Introducción a Funciones

Introducción general a funciones

En cursos matemáticos previos se encuentran situaciones en las que una cantidad variable estaba
relacionada con otra cantidad también variable, como en los siguientes ejemplos:

a) El área A de una superficie cuadrada depende de la longitud x de los lados, lo que escribimos
como A(x).
b) Existe una correspondencia entre el volumen V de agua consumida por una persona y el
tiempo t que ha transcurrido en su vida, esto lo representaremos por V(t).
c) La cantidad c de comida consumida por una persona está relacionada con la cantidad m de
dinero a pagar c(m).

En los ejemplos anteriores, las expresiones V(t), A(x) y c(m) se leen A de x, V de t y c de m
respectivamente. En general, la expresión f(x) se interpreta como “efe de equis”.

En cada ejemplo encontramos.

 Dos variables.
 La forma de dependencia de las variables.

También existe relación entre conjuntos de objetos u objetos con números.

a) Los números de celular están asociados a una persona.
b) El número IMEI está asociado a un teléfono.
c) Cada estudiante tiene un número de matrícula.

Por el momento solo se analizarán relaciones entre dos variables.

Una función puede interpretarse como una máquina que acepta una cierta cantidad de materia
prima x y lo transforma en un producto, así la cantidad del nuevo producto f(x) depende de otra
variable.




Nota: Con mucha imaginación es una “maquina”.

 Al conjunto de todos los elementos que acepta la maquina f lo llamaremos dominio de f y
lo representaremos por dom(f).
 Si 𝑋0 pertenece al dom(f), representaremos por 𝑓 (𝑋0 ) al resultado que da la máquina como
consecuencia de haber introducido 𝑋0 y lo denominaremos imagen de 𝑋0 bajo f.
 Al conjunto de todas las imágenes lo llamaremos “conjunto imagen” y lo representaremos
por img(f).

,  El aparato o maquina f indica la forma en que se transforman los elementos x y se conoce
como regla de correspondencia o asociación.
 La única condición que se exige a la máquina es que sea determinista, esto significa que la
introducción en ella de una misma cantidad x en dos o más ocasiones distintas debe arrojar
en todos los casos la misma cantidad o número de salida.



Definición: Partes de una función
 Sea A y B dos conjuntos, y f una regla que asigna a cada elemento x del conjunto A un único
elemento en B, que representaremos por f(x), entonces:

a) f es una función que aplica A en B, e indicaremos esta situación por:
𝑓
𝑓: 𝐴 → 𝐵 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝐴 → 𝐵

b) El conjunto A se denomina dominio de la función y lo representamos por A=dom(f).
c) El conjunto B se denomina como codominio o contradomino de la función.
d) Si 𝑋0 pertenece a dom(f), 𝑓(𝑋0 ) es el valor de f en 𝑋0 , o imagen de 𝑋0 bajo f.
e) Al conjunto de todas las imágenes 𝑓(𝑋0 ) es el conjunto imagen o recorrido; lo
representamos por img(f).

Al definir una función a partir de una relación algebraica (a menos que se indique otra cosa) el
dominio será el mayor conjunto de números reales para los que la relación algebraica tiene sentido.

Ejemplos:

a) Determinar el volumen de una esfera si se conoce el radio.
b) A la longitud del lado de un cuadrado se le asocia el área de éste.

Soluciones:
4
a) 𝑉(𝑟) = 𝜋 𝑟 3 , 𝑑𝑜𝑚(𝑉) = {𝑟|𝑟 ≥ 0} e 𝑖𝑚𝑔(𝑉) = {𝑉|𝑉 ≥ 0}
3
b) 𝐴(𝑙 ) = 𝑙 2 , 𝑑𝑜𝑚(𝐴) = {𝑙|𝑙 ≥ 0} e 𝑖𝑚𝑔(𝐴) = {𝐴|𝐴 ≥ 0}

Determinar la imagen según el valor indicado:

a) El volumen asociado a una esfera de radio 3.
3 4
o Puesto que r=3 y 𝑉(𝑟) = 𝜋 𝑟 3 , entonces basta con sustituir. Así 𝑉(3) = 𝜋 33 =
4 3
4𝜋32 = 4𝜋9 = 36𝜋 unidades cúbicas.
b) El área asociada a un cuadrado de lado de longitud de 4 metros.
o Si l=4 y 𝐴(𝑙 ) = 𝑙 2 , entonces 𝐴(4) = 42 = 16 metros cuadrados.

NOTA: Para determinar el dominio de una función debemos tener en cuenta que, en matemáticas,
no está permitido:

 La división por cero.
 Extraer raíces de índice par, de números negativos.