Statistiek 1A
Meetniveaus:
Nominale schaal
- Wijst waarneming toe aan ongeordende categorieën
Ordinale schaal
- Wijst waarnemingen toe aan geordende categorieën
Interval/ratio schaal
- Wijst scores toe op een schaal met kwantitatieve informatie
- De uitkomsten van berekeningen zijn zinvol te interpreteren
Discrete data: getallen ‘ertussenin’ hebben geen betekenis (vaak nominaal en ordinaal).
Continue data: getallen ‘ertussenin’ hebben wel betekenis.
De keuze van een bepaalde plot/grafiek is afhankelijk va het meetniveau van je variabele.
Kwalitief/categorisch: bar graph of pie chart (nominaal/ordinaal).
Kwantitatief: histogram of stemplot (interval/ratio).
Histogram – elke staaf is een klasse; geen ruimte tussen de klassen; alle klassen hebben dezelfde
breedte; hoogte van klasse is aantal waarnemingen; klassen bevatten ranges van getallen.
Centrum van de data:
- Mediaan: ‘middelste’ getal
- Mean/gemiddelde (som van afwijkingen is 0)
- Modus: meest voorkomende getal
Spreiding:
- Range = max – min
- Variantie: hoe ver, gemiddeld, liggen de waarnemingen af van het gemiddelde?
- Standaarddeviatie: wortel van variantie
- Interkwartielafstand/interquartile range (IQR): verschil tussen Q1 en Q3.
Eerste kwartiel (Q1): mediaan van de laagste 50% van de waarnemingen
Tweede kwartiel (Q2): mediaan van de waarnemingen (mediaan niet meenemen bij
oneven aantal bij Q1 en Q3, wel bij even aantal)
Derde kwartiel (Q3): mediaan van de hoogste 50% van de waarnemingen
Five number summary: minimum, eerste kwartiel (Q1), mediaan (Q2), derde kwartiel (Q3), maximum
(box plot).
Outlier: waarneming die verder afligt dan 1.5 x IQR.
- Onder Q1 of boven Q3; geen harde beslisregel.
Doel onderzoek: op grond van eigenschappen van de steekproef, de eigenschappen in populatie
schatten binnen acceptabele betrouwbaarheidsgrenzen (inferentiële statistiek).
Sampling distribution = de verdeling van waarden die de statistic aan kan nemen in alle mogelijke
steekproeven van dezelfde grootte uit dezelfde populatie.
De vorm van een histogram verandert als je een andere klassenindeling kiest.
Density curve: geeft aan welk deel van de scores in een willekeurig te kiezen interval vallen.
- Totale oppervlakte onder curve = 1
, - Oppervlak boven bepaald interval van waarden geeft welk deel van de scores in dit
interval viel.
- Geeft geen frequenties! y-waarde niet interpreteerbaar.
- Modus: score waar grafiek hoogst is (top).
- Mediaan: score die de oppervlakte verdeelt in twee gelijke delen.
- Gemiddelde: punt waarop grafiek in balans is (vaak meer richting de staart).
- Symmetrische (unimodale) verdeling: mediaan = gemiddelde = modus (normale
verdeling).
Normaalcurve hangt alleen af van gemiddelde en st. dev.
Normale verdeling
68-95-99.7 vuistregel
Gemiddelde +/- 1/2/3 st dev.
Verdeling van z-scores: gemiddelde = 0, st. dev = 1 (standaardnormale verdeling).
- Z-score = aantal sd dat score X boven/onder het populatiegemiddelde ligt.
P(Z<1.96) heet ‘left tail probability’ voor Z = 1.96
P (X>-1.2) heet ‘right tail probability’ voor X=-1.2
Normaliteit onderzoeken kan d.m.v. normal quantile plots (rechte lijn).
Grafische weergave van twee kwantitatieve variabelen: scatterplot (gemeten bij dezelfde persoon).
Afhankelijke variabele (response variabele) (y-as) is een meting/waarneming van een
uitkomst (variabele die je wilt voorspellen).
Een onafhankelijke variabele (explanatory variable) (x-as) verklaart de verandering in de
response variable (variabele die je gebruikt bij voorspellen (oorzaak)).
Bij scatterplots kijken naar richting, sterkte en vorm.
Covariantie en correlatie
Correlatiecoëfficiënt r meet de richting en de sterkte van de lineaire relatie tussen twee
kwantitatieve variabelen maat voor de sterkte van de lineaire relatie.
- Gevoelig voor outliers.
- Correlatie is de gestandaardiseerde covariantie.
Regressie: toetst de sterkte van relatie tussen de independent (x) en dependent (y) variabele.
Y = b0 + b1x
- B1 is helling/slope (toename van y als x met 1 eenheid toeneemt).
- B0 is intercept (waarde van y als x = 0).
Prediction error = residu (verticale afstand van elk punt tot aan lijn).
- De ‘beste’ regressielijn vinden door minimaliseren van de error lijn met de kleinste
kwadratensom van de residuen, ofwel least sum squared error.
- Som van residuen is altijd 0!
Association gaat over prediction hoe goed kan ik Y voorspellen met X?
Regressie: fit
% Verklaarde variantie: hoeveel variantie in Y wordt verklaard met de regressie (X)? (=r^2).
Percentage variantie in y verklaard door veranderingen in x.
- Kwadraat van correlatie.
- Maat voor de fit van de regressielijn.
Correlatie en geschatte regressielijn zijn gevoelig voor outliers niet resistent.
Residual plot is een grafische weergave van de residuen:
, - Als residuen rondom 0, dan waarschijnlijk: een lineair model, normaal verdeelde
residuen, geen outliers.
Residuels random gespreid: goed.
Curved patroon: samenhang wellicht niet lineair.
Causaliteit en associatie
Pure causaliteit (in experiment: manipuleer variabele).
Redenen waarom twee variabelen samenhangen, maar geen oorzaak-gevolg relatie (e.g., lurking
variable, derde variable):
Common response (veranderingen in z leiden tot veranderingen in x en y).
Confounding/verstrengeling (de effecten van twee variabelen op de response variabele zijn
verstrengeld (confounded) en kunnen niet onderscheidt worden). geen onderscheid
tussen de effecten van deze variabelen op de afhankelijke variabele.
- Voorkomen kan door randomisatie in een experiment.
Two way tables (kruistabellen) – samenhang tussen twee categorische variabelen (verschilende
niveaus voor elke factor).
- Marginale verdeling: rijtotaal en kolomtotaal.
- Conditionele verdeling: % van de kolom (kijken naar beide categorische variabelen).
Simpson’s paradox – de samenhang omdraaien wanneer rekening wordt gehouden met de derde
variabele (lurking variabele).
Lurking variabele = een variabele die mogelijk van invloed is op een response variabele.
Samenhangmaten
Pearson correlatie r: interval/ratio, lineair verband.
Spearman correlatie & Kendall’s tau: ordinale data, niet-lineair verband, uitbijters.
- Spearman’s rho p = correlatie tussen rangscores.
- Kendall’s tau t: gebaseerd op telling van aantal paren
Concordante paren: paren waarvoor expert 1 dezelfde ordening geeft als expert 2.
Discordante paren: paren waarvoor expert 1 een andere ordening geeft dan expert 2.
Ordening gelijk monotoon stijgend verband Kendall’s tau en spearman’s rho = 1.
Omgekeerde ordening monotoon dalend Kendall’s tau en spearman’s rho = -1.
Randomisatie
Volledig gerandomiseerd design
Matched pairs design – proefpersonen gekoppeld in paren – ene person behandeling A en
andere behandeling B, random toegewezen.
Block design – alleen randomisatie binnen bepaalde groepen/blocks
Bij een experiment hoeft de onderzoeksgroep niet noodzakelijkerwijs een representatieve groep te
zijn.
Belangrijk bij steekproeftrekken: random trekken en onafhankelijk trekken van proefpersonen.
Populatie: parameter (griekse letters)
Steekproef: statistic (latijnse letters) - parameterschatting
Sampling designs:
Voluntary response sample: selectie van subjects door deelnemers zelf (niet-representatief).
Convencience sample (kan niet-representatief zijn).
Simple random sample: leden uit de populatie worden geselecteerd, zodanig dat iedereen
een even grote kans heeft om in de steekproef te komen.
Stratified random sample: SRSs uit verschillende subpopulaties (strata).
Meetniveaus:
Nominale schaal
- Wijst waarneming toe aan ongeordende categorieën
Ordinale schaal
- Wijst waarnemingen toe aan geordende categorieën
Interval/ratio schaal
- Wijst scores toe op een schaal met kwantitatieve informatie
- De uitkomsten van berekeningen zijn zinvol te interpreteren
Discrete data: getallen ‘ertussenin’ hebben geen betekenis (vaak nominaal en ordinaal).
Continue data: getallen ‘ertussenin’ hebben wel betekenis.
De keuze van een bepaalde plot/grafiek is afhankelijk va het meetniveau van je variabele.
Kwalitief/categorisch: bar graph of pie chart (nominaal/ordinaal).
Kwantitatief: histogram of stemplot (interval/ratio).
Histogram – elke staaf is een klasse; geen ruimte tussen de klassen; alle klassen hebben dezelfde
breedte; hoogte van klasse is aantal waarnemingen; klassen bevatten ranges van getallen.
Centrum van de data:
- Mediaan: ‘middelste’ getal
- Mean/gemiddelde (som van afwijkingen is 0)
- Modus: meest voorkomende getal
Spreiding:
- Range = max – min
- Variantie: hoe ver, gemiddeld, liggen de waarnemingen af van het gemiddelde?
- Standaarddeviatie: wortel van variantie
- Interkwartielafstand/interquartile range (IQR): verschil tussen Q1 en Q3.
Eerste kwartiel (Q1): mediaan van de laagste 50% van de waarnemingen
Tweede kwartiel (Q2): mediaan van de waarnemingen (mediaan niet meenemen bij
oneven aantal bij Q1 en Q3, wel bij even aantal)
Derde kwartiel (Q3): mediaan van de hoogste 50% van de waarnemingen
Five number summary: minimum, eerste kwartiel (Q1), mediaan (Q2), derde kwartiel (Q3), maximum
(box plot).
Outlier: waarneming die verder afligt dan 1.5 x IQR.
- Onder Q1 of boven Q3; geen harde beslisregel.
Doel onderzoek: op grond van eigenschappen van de steekproef, de eigenschappen in populatie
schatten binnen acceptabele betrouwbaarheidsgrenzen (inferentiële statistiek).
Sampling distribution = de verdeling van waarden die de statistic aan kan nemen in alle mogelijke
steekproeven van dezelfde grootte uit dezelfde populatie.
De vorm van een histogram verandert als je een andere klassenindeling kiest.
Density curve: geeft aan welk deel van de scores in een willekeurig te kiezen interval vallen.
- Totale oppervlakte onder curve = 1
, - Oppervlak boven bepaald interval van waarden geeft welk deel van de scores in dit
interval viel.
- Geeft geen frequenties! y-waarde niet interpreteerbaar.
- Modus: score waar grafiek hoogst is (top).
- Mediaan: score die de oppervlakte verdeelt in twee gelijke delen.
- Gemiddelde: punt waarop grafiek in balans is (vaak meer richting de staart).
- Symmetrische (unimodale) verdeling: mediaan = gemiddelde = modus (normale
verdeling).
Normaalcurve hangt alleen af van gemiddelde en st. dev.
Normale verdeling
68-95-99.7 vuistregel
Gemiddelde +/- 1/2/3 st dev.
Verdeling van z-scores: gemiddelde = 0, st. dev = 1 (standaardnormale verdeling).
- Z-score = aantal sd dat score X boven/onder het populatiegemiddelde ligt.
P(Z<1.96) heet ‘left tail probability’ voor Z = 1.96
P (X>-1.2) heet ‘right tail probability’ voor X=-1.2
Normaliteit onderzoeken kan d.m.v. normal quantile plots (rechte lijn).
Grafische weergave van twee kwantitatieve variabelen: scatterplot (gemeten bij dezelfde persoon).
Afhankelijke variabele (response variabele) (y-as) is een meting/waarneming van een
uitkomst (variabele die je wilt voorspellen).
Een onafhankelijke variabele (explanatory variable) (x-as) verklaart de verandering in de
response variable (variabele die je gebruikt bij voorspellen (oorzaak)).
Bij scatterplots kijken naar richting, sterkte en vorm.
Covariantie en correlatie
Correlatiecoëfficiënt r meet de richting en de sterkte van de lineaire relatie tussen twee
kwantitatieve variabelen maat voor de sterkte van de lineaire relatie.
- Gevoelig voor outliers.
- Correlatie is de gestandaardiseerde covariantie.
Regressie: toetst de sterkte van relatie tussen de independent (x) en dependent (y) variabele.
Y = b0 + b1x
- B1 is helling/slope (toename van y als x met 1 eenheid toeneemt).
- B0 is intercept (waarde van y als x = 0).
Prediction error = residu (verticale afstand van elk punt tot aan lijn).
- De ‘beste’ regressielijn vinden door minimaliseren van de error lijn met de kleinste
kwadratensom van de residuen, ofwel least sum squared error.
- Som van residuen is altijd 0!
Association gaat over prediction hoe goed kan ik Y voorspellen met X?
Regressie: fit
% Verklaarde variantie: hoeveel variantie in Y wordt verklaard met de regressie (X)? (=r^2).
Percentage variantie in y verklaard door veranderingen in x.
- Kwadraat van correlatie.
- Maat voor de fit van de regressielijn.
Correlatie en geschatte regressielijn zijn gevoelig voor outliers niet resistent.
Residual plot is een grafische weergave van de residuen:
, - Als residuen rondom 0, dan waarschijnlijk: een lineair model, normaal verdeelde
residuen, geen outliers.
Residuels random gespreid: goed.
Curved patroon: samenhang wellicht niet lineair.
Causaliteit en associatie
Pure causaliteit (in experiment: manipuleer variabele).
Redenen waarom twee variabelen samenhangen, maar geen oorzaak-gevolg relatie (e.g., lurking
variable, derde variable):
Common response (veranderingen in z leiden tot veranderingen in x en y).
Confounding/verstrengeling (de effecten van twee variabelen op de response variabele zijn
verstrengeld (confounded) en kunnen niet onderscheidt worden). geen onderscheid
tussen de effecten van deze variabelen op de afhankelijke variabele.
- Voorkomen kan door randomisatie in een experiment.
Two way tables (kruistabellen) – samenhang tussen twee categorische variabelen (verschilende
niveaus voor elke factor).
- Marginale verdeling: rijtotaal en kolomtotaal.
- Conditionele verdeling: % van de kolom (kijken naar beide categorische variabelen).
Simpson’s paradox – de samenhang omdraaien wanneer rekening wordt gehouden met de derde
variabele (lurking variabele).
Lurking variabele = een variabele die mogelijk van invloed is op een response variabele.
Samenhangmaten
Pearson correlatie r: interval/ratio, lineair verband.
Spearman correlatie & Kendall’s tau: ordinale data, niet-lineair verband, uitbijters.
- Spearman’s rho p = correlatie tussen rangscores.
- Kendall’s tau t: gebaseerd op telling van aantal paren
Concordante paren: paren waarvoor expert 1 dezelfde ordening geeft als expert 2.
Discordante paren: paren waarvoor expert 1 een andere ordening geeft dan expert 2.
Ordening gelijk monotoon stijgend verband Kendall’s tau en spearman’s rho = 1.
Omgekeerde ordening monotoon dalend Kendall’s tau en spearman’s rho = -1.
Randomisatie
Volledig gerandomiseerd design
Matched pairs design – proefpersonen gekoppeld in paren – ene person behandeling A en
andere behandeling B, random toegewezen.
Block design – alleen randomisatie binnen bepaalde groepen/blocks
Bij een experiment hoeft de onderzoeksgroep niet noodzakelijkerwijs een representatieve groep te
zijn.
Belangrijk bij steekproeftrekken: random trekken en onafhankelijk trekken van proefpersonen.
Populatie: parameter (griekse letters)
Steekproef: statistic (latijnse letters) - parameterschatting
Sampling designs:
Voluntary response sample: selectie van subjects door deelnemers zelf (niet-representatief).
Convencience sample (kan niet-representatief zijn).
Simple random sample: leden uit de populatie worden geselecteerd, zodanig dat iedereen
een even grote kans heeft om in de steekproef te komen.
Stratified random sample: SRSs uit verschillende subpopulaties (strata).
