Cálculo de Variaciones
El problema fundamental del cálculo de variaciones consiste en encontrar una
función 𝑦(𝑡) que maximice o minimice a la función 𝐼 (𝑦) sujeto a 𝑦(𝑡0 ) = 𝑦0 y 𝑦(𝑡1 ) = 𝑦1 .
Es decir, el problema de optimización se plantea de la siguiente manera:
𝑡1
max 𝐼 (𝑦) = ∫ 𝐹 (𝑡, 𝑦, 𝑦̇ ) 𝑑𝑡
𝑦(𝑡) 𝑡0
𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑎
𝑦(𝑡0 ) = 𝑦0
𝑦(𝑡1 ) = 𝑦1
Donde 𝑡0 , 𝑦0 , 𝑡1 y 𝑦1 son datos conocidos.
A la función 𝑦(𝑡) que resuelve el problema la llamaremos función extrema y se le pide que
sea continua, una vez diferenciable y que su derivada sea continua. Y a la función
𝐹 (𝑡, 𝑦, 𝑦̇ ) se le pide que tenga, al menos, las segundas derivadas parciales.
Antes de pasar a resolver este problema de optimización veremos algunas definiciones.
Definición
El conjunto de todas las funciones que tiene derivadas continuas y es diferenciable dos
veces es llamado Ω.
Ω = {𝑦(𝑡): [𝑡0 , 𝑡1 ] → ℝ | 𝑦 𝑝𝑜𝑠𝑒𝑒 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎𝑠 𝑦 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠}
Definición
Se dice que 𝑦(𝑡) es una función admisible del problema anterior si verifica que
𝑦 ∈ Ω , 𝑦(𝑡0 ) = 𝑦0 y 𝑦(𝑡1 ) = 𝑦1
Por ende, el conjunto de todas las funciones admisibles para el problema se puede definir
de la siguiente forma:
Ψ = {𝑦 ∈ Ω | 𝑦(𝑡0 ) = 𝑦0 ^ 𝑦(𝑡1 ) = 𝑦1 }
Definición
Sea 𝑦 ∗ una función admisible para el problema de optimización. Se dice que 𝑦 ∗ es máximo
global si para cualquier función admisible 𝑦 se verifica que
𝐼(𝑦) ≤ 𝐼(𝑦 ∗ )
, Definición
Sea 𝑦 ∗ una función admisible para el problema de optimización. Se dice que 𝑦 ∗ es máximo
local, si existe un 𝛿 > 0, tal que para toda función admisible 𝑦 , perteneciente a
𝐵(𝑢, 𝛿), se verifica que
𝐼(𝑦) ≤ 𝐼(𝑦 ∗ )
De manera análoga, se definen los conceptos de mínimo global y de mínimo local.
Definición
Sea 𝑦 ∗ una función admisible para el problema de optimización. Se dice que 𝑦 ∗ es mínimo
global si para cualquier función admisible 𝑦 se verifica que
𝐼(𝑦) ≥ 𝐼(𝑦 ∗ )
Definición
Sea 𝑦 ∗ una función admisible para el problema de optimización. Se dice que 𝑦 ∗ es mínimo
local, si existe un 𝛿 > 0, tal que para toda función admisible 𝑦 , perteneciente a
𝐵(𝑢, 𝛿), se verifica que
𝐼(𝑦) ≥ 𝐼(𝑦 ∗ )
Para resolver el problema de optimización que nos ocupa, tenemos que calcular el
máximo global, sin embargo, al igual que ocurre en programación matemática,
consideramos máximos locales porque vamos a obtener condiciones de optimalidad que
detectan óptimos locales y no óptimos globales.
A continuación, veremos las condiciones necesarias de optimalidad.
Condición necesaria de primer orden. Ecuación de Euler.
La condición que vamos a obtener, llamada condición o ecuación de Euler, es la más
importante del cálculo de variaciones.
Teorema (Condición de Euler)
Si 𝑦 ∗ (𝑡) es un máximo local del problema de optimización anterior entonces en 𝑦 ∗ (𝑡) se
verifica la siguiente condición:
𝑑
𝐹𝑦 (𝑦 ∗ , 𝑦̇ ∗ , 𝑡) − [𝐹 (𝑦 ∗ , 𝑦̇ ∗ , 𝑡)] = 0 ∀ 𝑡 ∈ [𝑡0 , 𝑡1 ]
𝑑𝑡 𝑦̇
Que es la ecuación de Euler, en donde 𝐹𝑦 es la derivada parcial de 𝐹 con respecto a su
primera variable 𝑦, y 𝐹𝑦̇ es la derivada parcial de la función 𝐹 con respecto a su segunda
variable 𝑦̇ .
Nota: La condición de Euler es necesaria también para mínimo local.
El problema fundamental del cálculo de variaciones consiste en encontrar una
función 𝑦(𝑡) que maximice o minimice a la función 𝐼 (𝑦) sujeto a 𝑦(𝑡0 ) = 𝑦0 y 𝑦(𝑡1 ) = 𝑦1 .
Es decir, el problema de optimización se plantea de la siguiente manera:
𝑡1
max 𝐼 (𝑦) = ∫ 𝐹 (𝑡, 𝑦, 𝑦̇ ) 𝑑𝑡
𝑦(𝑡) 𝑡0
𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑎
𝑦(𝑡0 ) = 𝑦0
𝑦(𝑡1 ) = 𝑦1
Donde 𝑡0 , 𝑦0 , 𝑡1 y 𝑦1 son datos conocidos.
A la función 𝑦(𝑡) que resuelve el problema la llamaremos función extrema y se le pide que
sea continua, una vez diferenciable y que su derivada sea continua. Y a la función
𝐹 (𝑡, 𝑦, 𝑦̇ ) se le pide que tenga, al menos, las segundas derivadas parciales.
Antes de pasar a resolver este problema de optimización veremos algunas definiciones.
Definición
El conjunto de todas las funciones que tiene derivadas continuas y es diferenciable dos
veces es llamado Ω.
Ω = {𝑦(𝑡): [𝑡0 , 𝑡1 ] → ℝ | 𝑦 𝑝𝑜𝑠𝑒𝑒 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎𝑠 𝑦 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠}
Definición
Se dice que 𝑦(𝑡) es una función admisible del problema anterior si verifica que
𝑦 ∈ Ω , 𝑦(𝑡0 ) = 𝑦0 y 𝑦(𝑡1 ) = 𝑦1
Por ende, el conjunto de todas las funciones admisibles para el problema se puede definir
de la siguiente forma:
Ψ = {𝑦 ∈ Ω | 𝑦(𝑡0 ) = 𝑦0 ^ 𝑦(𝑡1 ) = 𝑦1 }
Definición
Sea 𝑦 ∗ una función admisible para el problema de optimización. Se dice que 𝑦 ∗ es máximo
global si para cualquier función admisible 𝑦 se verifica que
𝐼(𝑦) ≤ 𝐼(𝑦 ∗ )
, Definición
Sea 𝑦 ∗ una función admisible para el problema de optimización. Se dice que 𝑦 ∗ es máximo
local, si existe un 𝛿 > 0, tal que para toda función admisible 𝑦 , perteneciente a
𝐵(𝑢, 𝛿), se verifica que
𝐼(𝑦) ≤ 𝐼(𝑦 ∗ )
De manera análoga, se definen los conceptos de mínimo global y de mínimo local.
Definición
Sea 𝑦 ∗ una función admisible para el problema de optimización. Se dice que 𝑦 ∗ es mínimo
global si para cualquier función admisible 𝑦 se verifica que
𝐼(𝑦) ≥ 𝐼(𝑦 ∗ )
Definición
Sea 𝑦 ∗ una función admisible para el problema de optimización. Se dice que 𝑦 ∗ es mínimo
local, si existe un 𝛿 > 0, tal que para toda función admisible 𝑦 , perteneciente a
𝐵(𝑢, 𝛿), se verifica que
𝐼(𝑦) ≥ 𝐼(𝑦 ∗ )
Para resolver el problema de optimización que nos ocupa, tenemos que calcular el
máximo global, sin embargo, al igual que ocurre en programación matemática,
consideramos máximos locales porque vamos a obtener condiciones de optimalidad que
detectan óptimos locales y no óptimos globales.
A continuación, veremos las condiciones necesarias de optimalidad.
Condición necesaria de primer orden. Ecuación de Euler.
La condición que vamos a obtener, llamada condición o ecuación de Euler, es la más
importante del cálculo de variaciones.
Teorema (Condición de Euler)
Si 𝑦 ∗ (𝑡) es un máximo local del problema de optimización anterior entonces en 𝑦 ∗ (𝑡) se
verifica la siguiente condición:
𝑑
𝐹𝑦 (𝑦 ∗ , 𝑦̇ ∗ , 𝑡) − [𝐹 (𝑦 ∗ , 𝑦̇ ∗ , 𝑡)] = 0 ∀ 𝑡 ∈ [𝑡0 , 𝑡1 ]
𝑑𝑡 𝑦̇
Que es la ecuación de Euler, en donde 𝐹𝑦 es la derivada parcial de 𝐹 con respecto a su
primera variable 𝑦, y 𝐹𝑦̇ es la derivada parcial de la función 𝐹 con respecto a su segunda
variable 𝑦̇ .
Nota: La condición de Euler es necesaria también para mínimo local.
