H1 — Functies van Meerdere Veranderlijken &
Partiële Afgeleiden
Wiskundige Modellen en Systemen 2 — praktijkgerichte examensamenvatting
Dit hoofdstuk legt de basis: hoe je functies f (x, y) (of meer veranderlijken) afleidt, benadert en lokaal
beschrijft. De kernbegrippen zijn de partiële afgeleide, de totale differentiaal, de kettingregel,
het raakvlak/linearisering en de gradiënt met richtingsafgeleide. Voor elk onderdeel vind
je hieronder: wanneer je het gebruikt, het stappenplan, de formules met symboolverklaring en de
typische valkuilen.
1. Partiële afgeleiden
Wanneer gebruiken
Je wil weten hoe f verandert in één coördinaatrichting. De partiële afgeleide naar x meet de
verandering als enkel x varieert en de andere variabelen vast blijven.
Stappenplan
1. Kies de variabele waarnaar je afleidt (bv. x).
2. Behandel alle andere variabelen als constanten.
3. Differentieer zoals bij een functie van één veranderlijke.
Formules
∂f f (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0 , y0 )
(x0 , y0 ) = lim
∂x ∆x→0 ∆x
∂f f (x0 , y0 + ∆y) − f (x0 , y0 )
(x0 , y0 ) = lim
∂y ∆y→0 ∆y
Stelling van Schwarz — als de gemengde afgeleiden continu zijn, maakt de volgorde niet uit:
∂2f ∂2f
=
∂x ∂y ∂y ∂x
∂2f ∂2f ∂2f
Symbolen: fxx = 2
(tweemaal naar x), fyy = 2
, fxy = (gemengd, eerst x dan y).
∂x ∂y ∂x ∂y
Valkuilen
! Vergeet niet dat fxy betekent: eerst naar x, dan naar y afleiden.
! Bij producten/quotiënten met meerdere variabelen: pas product- en quotiëntregel correct toe,
de andere variabele is een constante (geen functie van x).
2. Totale differentiaal
Wanneer gebruiken
Je wil de (benaderde) verandering van f wanneer meerdere variabelen tegelijk een kleine aangroei
ondergaan, of je hebt de differentiaal nodig in een afleiding (raakvlak, kettingregel, foutenanalyse).
1
Partiële Afgeleiden
Wiskundige Modellen en Systemen 2 — praktijkgerichte examensamenvatting
Dit hoofdstuk legt de basis: hoe je functies f (x, y) (of meer veranderlijken) afleidt, benadert en lokaal
beschrijft. De kernbegrippen zijn de partiële afgeleide, de totale differentiaal, de kettingregel,
het raakvlak/linearisering en de gradiënt met richtingsafgeleide. Voor elk onderdeel vind
je hieronder: wanneer je het gebruikt, het stappenplan, de formules met symboolverklaring en de
typische valkuilen.
1. Partiële afgeleiden
Wanneer gebruiken
Je wil weten hoe f verandert in één coördinaatrichting. De partiële afgeleide naar x meet de
verandering als enkel x varieert en de andere variabelen vast blijven.
Stappenplan
1. Kies de variabele waarnaar je afleidt (bv. x).
2. Behandel alle andere variabelen als constanten.
3. Differentieer zoals bij een functie van één veranderlijke.
Formules
∂f f (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0 , y0 )
(x0 , y0 ) = lim
∂x ∆x→0 ∆x
∂f f (x0 , y0 + ∆y) − f (x0 , y0 )
(x0 , y0 ) = lim
∂y ∆y→0 ∆y
Stelling van Schwarz — als de gemengde afgeleiden continu zijn, maakt de volgorde niet uit:
∂2f ∂2f
=
∂x ∂y ∂y ∂x
∂2f ∂2f ∂2f
Symbolen: fxx = 2
(tweemaal naar x), fyy = 2
, fxy = (gemengd, eerst x dan y).
∂x ∂y ∂x ∂y
Valkuilen
! Vergeet niet dat fxy betekent: eerst naar x, dan naar y afleiden.
! Bij producten/quotiënten met meerdere variabelen: pas product- en quotiëntregel correct toe,
de andere variabele is een constante (geen functie van x).
2. Totale differentiaal
Wanneer gebruiken
Je wil de (benaderde) verandering van f wanneer meerdere variabelen tegelijk een kleine aangroei
ondergaan, of je hebt de differentiaal nodig in een afleiding (raakvlak, kettingregel, foutenanalyse).
1
