao
,
>
✗ +2×2 + × = 0 > ( ✗ + 1) ( ✗ 1- 1) = 0
✗
✗
( ✗
=
2+2×1-11=0
° ✓ ✗ 2+2×+1 ,
/ ✗ =
✗ +1=0
0 ✓ ✗ =
-
1
ij ijij ij
ij
,hoorcollege '
Ria )
sn punt 1in funds 19) 291-4
-
.
a [ =
9>-0
_ erg ,
.
12191=49
0 9
Ria )
b.
Sn punt ciq ) :
Ria) functiewaarde : 4.2=8
291-4--49
4=29 Sn punt (2,8 )
9=2
>
break punt
-
-
even
✓ ✓
overzicht
µ a> 0
D> 0 D= 0 ☐<0
Mn
aso
n
ub ya)
- ✗ 2-3×+2
/
a =L D= -3 [ = 2 ( × 2) ( ×
- -
i ) =D
'
D= (-3) -
4. 1.2--9-8=1 >
0,2 nulpunten ×
-
2 :O ✓ × -1
:O
- -
3 ± zf 3. ± ,
✗ =
2. ,
=
2 ✗ = 2 ✓ = 1
×
✗ =
Is -
- 2 ✓ ✗ =
% = ,
2 × = 1
=
✗
'
,•
2
vorm : dat parabool
nulpunten : ✗ = 2
,
× : '
-
Sn punt y
-
as :
yio ) sz
vb.
ylx)
-
2×2+10×+412 a--2 b :p c- 4 's
bepaald
i) yixeën nulpunt p :b Vp = -6
' '
' °
pz -36=9 tttt tttt
-
4.2.4 's =p
- - -
☐
D= b
-
↳ ac =p 36
-
-
' p
-
o :b
☐ =D < = > t
nulpunt PZ = 36 Î
kiezen voor +1
Pertussen
nulpunt P :b ✓ p -6
☐ < 0 < = >
s =
☐ > 0 < = > 2 nulpunt
ii ) yet) geen nulpunt -6 < niets
-
p 6
iii ) nulpunt p
< of > 6
ya) 2 -6 p
1 .
2×21-3×72<-4×1-3 4 .
hun) so
2. 2×2-1--1<-0 hlx)
-
É ! ✗ 51
hit) =D 2×2 -
x -
1=0
✗ = 1 V ✗ =
-
{
3 -1++0
p
.
-
- - -
+ ++
-
E-
ijijij?⃝
, hoorcollege , Hoorcollege opdrachten
?
I. Vindt alle oplossingen van de volgende ongel kheid : ze × 1- 2 ) d- ✗ t 8
① 2 ( ✗ 1- 2) ZE × +8 < = >
2 ( × + ZÎ -
x -
8 Is
-
h ( x)
③ teken schema + + +
?
- - -
o + + + " ( ×'
h , 1)
- = -
g- < ☐
-
31-2
Ó ×
② h ( x ) =3 < = >
2( ✗ + 27 -
x
-
8 =] h( i) = 9 > 0
2( ✗ t 2) ( x t 2)
-
x -
8 = 0 ④ h ( x) d- 0
-
> - -
-
hl -
4) = 4 > s
21×21-4×+4 ) -
x
-
8=0 Dus -
3=2 ! x I 0
2×21-8×+8 -
x
-
8=0
2×2 t 7- ✗ =D
✗ ( 2 × t 7 ) =3
✗ =
0 V 2x 1-7=0
2x = -7
✗ = 0 ✗ =
-
¥ =
-
3>2
Beschouw de 2×2
'
2 .
functie y( ×) =
tzpx 1-4 -
p . Bepaal alle p 20 dat de grafiek van de functie ↳( x ) in z n geheel
boven de horizontale as ligt .
gtÄo ✓
×
D= bz -
4 ac
y
= ( ZPÎ -
4 .
z
.
( 4 -
p)
< 0
= ( ZPÎ -
814 -
p)
'
=
Up -
32 -1 Op
? t t t D= Upt -
op -32
D= P p +
Up Op
- - -
0 # -
32=0
→
4 2 P
?
-1 8=0
p zp
-
(
p
+ 4) ( p 2)
op
-
=
1-4=0 Vp -
2=0 ☐ < s < = > -
4 L
p
< 2
( - - -
)
p 4 V 2
p =
-
=
ij
ij
