Methoden
en
Technieken
voor
Algemeen
en
Financieel
Economisch
Onderzoek
Vrije
Universiteit
Amsterdam
Oktober
2013
, Inhoud
1. Matrix
Algebra
2. Differentiëren
3. Extreme
waarden
4. Optimalisatie
onder
voorwaarden
5. Integreren
6. Difference
equations
7. Kansrekening
, 1.
Matrix
Algebra
Inleiding
matrix
algebra
Een
lineair
systeem
van
vergelijkingen
(links)
kan
in
matrixvorm
(midden)
of
aangevulde
(augmented,
rechts)
matrixvorm
worden
weergegeven.
Doormiddel
van
het
vegen
van
de
matrix
kan
de
matrix
in
echelon
vorm
gebracht
worden.
Een
pivot
is
het
eerste
getal
dat
niet
nul
is
in
een
kolom.
Een
kolom
zonder
pivot
duidt
op
een
vrije
variabele.
Het
aantal
vrijheidsgraden
in
dit
voorbeeld
is
2.
Basisregels
bij
matrix
vermenigvuldiging
zijn:
Basisregels
matrix
vermenigvuldiging
(AB)C
=
A(BC)
A(B
+
C)
=
AB
+
AC
(A
+
B)C
=
AC
+
BC
De
identiteitsmatrix
is
de
matrix
die
bestaat
uit
alleen
enen
op
de
diagonaal,
en
verder
alleen
maar
nullen,
genoteerd
als
I:
1 0
0 1
De
nulmatrix
is
een
matrix
die
slechts
uit
nullen
bestaat,
genoteerd
als
O:
0 0
0 0
Matrices
die
slechts
uit
één
rij
of
uit
één
kolom
bestaan
worden
vectoren
genoemd,
en
worden
genoteerd
met
een
kleine
letter
en
een
streepje
of
een
pijl:
b
of
𝑏 → .
De
getransponeerde
versie
van
een
matrix
(transpose)
is
de
omgeklapte
versie
waarbij
alle
coëfficiënten
van
de
rijen
en
kolommen
omgewisseld
zijn.
,Naast
AT
is
een
getransponeerde
matrix
ook
te
noteren
als
A’.
Een
symmetrische
matrix
is
een
matrix
waarbij
geldt:
A
=
AT
.
Een
n
×
n
matrix
A
is
inverteerbaar
als
er
een
n
×
n
matrix
C
bestaat
waarbij
geldt:
CA
=
I
en
AC
=
I
In
dit
geval
is
C
de
inverse
van
A,
genoteerd
als
A-‐1
.
Er
geldt
dus
A
A
=
I
en
AA-‐1
=
I
-‐1
De
volgende
formule
wordt
gebruikt
om
de
inverse
van
een
2
×
2
matrix
uit
te
rekenen:
De
inverse
van
een
2
×
2
matrix
𝑎 𝑏
Laat
A
=
.
Als
ad
–
bc
≠
0
dan
is
A
inverteerbaar
en
𝑐 𝑑
! 𝑑 −𝑏
A-‐1
=
!"!!"
Als
ad
–
bc
=
0
dan
is
A
niet
inverteerbaar.
−𝑐 𝑎
In
het
geval
van
een
2
×
2
matrix
wordt
ad
–
bc
de
determinant
genoemd.
Dit
𝑎 𝑏
wordt
genoteerd
als
det
(A)
of
𝑨
=
.
De
determinant
van
een
tweede
𝑐 𝑑
orde
geeft
de
oppervlakte
die
door
de
vectoren
van
de
matrix
wordt
gevormd,
en
een
determinant
van
de
derde
orde
geeft
de
inhoud
hiervan.
De
determinant
van
een
matrix
van
een
derde
orde
of
hoger
is
als
volgt
te
berekenen.
Stel
𝑎!! 𝑎!" 𝑎!"
𝐀 = 𝑎!" 𝑎!! 𝑎!"
𝑎!" 𝑎!" 𝑎!!
Om
de
determinant
van
A
te
berekenen
is
het
handig
om
te
ontwikkelen
naar
de
rij
of
kolom
met
de
meeste
nullen.
De
drie
entries
van
de
betreffende
rij
of
kolom
vormen
dan
de
cofactoren.
Ontwikkelen
naar
bijvoorbeeld
de
eerste
rij:
𝑎!! 𝑎!" 𝑎!" 𝑎!" 𝑎!" 𝑎!!
𝐀 = 𝑎!! 𝑎 − 𝑎 + 𝑎 𝑎!" 𝑎!"
!" 𝑎!! 𝑎!" 𝑎!!
!" !"
De
cofactoren
zijn
hier
𝑎!! , 𝑎!"
en
𝑎!" .
Onthoud
hierbij
dat
de
tekens
voor
de
cofactoren
om
en
om
anders
zijn
(−
en
+),
waarbij
de
cofactor
linksboven
altijd
een
+-‐teken
heeft:
, Basisregels
voor
determinanten:
Laat
A
een
𝑛 × 𝑛
matrix
zijn.
Dan:
1. Als
alle
elementen
in
een
rij
(of
kolom)
van
A
gelijk
zijn
aan
0,
dan
𝐀 =
0.
2. 𝐀 = 𝐀′ .
3. Als
alle
elementen
in
dezelfde
rij
(of
kolom)
van
A
vermenigvuldigd
zijn
met
een
getal
𝛼,
dan
is
de
determinant
vermenigvuldigd
met
𝛼.
4. Als
twee
rijen
(of
twee
kolommen)
van
A
omgewisseld
zijn,
dan
verandert
de
determinant
van
teken.
5. Als
twee
rijen
(of
twee
kolommen)
van
A
aan
elkaar
gelijk
zijn,
dan
𝐀 = 0.
6. De
waarde
van
de
determinant
van
A
blijft
gelijk
wanneer
het
meervoud
van
een
rij
(of
kolom)
toegevoegd
is
aan
een
andere
rij
(of
kolom)
van
A.
7. De
determinant
van
het
product
van
twee
𝑛 × 𝑛
matrices
A
en
B
is
het
product
van
de
determinanten
van
beide
factoren:
𝐀𝐁 = 𝐀 𝐁
8. Als
𝛼
een
reëel
getal
is,
𝛼𝐀 = 𝛼 ! 𝐀
Basisregels
voor
de
inverse
van
een
matrix:
Laat
A
en
B
twee
inverteerbare
𝑛 × 𝑛
matrices
zijn,
dan:
1. A-‐1
is
inverteerbaar
en
(A-‐1)-‐1.
2. AB
is
inverteerbaar
en
(AB)-‐1
=
B-‐1A-‐1.
3. De
getransponeerde
A’
is
inverteerbaar
en
(A’)-‐1
=
(A-‐1)’.
4. (cA)-‐1
=
c-‐1A-‐1
als
c
een
getal
ongelijk
aan
0
is.
5. Een
matrix
A
heeft
geen
inverse
wanneer
𝐀 = 0.
Het
is
mogelijk
om
de
inverse
van
een
𝑛 × 𝑛
matrix
te
vinden
op
de
volgende
wijze.
Stel
A
is
een
inverteerbare
3 × 3
matrix.
Zet
hiernaast
de
3 × 3
identiteitsmatrix,
I3:
1 3 3 1 0 0
𝐀|𝐼! = 1 3 4 0 1 0
1 4 3 0 0 1
Veeg
nu
de
matrix
totdat
de
linkermatrix
de
identiteitsmatrix
geworden
is:
1 3 3 1 0 0 1 0 0 7 −3 −3
1 3 4 0 1 0
~
0 1 0 −1 0 1
1 4 3 0 0 1 0 0 1 −1 1 0
Conclusie:
7 −3 −3
A-‐1
=
−1 0 1
−1 1 0
en
Technieken
voor
Algemeen
en
Financieel
Economisch
Onderzoek
Vrije
Universiteit
Amsterdam
Oktober
2013
, Inhoud
1. Matrix
Algebra
2. Differentiëren
3. Extreme
waarden
4. Optimalisatie
onder
voorwaarden
5. Integreren
6. Difference
equations
7. Kansrekening
, 1.
Matrix
Algebra
Inleiding
matrix
algebra
Een
lineair
systeem
van
vergelijkingen
(links)
kan
in
matrixvorm
(midden)
of
aangevulde
(augmented,
rechts)
matrixvorm
worden
weergegeven.
Doormiddel
van
het
vegen
van
de
matrix
kan
de
matrix
in
echelon
vorm
gebracht
worden.
Een
pivot
is
het
eerste
getal
dat
niet
nul
is
in
een
kolom.
Een
kolom
zonder
pivot
duidt
op
een
vrije
variabele.
Het
aantal
vrijheidsgraden
in
dit
voorbeeld
is
2.
Basisregels
bij
matrix
vermenigvuldiging
zijn:
Basisregels
matrix
vermenigvuldiging
(AB)C
=
A(BC)
A(B
+
C)
=
AB
+
AC
(A
+
B)C
=
AC
+
BC
De
identiteitsmatrix
is
de
matrix
die
bestaat
uit
alleen
enen
op
de
diagonaal,
en
verder
alleen
maar
nullen,
genoteerd
als
I:
1 0
0 1
De
nulmatrix
is
een
matrix
die
slechts
uit
nullen
bestaat,
genoteerd
als
O:
0 0
0 0
Matrices
die
slechts
uit
één
rij
of
uit
één
kolom
bestaan
worden
vectoren
genoemd,
en
worden
genoteerd
met
een
kleine
letter
en
een
streepje
of
een
pijl:
b
of
𝑏 → .
De
getransponeerde
versie
van
een
matrix
(transpose)
is
de
omgeklapte
versie
waarbij
alle
coëfficiënten
van
de
rijen
en
kolommen
omgewisseld
zijn.
,Naast
AT
is
een
getransponeerde
matrix
ook
te
noteren
als
A’.
Een
symmetrische
matrix
is
een
matrix
waarbij
geldt:
A
=
AT
.
Een
n
×
n
matrix
A
is
inverteerbaar
als
er
een
n
×
n
matrix
C
bestaat
waarbij
geldt:
CA
=
I
en
AC
=
I
In
dit
geval
is
C
de
inverse
van
A,
genoteerd
als
A-‐1
.
Er
geldt
dus
A
A
=
I
en
AA-‐1
=
I
-‐1
De
volgende
formule
wordt
gebruikt
om
de
inverse
van
een
2
×
2
matrix
uit
te
rekenen:
De
inverse
van
een
2
×
2
matrix
𝑎 𝑏
Laat
A
=
.
Als
ad
–
bc
≠
0
dan
is
A
inverteerbaar
en
𝑐 𝑑
! 𝑑 −𝑏
A-‐1
=
!"!!"
Als
ad
–
bc
=
0
dan
is
A
niet
inverteerbaar.
−𝑐 𝑎
In
het
geval
van
een
2
×
2
matrix
wordt
ad
–
bc
de
determinant
genoemd.
Dit
𝑎 𝑏
wordt
genoteerd
als
det
(A)
of
𝑨
=
.
De
determinant
van
een
tweede
𝑐 𝑑
orde
geeft
de
oppervlakte
die
door
de
vectoren
van
de
matrix
wordt
gevormd,
en
een
determinant
van
de
derde
orde
geeft
de
inhoud
hiervan.
De
determinant
van
een
matrix
van
een
derde
orde
of
hoger
is
als
volgt
te
berekenen.
Stel
𝑎!! 𝑎!" 𝑎!"
𝐀 = 𝑎!" 𝑎!! 𝑎!"
𝑎!" 𝑎!" 𝑎!!
Om
de
determinant
van
A
te
berekenen
is
het
handig
om
te
ontwikkelen
naar
de
rij
of
kolom
met
de
meeste
nullen.
De
drie
entries
van
de
betreffende
rij
of
kolom
vormen
dan
de
cofactoren.
Ontwikkelen
naar
bijvoorbeeld
de
eerste
rij:
𝑎!! 𝑎!" 𝑎!" 𝑎!" 𝑎!" 𝑎!!
𝐀 = 𝑎!! 𝑎 − 𝑎 + 𝑎 𝑎!" 𝑎!"
!" 𝑎!! 𝑎!" 𝑎!!
!" !"
De
cofactoren
zijn
hier
𝑎!! , 𝑎!"
en
𝑎!" .
Onthoud
hierbij
dat
de
tekens
voor
de
cofactoren
om
en
om
anders
zijn
(−
en
+),
waarbij
de
cofactor
linksboven
altijd
een
+-‐teken
heeft:
, Basisregels
voor
determinanten:
Laat
A
een
𝑛 × 𝑛
matrix
zijn.
Dan:
1. Als
alle
elementen
in
een
rij
(of
kolom)
van
A
gelijk
zijn
aan
0,
dan
𝐀 =
0.
2. 𝐀 = 𝐀′ .
3. Als
alle
elementen
in
dezelfde
rij
(of
kolom)
van
A
vermenigvuldigd
zijn
met
een
getal
𝛼,
dan
is
de
determinant
vermenigvuldigd
met
𝛼.
4. Als
twee
rijen
(of
twee
kolommen)
van
A
omgewisseld
zijn,
dan
verandert
de
determinant
van
teken.
5. Als
twee
rijen
(of
twee
kolommen)
van
A
aan
elkaar
gelijk
zijn,
dan
𝐀 = 0.
6. De
waarde
van
de
determinant
van
A
blijft
gelijk
wanneer
het
meervoud
van
een
rij
(of
kolom)
toegevoegd
is
aan
een
andere
rij
(of
kolom)
van
A.
7. De
determinant
van
het
product
van
twee
𝑛 × 𝑛
matrices
A
en
B
is
het
product
van
de
determinanten
van
beide
factoren:
𝐀𝐁 = 𝐀 𝐁
8. Als
𝛼
een
reëel
getal
is,
𝛼𝐀 = 𝛼 ! 𝐀
Basisregels
voor
de
inverse
van
een
matrix:
Laat
A
en
B
twee
inverteerbare
𝑛 × 𝑛
matrices
zijn,
dan:
1. A-‐1
is
inverteerbaar
en
(A-‐1)-‐1.
2. AB
is
inverteerbaar
en
(AB)-‐1
=
B-‐1A-‐1.
3. De
getransponeerde
A’
is
inverteerbaar
en
(A’)-‐1
=
(A-‐1)’.
4. (cA)-‐1
=
c-‐1A-‐1
als
c
een
getal
ongelijk
aan
0
is.
5. Een
matrix
A
heeft
geen
inverse
wanneer
𝐀 = 0.
Het
is
mogelijk
om
de
inverse
van
een
𝑛 × 𝑛
matrix
te
vinden
op
de
volgende
wijze.
Stel
A
is
een
inverteerbare
3 × 3
matrix.
Zet
hiernaast
de
3 × 3
identiteitsmatrix,
I3:
1 3 3 1 0 0
𝐀|𝐼! = 1 3 4 0 1 0
1 4 3 0 0 1
Veeg
nu
de
matrix
totdat
de
linkermatrix
de
identiteitsmatrix
geworden
is:
1 3 3 1 0 0 1 0 0 7 −3 −3
1 3 4 0 1 0
~
0 1 0 −1 0 1
1 4 3 0 0 1 0 0 1 −1 1 0
Conclusie:
7 −3 −3
A-‐1
=
−1 0 1
−1 1 0
