Hele getallen – Reken-wiskundedidactiek
2e druk, 2014
Hoofdstuk 2 – ontluikende gecijferdheid
2.1 Schets van de leerlijn tellen en getalbegrip
Contextgebonden handelen en redeneren > objectgebonden handelen en redeneren > formeel
handelen en redeneren
Betekenissen en functies van getallen > rekenvoorwaarden > contextgebonden tellen > object
gebonden tellen > ordenen, structureren en vergelijken van aantallen en hoeveelheden > formeel
tellen > ordenen, structureren en vergelijken van getallen en hoeveelheden.
Voorschools en groep 1-2 > groep 1-3 > groep 2-3 en verder
2.2 Elementair getalbegrip
Elementair getalbegrip: het verkennen van de verschillende betekenissen en functies van getallen en
het verkennen van de opbouw van getallen.
Betekenisvolle situatie: door in allerlei soort situaties te tellen en er plezier in te hebben (zingen,
spelletjes) waarbij ze bezig zijn met het verkennen van getallen en getalrelaties.
Wiskundige wereldoriëntatie: leren van reken-wiskundige begrippen en het vergoten van
handelingsmogelijkheden van kinderen.
Rijke leeromgeving: nodigt leerlingen uit om activiteiten te ontplooien in voor kinderen
betekenisvolle situaties waaruit een wiskundig probleem op een min of meer natuurlijke manier
ontstaat > hoeveel borden zijn er nodig?
Zone van de naaste ontwikkeling: de leerkracht zorgt ervoor dat hij aansluit bij wat de leerling
zonder begeleiding nog net niet kan doen, maar met begeleiding al wel.
2.2.1 Leren tellen
Tellen/telrij: door veel te tellen (zingen, rijmpjes) krijgen kinderen steeds meer grip op de telrij.
Tot 15 zit er geen duidelijk systeem in de telwoorden. Doordat kinderen de namen en de volgorde van
de getallen speels oefenen inprenten, lukt het tellen tot tien en verder al snel.
Één-één-relatie: wordt gebruikt wanneer de te vergelijken hoeveelheid te groot is om te tellen
omdat het tellen nog niet zo ver wordt beheerst, zijn de hoeveelheden hiermee te vergelijken. Het
gaat hierbij om een één-op-één-koppeling: er zijn evenveel traktaties als kinderen, voor ieder potje is
er een dekseltje.
Hoeveelheden herkennen: kleuters herkennen kleine hoeveelheden > twee stukjes brood
Subiteren: direct / onmiddellijk zien > twee stukjes brood op het bord
Akoestisch tellen: wanneer de telrij hardop wordt opgezegd > in een versje.
Asynchroon tellen: kinderen tellen hoeveelheden één voor één, maar aanwijzen en hardop tellen
gaan nog niet gelijk op > nummeren is hierbij essentieel: het inzicht dat aan objecten een nummer
kan worden toegekend.
,Synchroon tellen: het kind kan tegelijkertijd voorwerpen aanwijzen en het juiste telwoord noemen.
Om dit te stimuleren kun je bij het tellen van een rij objecten – zoals blokjes – deze objecten één voor
één weg schuiven > de één-één-relatie tussen het telwoord en het weggeschoven object wordt dan
eerder gelegd.
Resultatief tellen: kinderen zijn in staat om een hoeveelheid te tellen en al aanwijzend de juiste
telwoorden te gebruiken. Tellen verloopt synchroon en kinderen kunnen het resultaat (de uitkomst)
van het tellen aangeven.
Een kind kan resultief tellen als het:
- Telrij in de juiste volgorde opzegt
- Een correcte één-op-één-relatie legt tussen de gebruikte telwoorden en de getelde
voorwerpen
- Begrijpt dat het laatst genoemde getal het aantal getelde voorwerpen aangeeft. Het kind
maakt dan een koppeling tussen het telgetal en het hoeveelheidsgetal, oftewel tussen het
ordinale (rangorde) en het kardinale (hoeveelheid) getalaspect.
Verkort tellen en terugtellen: het kind leert de telhandeling te structureren en verkorte
telstrategieën te hanteren > een vorm van verkort tellen zijn: doortellen en tellen met sprongen.
Contextgebonden tellen: betekenisvol tellen > aantal kaarsjes op de taart laat zien hoe oud de jarige
is geworden.
Objectgebonden tellen: het tellen van dingen, zonder specifieke betekenis > blokken.
Formeel tellen: meest abstracte vorm van tellen > kind kan los van de context of objecten flexibel
tellen: resultief, verkort en op een gegeven moment ook terug.
2.2.2 Rekenvoorwaarden
Rekenvoorwaarden: alle aspecten van de ontluikende gecijferdheid > kennis van aantallen,
betekenissen van getallen, cijfersymbolen, meten en maatbegrip.
Resultatief en verkort tellen zijn de belangrijkste voor groep 3.
Vier belangrijke rekenvoorwaarden:
1. Conservatie: inzien dat een hoeveelheid hetzelfde blijft, ookal verandert de vorm.
2. Correspondentie: het kunnen leggen van één-op-één relaties > belangrijk bij het synchroon
tellen.
3. Classificatie: maken van groepen op basis van één of meer gemeenschappelijke kenmerken.
4. Seriatie: aanbrengen van een volgorde > klein, kleiner, kleinst
Rekentaal: taalbegrippen > voor, naast, achter, links, rechts, hoog, hoger, hoogst, klein , groot, etc.
2.2.3 Betekenissen van getallen
Verschillende betekenissen van getallen:
- Hoeveelheidsgetal / kardinaal getal: geeft bepaalde hoeveelheid aan.
- Telgetal / ordinaal getal: geeft de rangorde aan in de telrij, maar ook een nummer > de
derde of nummer 7.
- Meetgetal: geeft een maat aan > in een grote kan past twee liter water.
- Naamgetal: het getal geeft vooral een aanduiding > snelweg A4.
- Formeel getal: kaal rekengetal > 3 + 2 = 5.
2.2.4 Symboliseren
, Symboliseren: symboliseren van een hoeveelheid > 3 vingers opsteken om aan te geven dat ze 3 jaar
zijn.
Hoofdstuk 3 – Aanvankelijk rekenen
3.1 Schets van de leerlijn en aanvankelijk rekenen
Contextgebonden handelen en redeneren > objectgebonden handelen en redeneren > formeel
handelen en redeneren
Getalbegrip: tellen, getal structureren, splitsen > betekenissen van bewerkingen optellen en
aftrekken > structurerend redeneren en rekenen: optellen en aftrekken > formeel redeneren en
rekenen: optellen en aftrekken
Groep 3/4
3.2 Verder werken aan getalbegrip
Basale gecijferdheid: gaat om verschillende betekenissen van getallen en betekenissen van en inzicht
in de basisbewerkingen in de onderbouw.
Aanvankelijk rekenen: hierbij gaat het eerst om optellen en aftrekken. Hiermee wordt meestal het
redeneren en rekenen met getallen tot 20 bedoeld, maar het omvat ook het formeel tellen met
grotere getallen.
In groep 3 wordt dit verder geoefend en al snel uitgebreid naar het getalgebied tot en met 100 door:
verder tellen en terugtellen vanaf willekeurig getal en tellen met sprongen.
Ankergetal: steunpunt tijdens het tellen > 5, 10, 15, 20
Ordenen: volgorde en de plaats van getallen ten opzichte van elkaar.
Positioneren/lokaliseren: plaatsen van getallen op de (lege) getallenlijn. Hierbij gaat het wel om de
onderlinge afstand tussen de getallenlijn > het getal 35 precies positioneren tussen 30 en 40.
Orde van grootte: getallen lokaliseren door gebruik te maken van structuur van de telrij en
ankerpunten dragen bij aan de ontwikkeling van de groei van het gevoel van orde van grootte.
Getal structuur: waarbij leerlingen getallen structureren en hoeveelheden ordenen met behulp van:
vijfstructuur (getallen tot 20), tienstructuur (8 en 2 samen is 10) en dubbelstructuur (dubbele van 6
is 12).
Decimale structuur: wordt gebruikt bij grotere getallen.
- Interne structuur: van getallen in tientallen en eenheden > 48 is 40 en 8.
- Externe structuur > 48 is 50 en 2 eraf.
Nul: een getal apart > nul verschijnt wanneer er niets overblijft of niets verandert.
Getallenlijn: wordt gebruikt bij oefeningen met tellen, ordenen, positioneren en ter ondersteuning
van het uitvoeren van de bewerkingen.
Hierbij kun je zowel het kardinale (hoeveelheid, hoeveel kralen) en het ordinale (de
rangorde, de hoeveelste kraal) zien.
Bij de overstap van kralenketting naar getallenlijn gaat het om het kardinale getalaspect.
2e druk, 2014
Hoofdstuk 2 – ontluikende gecijferdheid
2.1 Schets van de leerlijn tellen en getalbegrip
Contextgebonden handelen en redeneren > objectgebonden handelen en redeneren > formeel
handelen en redeneren
Betekenissen en functies van getallen > rekenvoorwaarden > contextgebonden tellen > object
gebonden tellen > ordenen, structureren en vergelijken van aantallen en hoeveelheden > formeel
tellen > ordenen, structureren en vergelijken van getallen en hoeveelheden.
Voorschools en groep 1-2 > groep 1-3 > groep 2-3 en verder
2.2 Elementair getalbegrip
Elementair getalbegrip: het verkennen van de verschillende betekenissen en functies van getallen en
het verkennen van de opbouw van getallen.
Betekenisvolle situatie: door in allerlei soort situaties te tellen en er plezier in te hebben (zingen,
spelletjes) waarbij ze bezig zijn met het verkennen van getallen en getalrelaties.
Wiskundige wereldoriëntatie: leren van reken-wiskundige begrippen en het vergoten van
handelingsmogelijkheden van kinderen.
Rijke leeromgeving: nodigt leerlingen uit om activiteiten te ontplooien in voor kinderen
betekenisvolle situaties waaruit een wiskundig probleem op een min of meer natuurlijke manier
ontstaat > hoeveel borden zijn er nodig?
Zone van de naaste ontwikkeling: de leerkracht zorgt ervoor dat hij aansluit bij wat de leerling
zonder begeleiding nog net niet kan doen, maar met begeleiding al wel.
2.2.1 Leren tellen
Tellen/telrij: door veel te tellen (zingen, rijmpjes) krijgen kinderen steeds meer grip op de telrij.
Tot 15 zit er geen duidelijk systeem in de telwoorden. Doordat kinderen de namen en de volgorde van
de getallen speels oefenen inprenten, lukt het tellen tot tien en verder al snel.
Één-één-relatie: wordt gebruikt wanneer de te vergelijken hoeveelheid te groot is om te tellen
omdat het tellen nog niet zo ver wordt beheerst, zijn de hoeveelheden hiermee te vergelijken. Het
gaat hierbij om een één-op-één-koppeling: er zijn evenveel traktaties als kinderen, voor ieder potje is
er een dekseltje.
Hoeveelheden herkennen: kleuters herkennen kleine hoeveelheden > twee stukjes brood
Subiteren: direct / onmiddellijk zien > twee stukjes brood op het bord
Akoestisch tellen: wanneer de telrij hardop wordt opgezegd > in een versje.
Asynchroon tellen: kinderen tellen hoeveelheden één voor één, maar aanwijzen en hardop tellen
gaan nog niet gelijk op > nummeren is hierbij essentieel: het inzicht dat aan objecten een nummer
kan worden toegekend.
,Synchroon tellen: het kind kan tegelijkertijd voorwerpen aanwijzen en het juiste telwoord noemen.
Om dit te stimuleren kun je bij het tellen van een rij objecten – zoals blokjes – deze objecten één voor
één weg schuiven > de één-één-relatie tussen het telwoord en het weggeschoven object wordt dan
eerder gelegd.
Resultatief tellen: kinderen zijn in staat om een hoeveelheid te tellen en al aanwijzend de juiste
telwoorden te gebruiken. Tellen verloopt synchroon en kinderen kunnen het resultaat (de uitkomst)
van het tellen aangeven.
Een kind kan resultief tellen als het:
- Telrij in de juiste volgorde opzegt
- Een correcte één-op-één-relatie legt tussen de gebruikte telwoorden en de getelde
voorwerpen
- Begrijpt dat het laatst genoemde getal het aantal getelde voorwerpen aangeeft. Het kind
maakt dan een koppeling tussen het telgetal en het hoeveelheidsgetal, oftewel tussen het
ordinale (rangorde) en het kardinale (hoeveelheid) getalaspect.
Verkort tellen en terugtellen: het kind leert de telhandeling te structureren en verkorte
telstrategieën te hanteren > een vorm van verkort tellen zijn: doortellen en tellen met sprongen.
Contextgebonden tellen: betekenisvol tellen > aantal kaarsjes op de taart laat zien hoe oud de jarige
is geworden.
Objectgebonden tellen: het tellen van dingen, zonder specifieke betekenis > blokken.
Formeel tellen: meest abstracte vorm van tellen > kind kan los van de context of objecten flexibel
tellen: resultief, verkort en op een gegeven moment ook terug.
2.2.2 Rekenvoorwaarden
Rekenvoorwaarden: alle aspecten van de ontluikende gecijferdheid > kennis van aantallen,
betekenissen van getallen, cijfersymbolen, meten en maatbegrip.
Resultatief en verkort tellen zijn de belangrijkste voor groep 3.
Vier belangrijke rekenvoorwaarden:
1. Conservatie: inzien dat een hoeveelheid hetzelfde blijft, ookal verandert de vorm.
2. Correspondentie: het kunnen leggen van één-op-één relaties > belangrijk bij het synchroon
tellen.
3. Classificatie: maken van groepen op basis van één of meer gemeenschappelijke kenmerken.
4. Seriatie: aanbrengen van een volgorde > klein, kleiner, kleinst
Rekentaal: taalbegrippen > voor, naast, achter, links, rechts, hoog, hoger, hoogst, klein , groot, etc.
2.2.3 Betekenissen van getallen
Verschillende betekenissen van getallen:
- Hoeveelheidsgetal / kardinaal getal: geeft bepaalde hoeveelheid aan.
- Telgetal / ordinaal getal: geeft de rangorde aan in de telrij, maar ook een nummer > de
derde of nummer 7.
- Meetgetal: geeft een maat aan > in een grote kan past twee liter water.
- Naamgetal: het getal geeft vooral een aanduiding > snelweg A4.
- Formeel getal: kaal rekengetal > 3 + 2 = 5.
2.2.4 Symboliseren
, Symboliseren: symboliseren van een hoeveelheid > 3 vingers opsteken om aan te geven dat ze 3 jaar
zijn.
Hoofdstuk 3 – Aanvankelijk rekenen
3.1 Schets van de leerlijn en aanvankelijk rekenen
Contextgebonden handelen en redeneren > objectgebonden handelen en redeneren > formeel
handelen en redeneren
Getalbegrip: tellen, getal structureren, splitsen > betekenissen van bewerkingen optellen en
aftrekken > structurerend redeneren en rekenen: optellen en aftrekken > formeel redeneren en
rekenen: optellen en aftrekken
Groep 3/4
3.2 Verder werken aan getalbegrip
Basale gecijferdheid: gaat om verschillende betekenissen van getallen en betekenissen van en inzicht
in de basisbewerkingen in de onderbouw.
Aanvankelijk rekenen: hierbij gaat het eerst om optellen en aftrekken. Hiermee wordt meestal het
redeneren en rekenen met getallen tot 20 bedoeld, maar het omvat ook het formeel tellen met
grotere getallen.
In groep 3 wordt dit verder geoefend en al snel uitgebreid naar het getalgebied tot en met 100 door:
verder tellen en terugtellen vanaf willekeurig getal en tellen met sprongen.
Ankergetal: steunpunt tijdens het tellen > 5, 10, 15, 20
Ordenen: volgorde en de plaats van getallen ten opzichte van elkaar.
Positioneren/lokaliseren: plaatsen van getallen op de (lege) getallenlijn. Hierbij gaat het wel om de
onderlinge afstand tussen de getallenlijn > het getal 35 precies positioneren tussen 30 en 40.
Orde van grootte: getallen lokaliseren door gebruik te maken van structuur van de telrij en
ankerpunten dragen bij aan de ontwikkeling van de groei van het gevoel van orde van grootte.
Getal structuur: waarbij leerlingen getallen structureren en hoeveelheden ordenen met behulp van:
vijfstructuur (getallen tot 20), tienstructuur (8 en 2 samen is 10) en dubbelstructuur (dubbele van 6
is 12).
Decimale structuur: wordt gebruikt bij grotere getallen.
- Interne structuur: van getallen in tientallen en eenheden > 48 is 40 en 8.
- Externe structuur > 48 is 50 en 2 eraf.
Nul: een getal apart > nul verschijnt wanneer er niets overblijft of niets verandert.
Getallenlijn: wordt gebruikt bij oefeningen met tellen, ordenen, positioneren en ter ondersteuning
van het uitvoeren van de bewerkingen.
Hierbij kun je zowel het kardinale (hoeveelheid, hoeveel kralen) en het ordinale (de
rangorde, de hoeveelste kraal) zien.
Bij de overstap van kralenketting naar getallenlijn gaat het om het kardinale getalaspect.
