Wiskunde
De cirkel
Les 4:
Definitie van een cirkel
Een cirkel is de verzameling van
alle punten van het vlak die op een
gelijke afstand liggen van een
gegeven (middel)punt.
[AB] = koorde
|AB| = koorde
XY = middellijn
[XY] = middellijn
|XY| = diameter
[MC] = straal
[MP] = apothema
|MP| = apothema
|lengte lijnstuk|
[lijnstuk]
Po = 2 . r . π
Ao = r . r . π
Constructie omgeschreven cirkel:
1) Construeer de middelloodlijn van beide zijdes.
2) Construeer het snijpunt van de rechten.
3) Construeer de cirkel c(M, |MA|).
Oef: 1, 2, 3, 4, 28, 31 en 36.
,Les 5:
Kenmerk ‘apothema – koorde’
In een cirkel verdeelt het apothema op een koorde de cirkel
middendoor.
Gevolgen:
1) De middelloodlijn van een koorde gaat door het middelpunt van een cirkel.
2) Elke middelloodlijn van een cirkel is een symmetrias van die cirkel.
Deel1: bewijs kenmerk ‘apothema – koorde’
Formulering: In een cirkel verdeelt het apothema op een koorde deze
middendoor.
Gegeven: cirkel c(M,r), koorde [AB], apothema [MS] op koorde [AB]
Te bewijzen: |AS|=|SB|
Bewijs: Δ MAS = Δ MBS (I) want Z: |MA| = |MB| = r
Z: |MS| is gemeenschappelijk.
H: s^ 1=^s2=¿ ¿ 90°
(I) (ZZ90°) Twee rechthoekige driehoeken zijn congruent als ze twee zijden hebben, die even
groot zijn.
Deel2: bewijs kenmerk ‘apothema -koorde’
Formulering: In een cirkel is het lijnstuk dat het midden van een
koorde verbindt met het middelpunt van de cirkel het apothema van
die koorde.
Gegeven: cirkel c(M,r), koorde [AB], S is midden van [AB]/|AS|=|SB|
Te bewijzen: [MS] is apothema van de koorde [AB].
Bewijs: Δ MAS = Δ MBS (I) want Z: |MA| = |MB| = r
Z: |MS| is gemeenschappelijk.
Z: |AS| = |SB|
180o 0
s^ 1= ^s2= = 90
2
[MS] is het apothema van de koorde [AB].
(I)(ZZZ) Twee driehoeken zijn congruent als ze 3 zijden hebben die even groot zijn.
Oef: 5, 6, 49, 52, 57 en 58
Les 6:
, Onderlinge ligging van een rechte en een cirkel
Als een rechte en een cirkel twee
punten gemeen hebben, dan snijdt
de rechte de cirkel in 2 verschillende
snijpunten.
Dit gebeurt als de afstand van het
middelpunt tot de rechte kleiner is
dan de straal.
D(M,a) < r
Als een rechte en een cirkel 1 punt
gemeen hebben, dan raakt de rechte
de cirkel in 1 raakpunt.
Dit gebeurt als de afstand van het
middelpunt gelijk is aan de straal
van de cirkel.
D(M,a) = r
Als een rechte en een cirkel geen
punt gemeen hebben, dan zijn de
rechte en de cirkel disjunct.
Dit gebeurt als de afstand van het
middelpunt en de rechte groter is
dan de straal.
D(M,a) > r
Het raaklijnencriterium:
De cirkel
Les 4:
Definitie van een cirkel
Een cirkel is de verzameling van
alle punten van het vlak die op een
gelijke afstand liggen van een
gegeven (middel)punt.
[AB] = koorde
|AB| = koorde
XY = middellijn
[XY] = middellijn
|XY| = diameter
[MC] = straal
[MP] = apothema
|MP| = apothema
|lengte lijnstuk|
[lijnstuk]
Po = 2 . r . π
Ao = r . r . π
Constructie omgeschreven cirkel:
1) Construeer de middelloodlijn van beide zijdes.
2) Construeer het snijpunt van de rechten.
3) Construeer de cirkel c(M, |MA|).
Oef: 1, 2, 3, 4, 28, 31 en 36.
,Les 5:
Kenmerk ‘apothema – koorde’
In een cirkel verdeelt het apothema op een koorde de cirkel
middendoor.
Gevolgen:
1) De middelloodlijn van een koorde gaat door het middelpunt van een cirkel.
2) Elke middelloodlijn van een cirkel is een symmetrias van die cirkel.
Deel1: bewijs kenmerk ‘apothema – koorde’
Formulering: In een cirkel verdeelt het apothema op een koorde deze
middendoor.
Gegeven: cirkel c(M,r), koorde [AB], apothema [MS] op koorde [AB]
Te bewijzen: |AS|=|SB|
Bewijs: Δ MAS = Δ MBS (I) want Z: |MA| = |MB| = r
Z: |MS| is gemeenschappelijk.
H: s^ 1=^s2=¿ ¿ 90°
(I) (ZZ90°) Twee rechthoekige driehoeken zijn congruent als ze twee zijden hebben, die even
groot zijn.
Deel2: bewijs kenmerk ‘apothema -koorde’
Formulering: In een cirkel is het lijnstuk dat het midden van een
koorde verbindt met het middelpunt van de cirkel het apothema van
die koorde.
Gegeven: cirkel c(M,r), koorde [AB], S is midden van [AB]/|AS|=|SB|
Te bewijzen: [MS] is apothema van de koorde [AB].
Bewijs: Δ MAS = Δ MBS (I) want Z: |MA| = |MB| = r
Z: |MS| is gemeenschappelijk.
Z: |AS| = |SB|
180o 0
s^ 1= ^s2= = 90
2
[MS] is het apothema van de koorde [AB].
(I)(ZZZ) Twee driehoeken zijn congruent als ze 3 zijden hebben die even groot zijn.
Oef: 5, 6, 49, 52, 57 en 58
Les 6:
, Onderlinge ligging van een rechte en een cirkel
Als een rechte en een cirkel twee
punten gemeen hebben, dan snijdt
de rechte de cirkel in 2 verschillende
snijpunten.
Dit gebeurt als de afstand van het
middelpunt tot de rechte kleiner is
dan de straal.
D(M,a) < r
Als een rechte en een cirkel 1 punt
gemeen hebben, dan raakt de rechte
de cirkel in 1 raakpunt.
Dit gebeurt als de afstand van het
middelpunt gelijk is aan de straal
van de cirkel.
D(M,a) = r
Als een rechte en een cirkel geen
punt gemeen hebben, dan zijn de
rechte en de cirkel disjunct.
Dit gebeurt als de afstand van het
middelpunt en de rechte groter is
dan de straal.
D(M,a) > r
Het raaklijnencriterium:
