Didactiek wiskunde 2 – samenvatting
Probleemoplossend denken
1. Stappen in het vaardig oplossen van wiskundige problemen
Het stappenplan
1. Analyseren van de situatie
o Om de probleemsituatie goed te begrijpen
o Wat is het probleem?
o Mentale voorstelling van wat er gegeven is, wat er gezocht wordt en de relaties
tussen de gegevens onderling en tussen de gegevens en het gezochte bestaan
o Kan helpen: tekening maken, uitleggen aan elkaar, probleem naspelen, ...
o Vaak gegeven en vraag in kleur aanduiden (eerst vraag aanduiden dan weet je
welke gegevens je nodig zal hebben)
2. Kiezen of ontwikkelen van een wiskundig model
o Welke methode kan je volgen om het probleem op te lossen
o De initiële probleemrepresentatie omzetten naar een nieuwe probleemrepresentatie
(wiskundige symbolen en relaties)
o Met formeel-wiskundige kennis en vaardigheden een wiskundig model opbouwen
dat past bij de initiële voorstelling die hij/zij van het probleem opgebouwd heeft
o Heuristieken spelen een grote rol soort van actieplan opstellen (eerst ..., dan ...)
o Salami-methode: in stappen verdeelde methode (wat eerst, daarna, ...
3. Toepassen van wiskundige technieken
o De gekozen oplossingsstrategie toepassen
o Oplossingsplan uitvoeren: de rekenkundige operatie(s) die vervat ligt in het wiskundig
model, wordt effectief uitgevoerd
o Keuze maken – hoe rekenwerk uitvoeren: cijferen, tellen, hoofdrekenen, schattend
rekenen of zrm meest geschikte rekenwijze kiezen
o Oorspronkelijke probleemsituatie naar achterplan verdwenen
4. Controleren en interpreteren van de resultaten
o Uitkomst interpreteren door ze terug te plaatsen in de oorspronkelijke
probleemsituatie
o Getalsmatige uitkomst(en) (uit stap 3) gebruiken om een antwoord te formuleren op
de vraag (met een antwoordzin)
o Uitkomst van het rekenwerk interpreteren afhankelijk van situatie misschien nog
afronden
o Antwoord evalueren of controleren zijn alle vorige stappen in het oplossingsmodel
good doorlopen of is er nergens een fout binnengeslopen
o Controleren door een oplossing in de opgave in te vullen, berekeningen controleren
op rekenfouten, ervaringskennis gebruiken om in te schatten of het antwoord wel
mogelijk is, ...
o Soms wordt controleren als aparte vijfde stap gezien
Bij de eerste en vierde stap gaan we van realiteit naar wiskunde en omgekeerd.
Bij de tweede en derde stap verwerven we inzicht in het wiskundig systeem + leren hier vaardig mee
omgaan
1
,Belangrijk: lln leren deze stappen bewust te doorlopen lln hebben de neiging om snel te beginnen
met berekeningen maken, zonder de situatie eerst te analyseren en onvoldoende na te denken over
de oplossingsstrategie die ze zullen volgen
In de praktijk wordt dit stappenplan meestal geschematiseerd bij de lln aangebracht (vb. beertjes van
Meichenbaum – kan ook in andere lessen gebruikt worden)
2. Heuristieken of zoekstrategieën
= oplossingsstrategieën
Algoritmen = vast stappenplan om een probleem aan te pakken, wanneer je nauwgezet de stappen
volgt, kom je gegarandeerd tot een oplossing
Trial and error = ‘in het wilde weg’ proberen, eventueel o.b.v. intuïtie oplossing vinden door
intuïtie en gelukkig toeval
Heuristieken = gerichte zoektechnieken die niet zeker tot een oplossing leiden, maar een systematiek
inhouden en meer kracht geven dan trial and error dus mogelijke oplossingsweg, zonder garantie
voor succes in te houden (vb. sudoku)
Hoe meer je heuristieken toepast, hoe vlotter of meer automatisch je deze kan gebruiken je past
automatisch en eerder onbewust meerdere heuristieken toe
2
,Heuristieken in het stappenplan
- Gebruikt bij de eerste en tweede stap (stap 1: analyseren van de situatie, stap 2: een passend
wiskundig model opstellen)
- Nagaan of ze al een gelijkaardig wiskundig probleem hebben opgelost (bij typevraagstukken
altijd, bij ‘rijke’ wiskundige problemen niet steeds) ingeoefende strategie, geleerde
schema, ... toepassen of andere heuristieken gebruiken
Heuristieken die helpen bij het analyseren van de situatie (stap 1)
- Heuristieken = middel om angst of onzekerheid in zekere mate te overwinnen
o Nadruk: ‘in zeker mate’ heuristieken bieden geen garantie om tot een oplossing te
komen, maar het zich eigen maken en gebruiken van heuristieken kan ze een stap
vooruit brengen
- Maak een tekening van de probleemsituatie
o Aanschouwelijke voorstelling opbouwen in de vorm van een schets of tekening
o Een tekening kan soms meteen de oplossing verklappen
o Tekening moet niet mooi of perfect zijn, moet wel duidelijk zijn
o Teken alleen wat echt belangrijk is en zet er eventueel belangrijke getallen bij
o Soms in plaats van tekening: concreet materiaal
- Het probleem herformuleren en/of dramatiseren
o Veel vraagstukken vormen enkel een probleem door taalgebruik
o Kinderen het probleem en de vraag laten navertellen kan zorgen voor duidelijkheid,
betrokkenheid en kan de concentratie verhogen er wordt dan verplicht tijd
genomen om het probleem te analyseren
o Naspelen is ook een hulpmiddel om het beter te begrijpen
- Onderscheid noodzakelijke en overbodige gegevens
o Eerst vraag aandachtig bekijken vraag steeds eerst aanduiden zo kan je weten
welke gegevens relevant zijn
o Niet alle gegevens zijn nodig lln moet op zoek gaan naar elementen die nodig zijn
om de vraag te beantwoorden
o Onderlijn, markeer of omcirkel die gegevens, maar beperk je tot het noodzakelijke
- Gebruik je ervaringskennis of zoek ontbrekende info
o Soms zijn niet alle noodzakelijke of relevante gegevens meegegeven
o De lln wordt aangezet om bij het oplossen gebruik te maken van zijn praktische
kennis over de situatie of context (vb: hoeveel dagen zijn er in december)
o Soms moet je nog ontbrekende info opzoeken (vb: hoe ver is Riga van Brussel
verwijderd)
3. Contextrijke opgaven
Wiskundige problemen = toepassingen in het dagelijks leven (ofwel vraagstukken)
- Rekenverhalen
- Redactiesommen
- Toepassingen
- Vraagstukken
3
, Enkelvoudige en samengestelde vraagstukken
- Enkelvoudige vraagstukken
o Vrijwel uitsluitend in de onderbouw (soms ook al eens een samengesteld vraagstuk)
o Er moet slechts 1 bewerking worden uitgevoerd om de oplossing te vinden
- Samengestelde vraagstukken
o Kunnen gegeven worden in de bovenbouw
o Er moeten minstens 2 bewerkingen worden uitgevoerd om de oplossing te vinden
Bewerkingen herkennen in een context
- Veel lln ervaren moeilijkheden bij het oplossen van vraagstukken vaak uitdaging niet in het
uitvoeren van de berekening, wel manier waarop het probleem geformuleerd is
- Verschillende soorten vraagstukken o.b.v. de 4 basisbewerkingen
o Vraagstukken die contextueel gericht zijn op optellen en aftrekken (additieve
vraagstukken)
o Vraagstukken die gericht zijn op vermenigvuldigen en delen (multiplicatieve
vraagstukken)
- Additieve contextrijke opgaven
o In het begin met concreet materiaal werken en de situatie tekenen
o Geleidelijk aan zetten de lln het vraagstuk om in een wiskundige formule
o Het zetten van de stap van concreet naar abstract vereist een goede instructie
o Oorzaak-veranderingsvraagstukken
Een gebeurtenis geeft de aanleiding tot een hoeveelheidsverandering
Vb: Cézanne had 7 koekjes. Ze geeft er 2 weg. Hoeveel koekjes blijven over
o Combinatievraagstukken
Situaties waarbij de nadruk ligt op delen en het geheel, 2 (of meer)
afzonderlijke hoeveelheden vormen samen het geheel of het geheel min 1
van de delen is het andere deel (link met splitsen)
Vb: Maxine heeft 4 zwarte parels en 12 goudenparels. Hoeveel parels heeft
ze?
o Vergelijkingsvraagstuk
2 hoeveelheden worden vergeleken
De bewerkingstekens ‘+’ of ‘-‘ worden gebruikt om het aantal gelijk te maken
Vb: Florence heeft 7 barbiepoppen en 4 rode kleedjes. Hoeveel rode kleedjes
moet ze er bij hebben om elke pop een rood kleedje aan te doen? Hier hoort
eigenlijk een puntoefening bij, namelijk 7 = 4 + .
- Multiplicatieve contextrijke opgaven
o Vraagstukken over ‘gelijke groepen’
Het gaat om contexten waarbij er een aantal keer een bepaalde hoeveelheid
wordt genomen.
Bij de deling spreekt men dan over de deling in de betekenis van ‘de
verhoudingsdeling’.
Vb: Stefanie kocht voor haar 3 kinderen elk een doos met drie paar kousen.
Hoeveel paar kousen zijn dat samen?
o Vraagstukken over delen in de betekenis van de verdelingsdeling
4
Probleemoplossend denken
1. Stappen in het vaardig oplossen van wiskundige problemen
Het stappenplan
1. Analyseren van de situatie
o Om de probleemsituatie goed te begrijpen
o Wat is het probleem?
o Mentale voorstelling van wat er gegeven is, wat er gezocht wordt en de relaties
tussen de gegevens onderling en tussen de gegevens en het gezochte bestaan
o Kan helpen: tekening maken, uitleggen aan elkaar, probleem naspelen, ...
o Vaak gegeven en vraag in kleur aanduiden (eerst vraag aanduiden dan weet je
welke gegevens je nodig zal hebben)
2. Kiezen of ontwikkelen van een wiskundig model
o Welke methode kan je volgen om het probleem op te lossen
o De initiële probleemrepresentatie omzetten naar een nieuwe probleemrepresentatie
(wiskundige symbolen en relaties)
o Met formeel-wiskundige kennis en vaardigheden een wiskundig model opbouwen
dat past bij de initiële voorstelling die hij/zij van het probleem opgebouwd heeft
o Heuristieken spelen een grote rol soort van actieplan opstellen (eerst ..., dan ...)
o Salami-methode: in stappen verdeelde methode (wat eerst, daarna, ...
3. Toepassen van wiskundige technieken
o De gekozen oplossingsstrategie toepassen
o Oplossingsplan uitvoeren: de rekenkundige operatie(s) die vervat ligt in het wiskundig
model, wordt effectief uitgevoerd
o Keuze maken – hoe rekenwerk uitvoeren: cijferen, tellen, hoofdrekenen, schattend
rekenen of zrm meest geschikte rekenwijze kiezen
o Oorspronkelijke probleemsituatie naar achterplan verdwenen
4. Controleren en interpreteren van de resultaten
o Uitkomst interpreteren door ze terug te plaatsen in de oorspronkelijke
probleemsituatie
o Getalsmatige uitkomst(en) (uit stap 3) gebruiken om een antwoord te formuleren op
de vraag (met een antwoordzin)
o Uitkomst van het rekenwerk interpreteren afhankelijk van situatie misschien nog
afronden
o Antwoord evalueren of controleren zijn alle vorige stappen in het oplossingsmodel
good doorlopen of is er nergens een fout binnengeslopen
o Controleren door een oplossing in de opgave in te vullen, berekeningen controleren
op rekenfouten, ervaringskennis gebruiken om in te schatten of het antwoord wel
mogelijk is, ...
o Soms wordt controleren als aparte vijfde stap gezien
Bij de eerste en vierde stap gaan we van realiteit naar wiskunde en omgekeerd.
Bij de tweede en derde stap verwerven we inzicht in het wiskundig systeem + leren hier vaardig mee
omgaan
1
,Belangrijk: lln leren deze stappen bewust te doorlopen lln hebben de neiging om snel te beginnen
met berekeningen maken, zonder de situatie eerst te analyseren en onvoldoende na te denken over
de oplossingsstrategie die ze zullen volgen
In de praktijk wordt dit stappenplan meestal geschematiseerd bij de lln aangebracht (vb. beertjes van
Meichenbaum – kan ook in andere lessen gebruikt worden)
2. Heuristieken of zoekstrategieën
= oplossingsstrategieën
Algoritmen = vast stappenplan om een probleem aan te pakken, wanneer je nauwgezet de stappen
volgt, kom je gegarandeerd tot een oplossing
Trial and error = ‘in het wilde weg’ proberen, eventueel o.b.v. intuïtie oplossing vinden door
intuïtie en gelukkig toeval
Heuristieken = gerichte zoektechnieken die niet zeker tot een oplossing leiden, maar een systematiek
inhouden en meer kracht geven dan trial and error dus mogelijke oplossingsweg, zonder garantie
voor succes in te houden (vb. sudoku)
Hoe meer je heuristieken toepast, hoe vlotter of meer automatisch je deze kan gebruiken je past
automatisch en eerder onbewust meerdere heuristieken toe
2
,Heuristieken in het stappenplan
- Gebruikt bij de eerste en tweede stap (stap 1: analyseren van de situatie, stap 2: een passend
wiskundig model opstellen)
- Nagaan of ze al een gelijkaardig wiskundig probleem hebben opgelost (bij typevraagstukken
altijd, bij ‘rijke’ wiskundige problemen niet steeds) ingeoefende strategie, geleerde
schema, ... toepassen of andere heuristieken gebruiken
Heuristieken die helpen bij het analyseren van de situatie (stap 1)
- Heuristieken = middel om angst of onzekerheid in zekere mate te overwinnen
o Nadruk: ‘in zeker mate’ heuristieken bieden geen garantie om tot een oplossing te
komen, maar het zich eigen maken en gebruiken van heuristieken kan ze een stap
vooruit brengen
- Maak een tekening van de probleemsituatie
o Aanschouwelijke voorstelling opbouwen in de vorm van een schets of tekening
o Een tekening kan soms meteen de oplossing verklappen
o Tekening moet niet mooi of perfect zijn, moet wel duidelijk zijn
o Teken alleen wat echt belangrijk is en zet er eventueel belangrijke getallen bij
o Soms in plaats van tekening: concreet materiaal
- Het probleem herformuleren en/of dramatiseren
o Veel vraagstukken vormen enkel een probleem door taalgebruik
o Kinderen het probleem en de vraag laten navertellen kan zorgen voor duidelijkheid,
betrokkenheid en kan de concentratie verhogen er wordt dan verplicht tijd
genomen om het probleem te analyseren
o Naspelen is ook een hulpmiddel om het beter te begrijpen
- Onderscheid noodzakelijke en overbodige gegevens
o Eerst vraag aandachtig bekijken vraag steeds eerst aanduiden zo kan je weten
welke gegevens relevant zijn
o Niet alle gegevens zijn nodig lln moet op zoek gaan naar elementen die nodig zijn
om de vraag te beantwoorden
o Onderlijn, markeer of omcirkel die gegevens, maar beperk je tot het noodzakelijke
- Gebruik je ervaringskennis of zoek ontbrekende info
o Soms zijn niet alle noodzakelijke of relevante gegevens meegegeven
o De lln wordt aangezet om bij het oplossen gebruik te maken van zijn praktische
kennis over de situatie of context (vb: hoeveel dagen zijn er in december)
o Soms moet je nog ontbrekende info opzoeken (vb: hoe ver is Riga van Brussel
verwijderd)
3. Contextrijke opgaven
Wiskundige problemen = toepassingen in het dagelijks leven (ofwel vraagstukken)
- Rekenverhalen
- Redactiesommen
- Toepassingen
- Vraagstukken
3
, Enkelvoudige en samengestelde vraagstukken
- Enkelvoudige vraagstukken
o Vrijwel uitsluitend in de onderbouw (soms ook al eens een samengesteld vraagstuk)
o Er moet slechts 1 bewerking worden uitgevoerd om de oplossing te vinden
- Samengestelde vraagstukken
o Kunnen gegeven worden in de bovenbouw
o Er moeten minstens 2 bewerkingen worden uitgevoerd om de oplossing te vinden
Bewerkingen herkennen in een context
- Veel lln ervaren moeilijkheden bij het oplossen van vraagstukken vaak uitdaging niet in het
uitvoeren van de berekening, wel manier waarop het probleem geformuleerd is
- Verschillende soorten vraagstukken o.b.v. de 4 basisbewerkingen
o Vraagstukken die contextueel gericht zijn op optellen en aftrekken (additieve
vraagstukken)
o Vraagstukken die gericht zijn op vermenigvuldigen en delen (multiplicatieve
vraagstukken)
- Additieve contextrijke opgaven
o In het begin met concreet materiaal werken en de situatie tekenen
o Geleidelijk aan zetten de lln het vraagstuk om in een wiskundige formule
o Het zetten van de stap van concreet naar abstract vereist een goede instructie
o Oorzaak-veranderingsvraagstukken
Een gebeurtenis geeft de aanleiding tot een hoeveelheidsverandering
Vb: Cézanne had 7 koekjes. Ze geeft er 2 weg. Hoeveel koekjes blijven over
o Combinatievraagstukken
Situaties waarbij de nadruk ligt op delen en het geheel, 2 (of meer)
afzonderlijke hoeveelheden vormen samen het geheel of het geheel min 1
van de delen is het andere deel (link met splitsen)
Vb: Maxine heeft 4 zwarte parels en 12 goudenparels. Hoeveel parels heeft
ze?
o Vergelijkingsvraagstuk
2 hoeveelheden worden vergeleken
De bewerkingstekens ‘+’ of ‘-‘ worden gebruikt om het aantal gelijk te maken
Vb: Florence heeft 7 barbiepoppen en 4 rode kleedjes. Hoeveel rode kleedjes
moet ze er bij hebben om elke pop een rood kleedje aan te doen? Hier hoort
eigenlijk een puntoefening bij, namelijk 7 = 4 + .
- Multiplicatieve contextrijke opgaven
o Vraagstukken over ‘gelijke groepen’
Het gaat om contexten waarbij er een aantal keer een bepaalde hoeveelheid
wordt genomen.
Bij de deling spreekt men dan over de deling in de betekenis van ‘de
verhoudingsdeling’.
Vb: Stefanie kocht voor haar 3 kinderen elk een doos met drie paar kousen.
Hoeveel paar kousen zijn dat samen?
o Vraagstukken over delen in de betekenis van de verdelingsdeling
4
