NÚMEROS COMPLEJOS: FORMULARIO ▪ Si z = x + yi entonces se define la EXPONENCIAL DE Z por la fórmula:
𝑒 𝑧 = 𝑒 𝑥 𝑒 𝑦𝑖 = 𝑒 𝑥 (𝑐𝑜𝑠 𝑦 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝑦)
▪ SUMA Y RESTA DE NÚMEROS COMPLEJOS:
▪ Todo número complejo z = reiθ no nulo tiene exactamente n raíces n-ésimas
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) − (c, d) = (a − c, b − d)
distintas que vienen dadas por la fórmula siguiente:
▪ MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS: 𝑤𝑘 = 𝑟1/𝑛 𝑒 𝑖(𝜃+2𝑘𝜋)/𝑛 , k = 0, 1, . . . , n − 1
(a, b) · (c, d) = (ac − bd, bc + ad) El único w tal que w n = z y Arg(w) = Arg(z) n se llama RAÍZ n-ÉSIMA
▪ DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS: dados 𝑧1 = (𝑎, 𝑏), 𝑧2 = (𝑐, 𝑑) con 𝑧2 PRINCIPAL. Se obtiene tomando k = 0 en el enunciado anterior.
distinto del elemento neutro (0, 0), se define la división por la fórmula:
▪ Si z ∈ ℂ \ {0}, se define el LOGARITMO DE Z como:
𝑧1 𝑐 −𝑑 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 𝑏𝑐 − 𝑎𝑑
= 𝑧1 (𝑧2 )−1 = (𝑎, 𝑏) ൬ 2 2
, 2 2
൰=൬ 2 , ൰ log z = log ȁzȁ + iarg(z) = log ȁzȁ + i(θ + 2kπ), k ∈ Z,
𝑧2 𝑐 +𝑑 𝑐 +𝑑 𝑐 + 𝑑2 𝑐 2 + 𝑑2
donde log |z| es el logaritmo real del módulo de z y θ un argumento de z. La rama
También podemos escribir: principal del logaritmo se obtiene cuando se considera el argumento principal
𝑎 + 𝑏𝑖 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 de z.
= + 𝑖
𝑐 + 𝑑𝑖 𝑐 2 + 𝑑2 𝑐 2 + 𝑑2
▪ MÓDULO DE UN NÚMERO COMPLEJO z = x + i y:
ȁ𝑧ȁ = ඥ𝑥 2 + 𝑦 2
Es la distancia entre el punto (x,y) y el origen (0,0).
▪ COMPLEJO CONJUGADO DEL NÚMERO COMPLEJO z = a + i b:
തz = 𝑎 − 𝑖𝑏
El número zത es la reflexión en el eje real del punto z.
▪ DESIGUALDAD TRIANGULAR. Dados z,w ∈ C se cumple que
ȁ𝑧 + 𝑤 ȁ ≤ ȁ𝑧 ȁ + ȁ𝑤 ȁ
▪ Si z = x + yi es un número complejo no nulo, podemos escribir z del siguiente
modo
z = r cos θ + r senθ i = r(cos θ + i senθ)
Este modo de escribir z se llama FORMA TRIGONOMÉTRICA O POLAR.
▪ De todos los (infinitos) argumentos de un complejo z ≠ 0, existe un único valor
que queda comprendido en (−π, π]. Ese valor se llama ARGUMENTO
PRINCIPAL y será notado por Arg(z). También se llama VALOR PRINCIPAL
DEL ARGUMENTO.
▪ Sea θ ∈ R. Se define: 𝑒 𝑖𝜃 = 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑒 𝑧 = 𝑒 𝑥 𝑒 𝑦𝑖 = 𝑒 𝑥 (𝑐𝑜𝑠 𝑦 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝑦)
▪ SUMA Y RESTA DE NÚMEROS COMPLEJOS:
▪ Todo número complejo z = reiθ no nulo tiene exactamente n raíces n-ésimas
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) − (c, d) = (a − c, b − d)
distintas que vienen dadas por la fórmula siguiente:
▪ MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS: 𝑤𝑘 = 𝑟1/𝑛 𝑒 𝑖(𝜃+2𝑘𝜋)/𝑛 , k = 0, 1, . . . , n − 1
(a, b) · (c, d) = (ac − bd, bc + ad) El único w tal que w n = z y Arg(w) = Arg(z) n se llama RAÍZ n-ÉSIMA
▪ DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS: dados 𝑧1 = (𝑎, 𝑏), 𝑧2 = (𝑐, 𝑑) con 𝑧2 PRINCIPAL. Se obtiene tomando k = 0 en el enunciado anterior.
distinto del elemento neutro (0, 0), se define la división por la fórmula:
▪ Si z ∈ ℂ \ {0}, se define el LOGARITMO DE Z como:
𝑧1 𝑐 −𝑑 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 𝑏𝑐 − 𝑎𝑑
= 𝑧1 (𝑧2 )−1 = (𝑎, 𝑏) ൬ 2 2
, 2 2
൰=൬ 2 , ൰ log z = log ȁzȁ + iarg(z) = log ȁzȁ + i(θ + 2kπ), k ∈ Z,
𝑧2 𝑐 +𝑑 𝑐 +𝑑 𝑐 + 𝑑2 𝑐 2 + 𝑑2
donde log |z| es el logaritmo real del módulo de z y θ un argumento de z. La rama
También podemos escribir: principal del logaritmo se obtiene cuando se considera el argumento principal
𝑎 + 𝑏𝑖 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 de z.
= + 𝑖
𝑐 + 𝑑𝑖 𝑐 2 + 𝑑2 𝑐 2 + 𝑑2
▪ MÓDULO DE UN NÚMERO COMPLEJO z = x + i y:
ȁ𝑧ȁ = ඥ𝑥 2 + 𝑦 2
Es la distancia entre el punto (x,y) y el origen (0,0).
▪ COMPLEJO CONJUGADO DEL NÚMERO COMPLEJO z = a + i b:
തz = 𝑎 − 𝑖𝑏
El número zത es la reflexión en el eje real del punto z.
▪ DESIGUALDAD TRIANGULAR. Dados z,w ∈ C se cumple que
ȁ𝑧 + 𝑤 ȁ ≤ ȁ𝑧 ȁ + ȁ𝑤 ȁ
▪ Si z = x + yi es un número complejo no nulo, podemos escribir z del siguiente
modo
z = r cos θ + r senθ i = r(cos θ + i senθ)
Este modo de escribir z se llama FORMA TRIGONOMÉTRICA O POLAR.
▪ De todos los (infinitos) argumentos de un complejo z ≠ 0, existe un único valor
que queda comprendido en (−π, π]. Ese valor se llama ARGUMENTO
PRINCIPAL y será notado por Arg(z). También se llama VALOR PRINCIPAL
DEL ARGUMENTO.
▪ Sea θ ∈ R. Se define: 𝑒 𝑖𝜃 = 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜃
